高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.2 用样本估计总体导学案及答案

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知识点一 一组数据的方差与标准差
知识点二 总体方差与总体标准差
知识点三 样本方差与样本标准差
知识点四 标准差、方差描述数据的特征
标准差刻画了数据的eq \(□,\s\up3(01))离散程度或eq \(□,\s\up3(02))波动幅度，标准差越大，数据的离散程度eq \(□,\s\up3(03))越大；标准差越小，数据的离散程度eq \(□,\s\up3(04))越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．
知识点五 分层随机抽样估计总体方差
设层数为2层的分层随机抽样，第1层和第2层包含的样本变量由x1，x2，…，xn及y1，y2，…，yn表示．
则总体方差s2＝eq \f(M[s\\al(2,x)＋\(x,\s\up6(－))－\(z,\s\up6(－))2]＋N[s\\al(2,y)＋\(y,\s\up6(－))－\(z,\s\up6(－))2],M＋N)
1．方差的简化计算公式：s2＝eq \f(1,n)[(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－neq \(x,\s\up6(－))2]，或写成s2＝eq \f(1,n)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－eq \(x,\s\up6(－))2.即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．
2．平均数、方差公式的推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是meq \(x,\s\up6(－))＋a.
(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也是s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差是a2s2.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方差越大，数据的稳定性越强．( )
(2)在两组数据中，平均值较大的一组方差较大．( )
(3)样本的平均数和标准差一起反映总体数据的取值信息．一般地，绝大部分数据落在[eq \(x,\s\up6(－))－2s，eq \(x,\s\up6(－))＋2s]内．( )
(4)平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．做一做
(1)下列说法不正确的是( )
A．方差是标准差的平方
B．标准差的大小不会超过极差
C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0
D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散
(2)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则：①平均命中环数为________；
②命中环数的标准差为________．
(3)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则该样本的方差为________．
答案 (1)D (2)①7 ②2 (3)2
题型一 样本的标准差与方差的求法
例1 从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：
甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；
乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40；
试计算甲、乙两组数据的方差和标准差．
[解] eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,10)×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,10)×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2，
s甲＝eq \r(104.2)≈10.208.
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,10)×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31，
同理seq \\al(2,乙)＝128.8，
s乙＝eq \r(128.8)≈11.349.
对标准差与方差概念的理解
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．
(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下表所示：
求这次考试成绩的平均数和标准差．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(注：标准差s＝ \r(\f(1,n)[x1－\(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\(x,\s\up6(－))2]),＝ \r(\f(1,n)[x\\al(2,1)＋x\\al(2,2)＋…＋x\\al(2,n)－n\(x,\s\up6(－))2])))
解 设第一组数据为x1，x2，…，x20，第二组数据为x21，x22，…，x40，全班平均成绩为eq \(x,\s\up6(－)).
根据题意，有eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(90×20＋80×20,40)＝85，
42＝eq \f(1,20)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,20)－20×902)，
62＝eq \f(1,20)(xeq \\al(2,21)＋xeq \\al(2,22)＋…＋xeq \\al(2,40)－20×802)，
∴xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,40)＝20×(42＋62＋902＋802)＝291040.
再由变形公式，得s2＝eq \f(1,40)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,40)－40eq \(x,\s\up6(－))2)
＝eq \f(1,40)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,40)－40×852)＝eq \f(1,40)×(291040－289000)＝51，
∴s＝eq \r(51).
题型二 样本标准差、方差的实际应用
例2 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下：
甲：95 82 88 81 93 79 84 78
乙：83 92 80 95 90 80 85 75
(1)试比较哪个工人的成绩较好；
(2)甲、乙成绩位于eq \(x,\s\up6(－))－s与eq \(x,\s\up6(－))＋s之间有多少？
[解] (1)eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,8)×(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,8)×(83＋92＋80＋95＋90＋80＋85＋75)＝85.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,8)×[(95－85)2＋(82－85)2＋(88－85)2＋(81－85)2＋(93－85)2＋(79－85)2＋(84－85)2＋(78－85)2]＝35.5，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,8)×[(83－85)2＋(92－85)2＋(80－85)2＋(95－85)2＋(90－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(75－85)2]＝41.
∵eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \(x,\s\up6(－))乙，seq \\al(2,甲)∴甲的成绩较稳定．
综上可知，甲的成绩较好．
(2)∵s甲＝eq \r(s\\al(2,甲))＝eq \r(35.5)≈5.96，
eq \(x,\s\up6(－))甲－s甲＝79.04，eq \(x,\s\up6(－))甲＋s甲＝90.96，
∴甲位于[eq \(x,\s\up6(－))－s，eq \(x,\s\up6(－))＋s]之间的数据有4个．
又s乙＝eq \r(s\\al(2,乙))＝eq \r(41)≈6.4，
eq \(x,\s\up6(－))乙－s乙＝78.6，eq \(x,\s\up6(－))乙＋s乙＝91.4，
∴乙的成绩位于[eq \(x,\s\up6(－))－s，eq \(x,\s\up6(－))＋s]之间的有5个．
比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及标准差这两个方面考虑．其中标准差与样本数据单位一样，比方差更直观地刻画出与平均数的平均距离．
从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下：
(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；
(2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．
解 (1)根据题中所给数据，可得甲的平均数为
eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,10)×(8＋9＋7＋9＋7＋6＋10＋10＋8＋6)＝8，
乙的平均数为eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,10)×(10＋9＋8＋6＋8＋7＋9＋7＋8＋8)＝8，
甲的标准差为
s甲＝eq \r(\f(1,10)×[8－82＋9－82＋…＋6－82])＝eq \r(2)，
乙的标准差为
s乙＝eq \r(\f(1,10)×[10－82＋9－82＋…＋8－82])＝eq \f(\r(30),5)，
故甲的平均数为8，标准差为eq \r(2)，乙的平均数为8，标准差为eq \f(\r(30),5).
(2)∵eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \(x,\s\up6(－))乙，且s甲>s乙，∴乙的成绩较为稳定，故选择乙参加射箭比赛.
题型三 标准差、方差的图形分析
例3 样本数为9的四组数据，他们的平均数都是5，条形图如下图所示，则标准差最大的一组是( )
A．第一组B．第二组
C．第三组D．第四组
[解析] 第一组中，样本数据都为5，数据没有波动幅度，标准差为0；第二组中，样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6，标准差为eq \f(\r(6),3)；第三组中，样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7，标准差为eq \f(2\r(5),3)；第四组中，样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8，标准差为2eq \r(2)，故标准差最大的一组是第四组．
[答案] D
由图形分析标准差、方差的大小
从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义也可以直观得到答案．
甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
答案 C
解析 由题图可得，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9，所以甲、乙的成绩的平均数均是6，故A不正确；甲、乙成绩的中位数分别为6,5，故B不正确；甲、乙成绩的极差都是4，故D不正确；甲的成绩的方差为eq \f(1,5)×(22×2＋12×2)＝2，乙的成绩的方差为eq \f(1,5)×(12×3＋32)＝2.4.故C正确．
1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是( )
A．平均数 B．中位数
C．方差 D．众数
答案 C
解析 由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．
2．样本数据2,4,6,8,10的标准差为( )
A．40 B．8
C．2eq \r(10) D．2eq \r(2)
答案 D
解析 eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，则标准差为
eq \r(\f(1,5)×[2－62＋4－62＋6－62＋8－62＋10－62])＝2eq \r(2).
3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________．(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)
答案 丙
解析 分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙．
4．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．
答案 0.1
解析 这组数据的平均数
eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5,5)＝5.1，
则方差s2＝
eq \f(4.7－5.12＋4.8－5.12＋5.1－5.12＋5.4－5.12＋5.5－5.12,5)
＝eq \f(0.16＋0.09＋0＋0.09＋0.16,5)＝0.1.
5．甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
解 (1)eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,6)×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,6)×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq \f(7,3)，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，
又seq \\al(2,甲)>seq \\al(2,乙)，所以乙机床加工零件的质量更稳定.
样本数
总体数
方差
平均数
第1层
m
M
seq \\al(2,x)
eq \(x,\s\up6(－))
第2层
n
N
seq \\al(2,y)
eq \(y,\s\up6(－))
组别
平均数
标准差
第一组
90
4
第二组
80
6
甲
8
9
7
9
7
6
10
10
8
6
乙
10
9
8
6
8
7
9
7
8
8