数学必修 第二册10.3 频率与概率导学案及答案

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10.3.2 随机模拟
(教师独具内容)
课程标准：结合实例，会用频率估计概率．
教学重点：了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．
教学难点：1.频率与概率的区别与联系.2.理解用模拟方法估计概率的实质.
知识点"一 频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会eq \(□,\s\up3(01))缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的eq \(□,\s\up3(02))概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用eq \(□,\s\up3(03))频率fn(A)估计概率P(A)．
知识点"二 随机数的概念
1．随机数：要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个eq \(□,\s\up3(01))质地和大小相同的小球分别标上1,2,3，…，n，放入一个容器中，eq \(□,\s\up3(02))充分搅拌后取出一个球，这个球上的数就称为随机数．
2．伪随机数：计算机或计算器产生的随机数是按照eq \(□,\s\up3(03))确定的算法产生的数，具有eq \(□,\s\up3(04))周期性(eq \(□,\s\up3(05))周期很长)，它们具有类似eq \(□,\s\up3(06))随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的随机数不是eq \(□,\s\up3(07))真正的随机数，我们称它们为伪随机数．
3．产生随机数的方法：教材中给出了两种产生随机数的方法：①利用带有PRB功能的计算器产生随机数；②用计算机软件产生随机数，比如用Excel软件产生随机数．我们只要按照它的程序一步一步执行即可．
4．用随机模拟估计概率的步骤
(1)建立概率模型；
(2)进行模拟试验，可用计算器或计算机进行模拟试验；
(3)统计试验结果．
1．频率随着试验次数的变化而变化；概率却是一个常数，是客观存在的，与试验次数无关．
2．在实际应用中，只要试验的次数足够多，所得的频率就可以近似地当作随机事件的概率．
3．概率是频率的稳定值，根据概率的定义我们可知，概率越接近于1，事件A发生的频数就越多，此事件发生的可能性就越大；反之，概率越接近于0，事件A发生的频数就越少，此事件发生的可能性就越小．
4．应用随机数计算事件的概率，在设计随机试验方案时，一定要注意先确定随机数的范围和每个随机数所代表的试验结果，其次要注意用几个随机数为一组时，每组中的随机数是否能够重复．对于一些较为复杂的问题，要建立一个适当的数学模型，转换成计算机或计算器能操作的试验．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)频率是概率的估计值．( )
(2)概率是频率的稳定值．( )
(3)对于满足“有限性”，但不满足“等可能性”的概率问题我们可采取随机模拟方法．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√
2．做一做
(1)下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1]之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
(2)下列说法正确的是( )
A．某事件A发生的概率为1.09
B．不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1
C．随机事件发生的频率是一个确定的值
D．随机事件发生的概率随着试验次数的变化而变化
(3)历史上有些学者做了成千上万次掷硬币试验，结果如下表：
由上表可知，掷硬币试验中，正面朝上的概率为( )
A．0.51 B．0.49
C．0.50 D．0.52
答案 (1)C (2)B (3)C
题型一 频率与概率的关系
例1 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
(1)求各组的频率；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．
[解] (1)频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中寿命不足1500小时的频率是eq \f(600,1000)＝0.6.
即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.
估算法求概率
(1)在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值．
(2)在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，且这个常数就是概率．
有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表：
请根据以上表格中的数据回答下列问题：
(1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格；
(2)根据(1)中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率．
解 (1)
(2)由(1)中的数据可知，随着一发次数的增多，两位运动员一发成功的频率都越来越集中在0.9附近，所以估计两人一发成功的概率均为0.9.
题型二 随机模拟法估计概率
例2 天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，请设计一个模拟试验计算下个星期恰有2天涨潮的概率．
[解] 利用计算机产生0～9之间取整数值的随机数，用1,2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数：
7032563 2564586 3142486 5677851
7782684 6122569 5241478 8971568
3215687 6424458 6325874 6894331
5789614 5689432 1547863 3569841
2589634 1258697 6547823 2274168
相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486,5241478,3215687,1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率近似值为eq \f(4,20)＝eq \f(1,5).
随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：(1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点；(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；(3)当每次试验
结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．假设产生30组随机数．
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162
332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
据此估计乙获胜的概率约为________．
答案 eq \f(11,30)
解析 相当于做了30次试验．如果6,7,8,9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707，共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为eq \f(11,30).
1．下列说法正确的是( )
A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是eq \f(7,10)
B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上
C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率
答案 D
解析 注意概率与频率的区别及正确理解概率的含义是解题的关键．A的结果是频率，不是概率；B，C两项都没有正确理解概率的含义，D正确．
2．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53 B．0.5
C．0.47 D．0.37
答案 A
解析 取到的卡片号码为奇数的频数为10＋8＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为eq \f(53,100)＝0.53.故选A.
3．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率．先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：
812,832,569,683,271,989,730,537,925,907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
答案 A
解析 由10组随机数，知4～9中恰有三个的随机数有569,989两组，故所求的概率为P＝eq \f(2,10)＝0.2.
4．给出下列三个命题，其中正确的个数为________．
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次掷硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是eq \f(3,7)；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
答案 0
解析 ①根据概率的意义可知，100件产品中，次品数可能是10件，未必一定是10件，错误；②7次试验中，正面出现了3次，得频率为eq \f(3,7)，错误；③频率只是概率的估计值，错误．故正确的个数为0.
5．某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域(不考虑指针落在分界线上的情况)就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据．
(1)计算并完成表格；
(2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？
(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？
解 (1)
(2)当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.
(3)获得铅笔的概率约是0.7.试验者
抛掷次数(n)
正面朝上次数(m)
频率eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,n)))
德·摩根
2048
1061
0.5181
蒲丰
4040
2048
0.5069
费勒
10000
4979
0.4979
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
分组
频数
频率
[500,900)
48

[900,1100)
121

[1100,1300)
208

[1300,1500)
223

[1500,1700)
193

[1700,1900)
165

[1900，＋∞)
42

一发次数n
10
20
50
100
200
500
甲一发成功次数
9
17
44
92
179
450
一发成功的频率






一发次数n
10
20
50
100
200
500
乙一发成
功次数
8
19
44
93
177
453
一发成功
的频率






一发次数n
10
20
50
100
200
500
甲一发成功次数
9
17
44
92
179
450
一发成功的频率
0.9
0.85
0.88
0.92
0.895
0.9
一发次数n
10
20
50
100
200
500
乙一发成功次数
8
19
44
93
177
453
一发成功的频率
0.8
0.95
0.88
0.93
0.885
0.906
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
10
11
8
8
6
10
18
9
11
9
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率eq \f(m,n)
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率eq \f(m,n)
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701