高中数学7.1 复数的概念导学案

7.1.2　复数的几何意义

知识点一　　　复平面的相关概念

如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．

复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)．

知识点二　　　复数的向量表示

如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量是由点Z唯一确定的；反过来，点Z也可以由向量唯一确定．

复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即

复数z＝a＋bi平面向量.

这是复数的另一种几何意义，并且规定相等的向量表示同一个复数．

知识点三　　　复数的模的定义公式

向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．

如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(a的绝对值)．

知识点四　　　共轭复数

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数．

1．复数的向量表示

(1)任何一个复数z＝a＋bi与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量对应，这些对应都是一一对应，即

(2)这种对应关系架起了联系复数与解析几何的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．讨论复数的运算性质和应用时，可以在复平面内，用向量方法进行．

2．共轭复数的性质

(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．

(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝⇔z∈R.

利用这个性质，可以证明一个复数是实数．

(3)z＝|z|2＝||2∈R.

z与互为实数化因式．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(　　)

(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．(　　)

(3)复数的模一定是正实数．(　　)

(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2．做一做

(1)若＝(0，－3)，则对应的复数为________．

(2)复数z＝1－4i位于复平面上的第________象限．

(3)复数i的模是________．

(4)复数5＋6i的共轭复数是________．

答案　(1)－3i　(2)四　(3)　(4)5－6i

题型一  复平面内复数与点的对应

例1　在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．

[解]　复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.

(1)由题意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.

(2)由题意得∴

∴－1<m<1.

(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，∴m＝2.

复数集与复平面内所有的点所成的集合之间存在着一一对应关系．每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．

实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.

(1)对应的点在x轴上方；

(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．

解　(1)由题意得m2－2m－15>0，

解得m<－3或m>5，

所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方．

(2)由题意得(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，

解得m＝1或m＝－，所以当m＝1或m＝－时，

复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上.

题型二  复平面内复数与向量的对应

例2　已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)表示的复数；(2)表示的复数；(3)点B对应的复数．

[解]　由题意得O为原点，＝(3,2)，＝(－2,4)．

(1)∵＝－＝－(3,2)＝(－3，－2)

∴表示的复数为－3－2i.

(2)∵＝－＝(3,2)－(－2,4)＝(5，－2)，

∴表示的复数为5－2i.

(3)∵＝＋＝(3,2)＋(－2,4)＝(1,6)，

∴表示的复数为1＋6i，

即点B对应的复数为1＋6i.

复数与平面向量一一对应是复数的另一个几何意义，利用这个几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解．

(1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________；

(2)在复平面内，O为原点，向量对应复数为－1＋2i，则点A关于直线y＝－x对称点为B，向量对应复数为________．

答案　(1)－6－8i　(2)－2＋i

解析　(1)因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i.

(2)点A(－1,2)关于直线y＝－x对称的点为B(－2,1)，所以＝－2＋i.

题型三  复数模的综合应用

例3　设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？

[解]　由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.

这表明向量的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.

因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．

　巧用复数的几何意义解题

(1)复平面内|z|的意义

我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a|是表示实数a的点与原点O间的距离．那么在复数集中，类似地，有|z|是表示复数z的点Z到坐标原点间的距离．也就是向量的模，|z|＝||.

(2)复平面内任意两点间的距离

设复平面内任意两点P，Q所对应的复数分别为z1，z2，则|PQ|＝|z2－z1|.

运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题．

设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？

(1)1<|z|<2；

(2)|z－i|<1.

解　(1)根据复数模的几何意义可知，

复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，不包括环的边界．

(2)根据模的几何意义，|z－i|＝1表示复数z对应的点到复数i对应的点(0,1)的距离为1.

∴满足|z－i|＝1的点Z的集合为以(0,1)为圆心，以1为半径的圆内的部分(不含圆的边界)．

1．已知a∈R，且0<a<1，i为虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　D

解析　∵0<a<1，∴a>0且a－1<0，故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a，a－1)位于第四象限．故选D．

2．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　　)

A．a≠2或a≠1   B．a≠2且a≠1

C．a＝0   D．a＝2或a＝0

答案　D

解析　由点Z在虚轴上可知，点Z对应的复数是纯虚数和0，∴a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0.

3．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.

答案　

解析　因为z＝1＋2i，所以|z|＝＝.

4．已知复数z＝3＋ai，且|z|<5，则实数a的取值范围是________．

答案　－4<a<4

解析　|z|＝<5，解得－4<a<4.

5．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．

解　因为复数z对应的点在第一象限，

所以解得m<或m>.

所以实数m的取值范围为

∪.