北师大版 （2019）第二章 导数及其应用 单元测试卷(含答案)

北师大版 （2019）第二章  导数及其应用 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知函数,则曲线在点处的切线方程为(   )

A.  B.

C.  D.

2、已知是定义在R上的奇函数，的导函数为，若恒成立，则的解集为(   )

A. B. C. D.

3、已知函数在R上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

4、已知在处取得极大值，则a的值为(   )

A.2 B. C.-2 D.

5、函数在处的切线如图所示，则(   )

A.0 B. C. D.

6、曲线在点处切线的倾斜角为(   )

A. B. C. D.

7、一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数m的值为(   )

A.2 B.1 C. D.6

8、已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则的值为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的值可以是(   )

A.-2 B.4 C.0 D.6

10、定义在区间上的函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是(   )

A.函数在区间上单调递增

B.函数在区间上单调递减

C.函数在处取得极大值

D.函数在处取得极小值

三、填空题

11、曲线在点处的切线方程为______.

12、已知函数及其导函数的定义域均为R，为奇函数，且.则不等式的解集为_______________.

13、若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为___________.

14、已知定义在R上的奇函数满足，若，则曲线在处的切线方程为__________.

四、解答题

15、已知函数在处取得极大值1.

（1）求a，b的值；

（2）求函数在区间上的最值.

16、已知函数.

（1）若在处取得极值，求a的值；   

（2）设，试讨论函数的单调性；

（3） 当时，若存在正实数满足，求证：

参考答案

1、答案：B

解析：,切点为,

,

所以切线方程为,即.

2、答案：D

解析：令函数，则，

因为，所以.是增函数，

因为是奇函数，所以，，

所以的解集为，即的解集为；

3、答案：B

解析：，因为在R上单调递增，所以在R上恒成立，即恒成立，，解得，在上既有最大值，又有最小值，且，所以，综上所述，.

4、答案：B

解析：由已知，，，得，此时，，令，得或，令，得，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极大值，符合题意.则a的值为.故应选B.

5、答案：A

解析：因为切线过和,所以,

所以切线方程为,取,则,所以,

所以.

故选:A.

6、答案：B

解析：设,

,

切线的斜率倾斜角为.

7、答案：B

解析：由已知，得，

，解得，

故选：B.

8、答案：C

解析：由函数的图象在点处的切线方程是，得，.由，得，则.

9、答案：AD

解析：设切点为，则，所以切线方程为：，切线过点，代入得：，即方程有两个解，则有或.

故选：AD.

10、答案：ABD

解析：根据导函数的图像可知，当时，单调递减，当时，单调递增，所以在处取得极小值，没有极大值.所以选项A,B,D正确，选项C错误.

11、答案：

解析：求导，将代入得斜率为2，

直线为.

故答案为：

12、答案：

解析：

13、答案：

解析：设公切线与曲线的切点为，与曲线的切点为，

因为，，

所以在处的切线方程为，

同理可得，在处的切线方程为，

由题意可知，，即，

因为，所以，

所以，即，

消去，整理得，

设，，则，

令，解得，易知，

又，所以.

14、答案：

解析：由，

令，则，即，

又为奇函数，则，

故是以4为周期的周期函数，则，

对，求导得，

故是以4为周期的周期函数，则，

即切点坐标为，切线斜率，

故切线方程为，即.

故答案为：.

15、答案：（1）

（2）

解析：（1），则，由题意知，，即，解得，此时，时是的变号零点.于是符合题意.

（2）由（1）知，

，，

令，得到，则递增；

令，得到，则递减，

于是在上只有极小值，

又，，

故在区间上的最大值是5，最小值是.

16、答案：（1）（2）当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减；                                 

当时，恒成立，所以函数在上单调递增；

当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减

（3）见解析

解析： （1）因为，

所以，

因为在处取得极值，

所以

解得．                    

验证：当时，在处取得极大值．                       

（2）因为

所以．

①若，则当时，，所以函数在上单调递增；

当时，，

函数在上单调递减．

②若，，

当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减；                                 

当时，恒成立，所以函数在上单调递增；

当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减．                                     

（3）证明：当时，，

因为，

所以，

即

所以．              

令，，则

当时，，

所以函数在上单调递减；

当时，，

所以函数在上单调递增．

所以函数在时，取得最小值，最小值为1．  

所以，

即，

所以或．

因为为正实数，所以．

当时，，此时不存在满足条件，

所以．