2023-2024学年人教版八年级数学上册第11章 三角形 单元测试卷

这是一份2023-2024学年人教版八年级数学上册第11章 三角形 单元测试卷，共21页。
2023-2024学年人教版八年级数学上册第11章 三角形 单元测试卷综合考试一、单选题(共10题；共30分)1．如图，在 ΔABC 中， ∠A=35° ， ∠DCA=100° ，则 ∠B 的度数为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75°2．已知三角形中，某两条边的长分别为5和9，则另一条边的长可能是（　　） A．4 B．5 C．3 D．143．内角和为540°的多边形是（　　） A． B．C． D．4．一幅三角板，如图所示叠放在一起，则图中 ∠a 的度数为（　　）A．75° B．60° C．65° D．55°5．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是（　　） A． B．C． D．6．如图，AB∥CD，且∠1=15°，∠2=35°+a，∠3=50°- a，∠4=30°- a，∠5=20°.则a的值为（　　）A．20° B．25° C．40° D．35°7．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于EF两点，∠BAC∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI.下列结论：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC//DE；②如果BC//AD，则有∠2＝45°；③∠BAE+∠CAD随着∠2的变化而变化；④如果∠4＝45°，那么∠1＝60°，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④9．如图，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于（　　） A．108° B．114° C．126° D．129°10．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°二、填空题(共8题；共24分)11．（3分）如图，在 △ABC 中， ∠ABC 的平分线与 ∠ACB 的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，已知 ∠BED+∠CFD=240∘ ，则 ∠BDC=　 　． 12．（6分）如图，AB∥CD，∠A=45゜，∠C=35゜，则∠1=　 　． 13．（3分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，则∠DAE=　 　．14．（3分）小明用剪刀将一块四边形纸板剪成了两个多边形，则这两个多边形内角的和为　 　． 15．（3分）当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个既不留空隙，又不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌．用一种或几种正多边形镶嵌平面有多种方案，如：6个正三角形，记作（3，3，3，3，3，3）；3个正六边形，记作（6，6，6）；又如，（3，3，6，6）表示2个正三角形和2个正六边形的组合．请你再写出除了以上所举的三例以处的三种方案：　 　．16．（3分）如图，已知 CD//GH ，点 B 在 GH 上，点 A 为平面内一点， AB ⊥AD ，过点 A 作 AF⊥CD，AE 平分 ∠FAD ，AC 平分 ∠FAB ，若 ∠ABC+∠GBC=180°，∠ACB=4∠FAE ，则 ∠ABG=　 　. 17．（3分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE=2，BF=EG，DG>AE，则DI的最小值为　 　.18．（3分）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是　 　边形．三、解答题(共7题；共66分)19．（8分）如图所示，已知∠A=48°，∠D=25°，FD⊥BC于E，求∠B的度数． 20．（8分）求出下列图中x的值。21．（8分）已知如图在△ABC 中，∠ABC平分线与∠ACE的外角平分线相交于点P．若∠A＝70°，求∠P的度数．22．（8分）已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|=0，且a为方程|a﹣4|=2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．23．（10分）如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分 ∠BCD， ∠1+ ∠2=90°．求证：BC ⊥ AB．24．（10分）如图，P为△ABC中任意一点．证明：AB+BC+CA>PA+PB+PC．25．（14分）在平面直角坐标系xOy中描出下列两组点，分别将每组里的点用线段依次连接起来． 第一组：A（﹣3，3）、C（4，3）；第二组：D（﹣2，﹣1）、E（2，﹣1）．（1）（3分）直接写出线段AC与线段DE的位置关系；（2）在（1）的条件下，线段AC，DE分别与y轴交于点B，F．若点M为射线OB上一动点（不与点O，B重合）．①当点M在线段OB上运动时，连接AM、DM，补全图形，用等式表示∠CAM、∠AMD、∠MDE之间的数量关系，并证明．（5）②当△ACM与△DEM面积相等时，求点M的坐标．（6）答案解析部分1．【答案】C【知识点】三角形的外角性质【解析】【解答】解：由题意可知： ∠DCA=∠A+∠B∴∠B=∠DCA−∠A=100∘−35∘=65∘故选：C.【分析】根据三角形外角的性质，三角形的外角等于不相邻的两个内角和求解.2．【答案】B【知识点】三角形三边关系【解析】【解答】解：9+5=14，9-5=4，所以第三边在4到14之间，只有B中的5满足．故答案为：B．【分析】利用三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再求解即可。3．【答案】C【知识点】多边形内角与外角【解析】【解答】解：设多边形的边数是n，则 （n﹣2）•180°=540°，解得n=5．故选：C．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可求解．4．【答案】A【知识点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：已知，∠ADE=45°，∠F=60°，∴∠α=180°-60°-45°=75°．故答案为：A【分析】由三角板各个角的度数和三角形内角和定理，求出∠α的度数.5．【答案】D【知识点】三角形的外角性质【解析】【解答】解：A、∠1与∠2是对顶角，相等，故本选项错误； B、根据图象，∠1＜∠2，故本选项错误；C、∠1是锐角，∠2是直角，∠1＜∠2，故本选项错误；D、∠1是三角形的一个外角，所以∠1＞∠2，故本选项正确．故选D．【分析】根据图象，利用排除法求解．6．【答案】A【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质【解析】【解答】延长GF交AB于Q，延长FG交CD于N，则∠NGH=180°−∠3，∠NMH=180°−∠5，∵AB∥CD，∴∠EQF=∠GNM，∴∠2−∠1=360°−∠NGH−∠4−∠NMH，∴∠2−∠1=360°−(180°−∠3)−∠4−(180°−∠5)，即∠2−∠1=∠3+∠5−∠4，∵∠1=15°，∠2=35°+α，∠3=50°−α，∠4=30°−α，∠5=20°，∴35°+a−15°=50°−a+20°−(30°−a)，解得：a=20°，故答案为：A.【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，和两直线平行内错角相等，得到∠2−∠1=∠3+∠5−∠4，把角的值代入求出a的值.7．【答案】C【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∴∠DBF+∠BAC=90°，∵FD⊥AB，∴∠BDF=90°，∴∠DBF+∠BFD=90°，∴∠BAC=∠BFD，故①正确；∵∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，∴∠EFN=∠EAM，∵∠FEN=∠AEM，∴∠ENI=∠EMI，故②正确；∵由①知∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，∴∠MAD=∠MFI，∵∠AMD=∠FMI，∴∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；∵BI不是∠B的平分线，∴∠ABI≠∠FBI，故④错误.故答案为：C.【分析】先根据∠ACB=90°可知∠DBF+∠BAC=90°，再由FD⊥AB可知∠BDF=90°，所以∠DBF+∠BFD=90°，通过等量代换即可得出∠BAC=∠BFD，故①正确；根据∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I可知∠EFN=∠EAM，再由对顶角相等可知∠FEN=∠AEM，根据三角形外角的性质即可判断出∠ENI=∠EMI，故②正确；由①知∠BAC=∠BFD，因为∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，故∠MAD=∠MFI，再根据∠AMD=∠FMI可知，∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；因为BI不是∠B的平分线，所以∠ABI≠∠FBI，故④错误.8．【答案】B【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质【解析】【解答】解：①∵∠2＝30°，∴∠1＝90°﹣∠2＝60°，∵∠AED＝60°，∴∠1＝∠AED，∴AC//DE；所以①正确；②∵BC//AD，∴∠B＝∠3＝45°，∴∠2＝90°﹣∠3＝45°；所以②正确；③∵∠1+∠2＝∠3+∠2＝90°，∴∠BAE+∠CAD=∠1+∠2+∠2+∠3=180°，∴∠BAE+∠CAD随着∠2的变化不会发生变化；所以③错误；④如图，∵∠EGF＝∠4＝45°，∠FEG＝60°，∴∠GFA＝45°+60°＝105°，∵∠GFA＝∠C+∠1，∵∠C＝45°，∴∠1＝60°.所以④正确.所以其中正确的是①②④.故答案为：B.【分析】① 如果∠2＝30°，则∠1=∠E，则有AC//DE，正确；② 如果BC//AD，则∠B=∠3=45°，则有∠2＝45° ，正确；③ ∠BAE+∠CAD =180°，故错误；④∠4=∠C=45°，则AC//DE，则∠1=∠E=60°，正确.9．【答案】C【知识点】几何体的展开图；三角形内角和定理【解析】【解答】解：展开如图：五角星的每个角的度数是： 1805 =36°，∵∠COD=360°÷10=36°，∠ODC=36°÷2=18°，∴∠OCD=180°﹣36°﹣18°=126°．故答案为：C．【分析】按照如图所示的方法折叠，剪开，把相关字母标上，可得∠DOC和∠ODC的度数，利用三角形的内角和是180°可求∠OCD得度数.10．【答案】C【知识点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：如图所示，连接BC，∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°，∴∠1+∠2＝180°-∠A-∠ABE-∠ACD＝180°-60°-40°-30°＝50°，∴∠D+∠E＝∠1+∠2=50°.故答案为：C．【分析】先由三角形内角和，求得∠1和∠2的和，再由三角形内角和得到∠D+∠E=∠1+∠2，即可求得∠D+∠E的度数．11．【答案】120∘【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义【解析】【解答】 ∵BD 是 ∠ABC 的平分线， ∴∠EBD=∠DBC ，∵ 过点D作BC的平行线交AB于点E，∴∠EDB=∠EBD ，∴BE=ED ，∴∠EDB=∠EBD=12(180∘−∠BED) ，同理 ∠FDC=12(180∘−∠DFC) ，∴∠BDC=180∘−∠BDE−∠CDF=180∘−12(180∘−∠BED)−12(180∘−∠DFC)=12(∠BED+∠CFD)=120∘ ，故答案为： 120∘【分析】根据角平分线的定义得到 ∠EBD=∠DBC ，根据平行线的性质得到 ∠EDB=∠EBD ，推出 ∠EDB=∠EBD=12(180∘−∠BED) ，同理 ∠FDC=12(180∘−∠DFC) ，根据平角的定义即可得到结论．12．【答案】80°【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠A=45°， ∴∠D=∠A=45°；∵∠1是△CDE的外角，∴∠1=∠C+∠D=35°+45°=80°．故答案为：80°．【分析】先根据平行线的性质求出∠D的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．13．【答案】9°【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质【解析】【解答】∵根据AE是△ABC的角平分线，∠BAC=82°∴∠BAE=∠EAC=12∠BAC=41°又∵∠C=40°∴∠AED=∠EAC+∠C=81°又∵AD是△ABC的高∴∠ADE=90°∴∠DAE=180°−90°−81°=9°故答案为： 9°【分析】根据AE是△ABC的角平分线，∠BAC=82°得出 ∠BAE=∠EAC=12∠BAC=41° ,再根据外角定理算出 ∠AED ，从而计算出 ∠DAE14．【答案】360°或540°或720°【知识点】多边形内角与外角【解析】【解答】解：若剪成了两个三角形，则内角和为 180∘+180∘=360∘ ； 若剪成了两个四边形，则内角和为 (4−2)×180∘×2=720∘ ；若剪成了一个三角形与一个四边形，则内角和为 180∘+(4−2)×180∘=540∘ ；若剪成了一个三角形与一个五边形，则内角和为 180∘+(5−2)×180∘=720∘ ．故答案为：360°或540°或720°【分析】根据剪成的多边形的边数的情况分类讨论，再根据多边形的内角和公式计算即可得到结果．15．【答案】（4，4，4，4）、（3，4，4，6）、（3，3，3，3，6）（答案不唯一）【知识点】平面镶嵌（密铺）【解析】【解答】解：正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，4个能组成镶嵌，记做（4，4，4，4）；正三角形的一个内角度数为60°，正六边形的一个内角度数为120°，那么一个正三角形，2个正方形，一个正六边形能组成镶嵌，记做（3，4，4，6）；4个正三角形，一个正六边形能组成镶嵌，记做（3，3，3，3，6），∴三种方案为：（4，4，4，4）、（3，4，4，6）、（3，3，3，3，6）（答案不唯一）．【分析】根据镶嵌的定义可判断.一种正多边形组成镶嵌，看一个内角度数为360°的约数即可；两种正多边形能否组成镶嵌，要看同一顶点处的几个角之和能否为360°，找到这样的正多边形或组合即可.16．【答案】22.5°【知识点】垂线；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义【解析】【解答】解：设 ∠FAE=α∵AE 平分 ∠FAD∴∠FAE=∠DAE=α∵AB⊥AD∴∠DAB=90° ，∠FAB=90°+∠FAD=90°+2α∵AC 平分 ∠FAB∠CAF=∠CAB=45°+α∵ AF⊥CD∴∠ACF=45°−α=∠DCA∵ ∠ACB=4∠FAE=4α∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=45°+3α在 △ABC 中∠ABC=180°−∠CAB−∠ACB=180°−(45°+α)−4α=135°−5α∵ CD//GH∴ ∠DCB+∠GBC=180°∴∠GBC=180°−∠DCB=180°−(45°+3α)=135°−3α∵ ∠DCB+∠GBC=180° ， ∠ABC+∠GBC=180°∴ ∠DCB=∠ABC即 45°+3α =135°−5α解得 α=11.25°∵∠ABG=∠GBC−∠ABC=135°−3α−(135°−5α)=2α∴∠ABG=22.5°故答案为： 22.5° 【分析】设∠FAE=α，可求出∠ACB=4∠FAE=4α，∠ACF=45°−α=∠DCA，从而得出∠DCB=∠DCA+∠ACB=45°+3α，利用三角形内角和求出∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=135°−5α，根据补角的性质可得∠DCB=∠ABC，据此建立方程求出α，由于∠ABG=∠GBC−∠ABC=2α，从而得出结论.17．【答案】213−2【知识点】三角形三边关系【解析】【解答】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，则∠EMG=∠EMD=90°。∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD，∠A=∠D=∠EMD=90°，AB∥CD∴四边形ADME是矩形∴EM=AD=AB=6∵BF=EG∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL）∴∠ABF=∠MEG，∠AFB=∠MGE在Rt△BAF中，∠ABF+∠AFB=90°∴∠MEG+∠MGE=90°∵AB∥CD∴∠MGE=∠BEG∴∠MEG+∠BEG=90°∴∠EIB=90°∵O是BE中点∴OI=OE=12BE=12（AB-AE）=2∴OA=AE+OE=2+2=4∵OD-OI≤DI∴当O、D、I共线时，DI有最小值,且ID=OD-OI在Rt△AOD中，OD=OA2+AD2=42+62=213∴ID=OD-OI=213−2即DI的最小值为213​-2.故答案为：213-2.【分析】作EM⊥CD，取BE的中点O，连接OI、OD。先根据HL证明Rt△BAF≌Rt△EMG，可得∠ABF=∠MEG，再利用余角关系得∠EIF=90°，继而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OI=OE=12BE=2，从而得AO=4，利用勾股定理得OD=213.然后由OD-OI≤DI，当O、D、I共线时，DI有最小值，即可求DI的最小值.18．【答案】五或六或七【知识点】多边形内角与外角【解析】【解答】解：设内角和为 720° 的多边形的边数是 n ， ∴(n−2)×180°=720° ，解得： n=6 ，∴ 包装盒的底面是六边形，如图1所示，截线不过顶点和对角线，则原来的多边形是五边形；如图2所示，截线过一个顶点，则来的多边形是六边形；如图3所示，截线过一条对角线，则来的多边形是七边形．故答案为：五或六或七．【分析】根据多边形的内角和定理求出多边形的边的数量，继而判断得到答案即可。19．【答案】解：∵∠A=48°，∠D=25°， ∴∠BFE=∠A+∠D=73°（三角形外角定理）；又∵FD⊥BC于E，∴∠BEF=90°；∴Rt△BFE中，∠B=180°﹣∠BEF﹣∠BFE=17°，即∠B=17°．【知识点】三角形内角和定理【解析】【分析】根据三角形的外角定理求得∠BFE=∠A+∠D；然后在Rt△BFE中利用三角形内角和定理即可求得∠B的度数． 20．【答案】（1）解：根据三角形外角的性质可得： x°+70°=x°+（x°+10°） ， 解得： x=60 ；（2）解：根据五边形的内角和是 （5−2）×180=540° 可得： x°+（x°+20°）+（x°−10°）+x°+70°=540° ，解得： x=115 .【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角【解析】【分析】（1）根据三角形的外角等于两个不相邻的内角的和，即可求解；（2）根据五边形的内角和即可列方程求解．21．【答案】解：如图； ∵BP平分∠ABC，PC平分∠ACE∴∠ABP＝∠CBP＝ 12 ∠ABC，∠ACP＝∠ECP＝ 12 ∠ACE∵∠A＝70°，∴∠ACE＝70°+∠ABC同理∠PCE＝∠P+∠PBC，∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC＝∠A+2∠PBC∴∠P＝ 12 ∠A＝ 12 ×70°＝35°【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义【解析】【分析】根据∠平分线可以求得∠ABP=∠CBP，∠ACP=∠ECP；由三角形外角的性质可以得到∠ACE，推出∠P和∠A的关系，得出∠P的度数。22．【答案】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|=0，∴b﹣2=0，c﹣3=0，解得：b=2，c=3，∵a为方程|a﹣4|=2的解，∴a﹣4=±2，解得：a=6或2，∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，∴a=6不合题意舍去，∴a=2，∴△ABC的周长为：2+2+3=7，∴△ABC是等腰三角形．【知识点】三角形三边关系【解析】【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状．23．【答案】证明：∵DE平分 ∠ADC，CE平分 ∠BCD，∴∠1=∠ADE，∠2=∠BCE，∵∠1+∠2=90°，即∠ADE+∠BCE=90°，∴∠DEC=180°-（∠1+∠2）=90°，∴∠BEC+∠AED=90°，又∵DA ⊥AB，∴∠A=90°，∴∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠ADE+∠BCE=90°，∴∠BEC+∠BCE=90°，∴∠B=90°，即BC⊥AB．【知识点】垂线；三角形内角和定理【解析】【分析】根据角平分线性质得∠1=∠ADE，∠2=∠BCE，结合已知条件等量代换可得∠1+∠2=∠ADE+∠BCE=90°，根据三角形内角和定理和邻补角定义可得∠BEC=∠ADE，代入前面式子即可得∠BEC+∠BCE=90°，由三角形内角和定理得∠B=90°，即BC⊥AB．24．【答案】证明：延长BP交AC于D，∵在△ABD中，AB+AD＞BP+PD，在△CPD中，PD+CD＞PC，∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+PC，即AB+AC＞BP+PC，∵在△CBD中，CB+CD＞BP+PD，在△APD中，PD+AD＞PA，∴CB+CD+PD+AD＞BP+PD+PA，即CB+AC＞BP+PA，同理可得：AB+BC＞CP+PA，∴AB+AC+CB+AC+AB+BC＞BP+PC+BP+PA+CP+PA，2AB+2AC+2BC＞2AP+2BP+2CP，∴AB+AC+BC＞AP+BP+CP.【知识点】三角形三边关系【解析】【分析】延长BP交AC于D，在△ABD和△CPD中，根据三角形三边之间的关系可推出AB+AC＞BP+PC，同理可得CB+AC＞BP+PA，AB+BC＞CP+PA，相加即可得证.25．【答案】（1）解：∵A（﹣3，3）、C（4，3）， ∴AC∥x轴，∵D（﹣2，﹣1）、E（2，﹣1），∴DE∥x轴，∴AC∥DE；（2）①如图，∠CAM+∠MDE＝∠AMD． 理由如下：过点M作MN∥AC，∵MN∥AC（作图），∴∠CAM＝∠AMN（两直线平行，内错角相等），∵AC∥DE（已知），∴MN∥DE（平行公理推论），∴∠MDE＝∠NMD（两直线平行，内错角相等），∴∠CAM+∠MDE＝∠AMN+∠NMD＝∠AMD（等量代换）．②由题意，得：AC＝7，DE＝4，设M（0，m），（i）当点M在线段OB上时，BM＝3﹣m，FM＝m+1，∴S△ACM＝ 12 AC•BM＝ 12 ×7×（3﹣m）＝ ，S△DEM＝ 12 DE•FM＝ 12 ×4×（m+1）＝2m+2，∵S△ACM＝S△DEM，∴ ＝2m+2，解得：m＝ ，∴M（0， ）；（ii）当点M在线段OB的延长线上时，BM＝m﹣3，FM＝m+1，∴S△ACM＝ 12 AC•BM＝ 12 ×7×（m﹣3）＝ ，S△DEM＝ 12 DE•FM＝ 12 ×4×（m+1）＝2m+2，∵S△ACM＝S△DEM，∴ ＝2m+2，解得：m＝ ，∴M（0， ）；综上所述，点M的坐标为（0， ）或（0， ）．【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；三角形的面积【解析】【分析】（1）先求出 AC∥x轴， 再求出 DE∥x轴， 最后求解即可；（2）①先求出 ∠CAM＝∠AMN ，再求出 ∠MDE＝∠NMD ，最后作答即可；②分类讨论，利用三角形的面积公式计算求解即可。