北师大版七年级数学上册专题5.5 一元一次方程（压轴题综合训练卷）（教师版）

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专题5.5 一元一次方程（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列各式中：①由3x＝﹣4系数化为1得x＝﹣34；②由5＝2﹣x移项得x＝5﹣2；③由2x−13=1+x−32 去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3）；④由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1．其中正确的个数有（　　）A．0个 B．1个 C．3个 D．4个【思路点拨】根据解一元一次方程的去分母、去括号、移项及系数化1的方法依次判断后即可解答.【解题过程】①由3x=﹣4系数化为1得x=﹣43，可知①错误；②由5=2﹣x移项得x=2﹣5，可知②错误；③由2x−13=1+x−32去分母得2（2x﹣1）=6+3（x﹣3），可知③错误；④由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）=1去括号得4x﹣2﹣3x+9=1，可知④错误．综上，正确的结论有0个，故选A.2．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（    ）A．x+23=x2−9 B．x3+2=x−92 C．x3−2=x+92 D．x−23=x2+9【思路点拨】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解题过程】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：x3+2，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：x−92，∴列出方程为：x3+2=x−92．故选：B．3．解方程2x−13=x+a2−1时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x=2，则方程正确的解是（    ）A．x=−3 B．x=−2 C．x=13 D．x=−13【思路点拨】先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a的值，然后把a的值代入原方程并解方程．【解题过程】解：把x=2代入方程2（2x-1）=3（x+a）-1中得：6=6+3a-1，解得：a=13，正确去分母结果为2（2x-1）=3（x+13）-6，去括号得：4x-2=3x+1-6，解得：x=-3．故选：A4．今年某月的月历上圈出了相邻的三个数a、b、c，并求出了它们的和为39，这三个数在月历中的排布不可能是（　　）A． B． C． D．【思路点拨】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1根据题意可列方程求解.【解题过程】解：A、b=a+7，c=b+7=a+14，∵a+b+c=39,∴a+a+7+a+14=39，解得a=6；B、b=a+1+7=a+8，c=b+1+7=a+16，∵a+b+c=39,∴a+a+8+a+16=39，解得a=5；C、b=a-1+7=a+6，c=b+1=a+7，∵a+b+c=39,∴a+a+6+a+7=39，解得a=263；D、b=a+7，c=b+1=a+8，∵a+b+c=39,∴a+a+7+a+8=39，解得a=8.由题可知，a、b、c均为整数，所以本题选择C.5．满足方程x+23+x−43=2的整数x有（    ）个A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【思路点拨】分类讨论：x≥43，x≤−23，−230.b<0，且满足[a]=[b]，试求代数式(b−a）3−2a+2b的值：（3）解方程：[2x]+[x+1]=1【思路点拨】（1）利用题中新定义计算即可得到结果（2）根据已知条件及新定义计算得到a−b=4，对原式化简整理再整体代入计算即可；（3）分三种情况讨论：x<−1；−1≤x<0；x≥0【解题过程】解：（1）[32][-1]=32−2×−1+2=−12×1=−12；（2）∵a>0.b<0，且满足[a]=[b]，∴a−2=b+2，即：a−b=4∴(b−a）3−2a+2b=−a−b3−2(a−b)=−43−2×4=−72；（3）当x<−1时：2x+x+1=2x+2+x+1+2=3x+5=1∴x=−43<−1，符合题意，∴x=−43当−1≤x<0时：2x+x+1=2x+2+x+1−2=3x+1=1∴x=0，不在−1≤x<0之中，不符合题意，舍去；当x≥0时：2x+x+1=2x−2+x+1−2=3x−3=1∴x=43>0，符合题意，∴x=43综上方程的解是：x=−43或x=43.20．下表是中国移动两种“4G套餐”计费方式（月租费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）（1）若某月小张主叫通话时间为260分钟，上网流量为4G，则他按方式一计费需________元，按方式二计费需_______元；（2）若某月小张按方式二计费需78元，主叫通话时间为320分钟，则小张该月上网流量为多少G？（3）若某月小张上网流量为4G，是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据表中数据分别计算两种计费方式，求解即可；（2）由题意可知上网流量超过5G，设小张该月上网流量为xG，根据题意列方程得：60+0.1×320−300+8x−5=78，解出即可；（3）分三种情况：当0≤t≤200时，38+4−3×10=48≠60；当200300时，可得38+4−3×10+0.15×t−200=60+0.1×t−300，解出判断即可．【解题过程】.解：（1）方式一：38+0.15（260﹣200）+10（4﹣3）＝38+0.15×60+10×1＝38+9+10=57．方式二：∵没有超出套餐∴方式二：60故答案为：57；60．（2）∵60+0.1×320−300=62<78，∴该月上网流量超过5G．设小张该月上网流量为xG，根据题意列方程得：60+0.1×320−300+8x−5=78解得：x=7答：小张该月上网流量为7G．（3）当0≤t≤200时，38+4−3×10=48≠60，∴不存在；当200300时，38+4−3×10+0.15×t−200=60+0.1×t−300解得：t=240<300，舍．综上所述，当上网流量为4G，主叫通话时间为280分钟时，两种计费方式相同．21．某超市的平时购物与国庆购物对顾客实行优惠规定如下：例如：某人在平时一次性购物600元，则实际付款为：200＋（600－200）×0.9＝560（元）(1)若王阿姨在国庆期间一次性购物600元，他实际付款______元．(2)若王阿姨在国庆期间实际付款380元．那么王阿姨一次性购物____元；(3)王阿姨在平时和国庆先后两次购买了相同价格的货物，两次一共付款1314元，求王阿姨这两次每次购买的货物的原价多少元？【思路点拨】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出王阿姨实际付款多少；（2）根据题意，可以先判断购买的货物是否超过，然后列出相应的方程，再求解即可；（3）根据题意，利用分类讨论的方法列出相应的方程，然后求解即可．【解题过程】(1)解：200+500−200×0.9+600−500×0.8=550；(2)解：设王阿姨一次购物x元，若x=500时，王阿姨实际付款应为：200+500−200×0.8=440（元），∵440>380>200，∴200500，不符合题意；③当500800时，可列方程200+800−200×0.9+x−800×0.8+200+500−200×0.9+x−500×0.8 =1314，解得：x=715，715<800，不符合题意，综上述x=720．答：王阿姨这两次每次购买的货物的原价720元．22．如图，甲、乙两个长方体容器放置在同一水平桌面上，容器甲的底面积为80dm2，高为6dm；容器乙的底面积为40dm2，高为9dm.容器甲中盛满水，容器乙中没有水，容器乙的最下方装有一只处在关闭状态的水龙头．现从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水20dm3．(1)容器甲中水位的高度每分钟下降__________dm，容器乙中水位的高度每分钟上升__________dm；(2)当容器乙注满水时，求此时容器甲中水位的高度；(3)在容器乙注满水的同时，打开水龙头开始放水，水龙头每分钟放水60dm3.从容器甲开始注水起，经过多长时间，两个容器中水位的高度相差4dm？【思路点拨】（1）根据：每分钟的注水量÷容器的底面积，即可求得两容器中水位每分钟下降和上升的高度；（2）两容器中容积的差便是容器甲中剩余的水，根据体积÷底面积，即可求得此时容器甲中水位的高度；（3）分三种情况考虑：在容器乙未注满水时，容器甲的水位比容器乙的水位高4dm；在容器乙未注满水时，容器乙的水位比容器甲的水位高4dm；在容器乙注满水时，容器乙的水位比容器甲的水位高4dm；根据等量关系：两容器高度差=4，列出方程解决．【解题过程】解：（1）容器甲中水位的高度每分钟下降：20÷80=0.25(dm)；容器乙中水位的高度每分钟下降：20÷40=0.5(dm)．故答案为：0.25，0.5（2）两容器的体积差为：80×6−40×9=120(dm3)当容器乙注满水时，容器甲中水位的高度为：120÷80=1.5(dm)（3）①在容器乙未注满水时，设开始注水x分钟，容器甲的水位比容器乙的水位高4dm，由题意得：(6−0.25x)−0.5x=4解得：x=83即开始注水83分钟，容器甲的水位比容器乙的水位高4dm；②在容器乙未注满水时，设开始注水y分钟，容器乙的水位比容器甲的水位高4dm由题意得：0.5y−(6−0.25y)=4解得：y=403即开始注水403分钟，容器乙的水位比容器甲的水位高4dm；③在容器乙注满水时，设开始注水z分钟，容器乙的水位比容器甲的水位高4dm由题意得：9−60−2040×z−40×920−(6−0.25z)=4解得：z=683即开始注水683分钟，容器乙的水位比容器甲的水位高4dm．综上所述，从容器甲开始注水开始，经过83分钟或403分钟或683分钟，两个容器中水位的高度相差4dm．23．如图，A在数轴上所对应的数为−2．（1）点B与点A相距4个单位长度，则点B所对应的数为______．（2）在（1）的条件下，如图1，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到−6所在的点处时，求A，B两点间距离．（3）如图2，若点B对应的数是10，现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒．在运动过程中，P到B的距离、B到Q的距离以及P到Q的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时t的值；若没有，请说明理由．图1图2【思路点拨】（1）设B点表示的数为x，根据两点距离公式列出方程解答便可；（2）先求出运动后两点表示的数，再根据距离公式求得结果；（3）根据题意用t的代数式表示PB，BQ，PQ，再分三种情况（PB=BQ，PB=PQ，BQ=PQ）列出方程求解，若存在解，则有相等情况，若无解则不存在相等情况．【解题过程】解：（1）点B在点A左侧时，B为：−2−4=−6点B在点A右侧时，B为：−2+4=2，综上所述，点B对应的数为−6或2．（2）①当B对应的数为−6时，A：−2−−6=4个单位，4÷2=2（秒），B：−6+2×2=−2，∴AB=−2−(−6)=4；②当B对应的数为2时，A：−2−(−6)=4个单位，4÷2=2（秒），B：2+2×2=6AB=6−(−6)=12综上所述，A，B两点之间的距离为4或12．（3）在运动过程中，会有两段距离相等的时候，由题可知：P点表示的数为−2+4t，Q点表示的数为10+t∴AP=4tBQ=t，PQ=|10+t+2−4t|=|12−3t|PB=|12−4t|分三种情况：①当PB=BQ时，B为PQ中点或P与Q重合，若B为PQ中点，如图1图1则AB−AP=BQ即12−4t=t解得t=2.4，若P与Q重合，如图2，图2则AP−AB=BQ，即4t−12=t，解得t=4．②当PB=PQ时，P为BQ中点或B，Q重合，若P为BQ中点，如图3，图3则BQ=2(AP−AB)，即t=2(4t−12)解得t=247若B，Q重合，则t=0（不合题意）③当BQ=PQ时，Q为BP中点或B，P重合若Q为BP中点，如图4图4则AP−AB=2BQ，即4t−12=2t，解得t=6若B，P重合，则AP=AB，即4t=12解得t=3．综上所述，当t=2.4或4或247或6或3时，线段PB，PQ，BQ中存在两条线段相等．24．如图，AB和CD是数轴上的两条线段，线段AB的长度为1个单位长度，线段CD的长度为2个单位长度，B，C之间的距离为6个单位长度且与原点的距离相等．分别以AB，CD为边作正方形ABEF，正方形CDGH．(1)直接写出：B表示的数为______，D表示的数为______；(2)P，Q是数轴上的动点，点P从B出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动，点Q从C出发，向B运动，P，Q相遇后均立即以每秒比之前多1个单位长度的速度返回，分别到达B，C点后立即返回，第二次相遇时P，Q两点同时停止运动．已知第一次相遇时，点P到点C的距离比点P到点B的距离多两个单位长度，求P，Q第二次相遇时，点P所表示的数．(3)将AB和CD较近的两个端点之间的距离叫做正方形ABEF和正方形CDGH之间的最小距离，将AB和CD较远的两个端点之间的距离叫做正方形ABEF和正方形CDGH之间的最大距离．例如图中正方形ABEF和正方形CDGH之间的最小距离即B，C之间的距离，最大距离即A，D之间的距离．若正方形ABEF以每秒1个单位长度的速度向数轴的正方向运动，正方形CDGH以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动．设运动时间为t秒，当这两个正方形之间的最大距离是最小距离的两倍时，请直接写出t的值．【思路点拨】（1）求得OB=OC=3，根据数轴上点的位置关系，即可求解；（2）先求得第一次相遇时点P所表示的数，所用时间，Q的速度；再设第二次相遇时，点P所表示的数为y，根据题意列方程求解即可；（3）设运动时间为t秒，则点B、点A、点C、点D所表示的数分别为t-3、、t-4、3-2t、5-2t，再画出图形，利用两点之间的距离公式列出方程，解方程即可求解．【解题过程】（1）解：根据题意，OB=OC=12BC=3，∴B表示的数为−3，C表示的数为3，∵线段CD的长度为2个单位长度，∴D表示的数为5，故答案为：−3，5；（2）解：设第一次相遇时，点P所表示的数为x，则BP=x+3，CP=3-x，根据题意得：3-x=2(x+3)，解得：x=-1，此时点P所表示的数为-1，P所走的路程为-1+3=2(个单位)，时间为2÷1=2(秒)，Q所走的路程为1+3=4，则Q的速度为4÷2=2(个单位/秒)，设第二次相遇时，点P所表示的数为y，则BP=y+3，CP=3-y，P所走的路程为y+3+(-1+3)= y+5，Q所走的路程为3-y +(1+3)= 7-y，P的速度为1+1=2(个单位/秒)，Q的速度为2+1=3(个单位/秒)，根据题意得：y+52=7−y3，解得：y=−15，此时点P所表示的数为−15；（3）解：设运动时间为t秒，则点B所表示的数为t-3，点A所表示的数为t-4，点C所表示的数为3-2t，点D所表示的数为5-2t，①当两个正方形相遇前，最小距离CB=3-2t- (t-3)=6-3t，最大距离DA=5-2t- (t-4)=9-3t，根据题意得：9-3t=2(6-3t)，解得：t=1；②当点B在CD之间时，最小距离BC= t-3- (3-2t)=3t-6，最大距离DA=5-2t- (t-4)=9-3t，根据题意得：9-3t=2(3t-6)，解得：t=73；③当点A、B都在CD之间时，此时AC=BD=12，根据题意得：t-4- (3-2t)=12，解得：t=52；④当点A在CD之间时，最小距离DA=5-2t- (t-4)=9-3t，最大距离BC= t-3- (3-2t)=3t-6，根据题意得：3t-6=2(9-3t)，解得：t=83；⑤当两个正方形相遇离开后，最小距离AD= t-4- (5-2t)=3t-9，最大距离BC= t-3- (3-2t)=3t-6，根据题意得：3t-6=2(3t-9)，解得：t=4；综上，t的值为1秒或73秒或52秒或83秒或4秒． 题号一二三总分得分 评卷人  得 分    评卷人  得 分    评卷人  得 分   月租费（元）主叫通话（分钟）上网流量（G）接听主叫超时部分（元/分钟）超出流量部分（元/G）方式一382003免费0.1510方式二603005免费0.108平时购物国庆购物实际付款第一档不超过200元的部分不超过200元的部分原价第二档超过200元但不超过800元的部分超过200元但不超过500元的部分九折第三档超过800元的部分超过500元的部分八折