浙教版九年级上册数学第2章直线与圆的位置关系（A卷）含解析答案

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第2章�直线与圆的位置关系（A卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（  ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点O为边AB上一点（不与A重合）⊙O是以点O为圆心，AO为半径的圆．当⊙O与三角形边的交点个数为3时，则OA的范围（　　）
A．0＜OA≤或2.5≤OA＜5 B．0＜OA或OA＝2.5
C．OA＝2.5 D．OA＝2.5或
3．如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（　　　）

A． B． C． D．
4．下列命题中的真命题是（　　）
①相等的角是对顶角 ②矩形的对角线互相平分且相等 ③垂直于半径的直线是圆的切线 ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
5．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（    ）

A．1 B．2 C． D．
6．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是(     )

A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
8．图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（  ）

A． B． C． D．
9．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是(    )

A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
10．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），他们的具体裁法如下：甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为S1；乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为S2；丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰Rt△的直角边上，面积记为S3；丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为S4则下列判断正确的是（　　）
①S1=S2；②S3=S4；③在S1，S2，S3，S4中，S2最小．

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
12．如图，等腰的内切圆⊙与，，分别相切于点，，，且， ，则的长是(　　)

A． B． C． D．
13．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（　　）

A． B． C．34 D．10
14．如图，是的直径，、是弧（异于、）上两点，是弧上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是（    ）

A． B． C． D．

评卷人
得分



二、填空题
15．如图，在边长为3的菱形中，，是边上的一点，且，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接．则长度的最小值是 ．

16．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．

17．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 ．

18．如图，为的直径，为上一点，过点的切线交的延长线于点，为弦的中点，，，若点为直径上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的长为 ．

19．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 ．
20．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点.若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是 .

21．如图，在△ABC中，AC：BC：AB=5：12：13,⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为，则△ABC的周长为 .

22．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10= ．

23．直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为 ．
24．如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为 ．
  

评卷人
得分



三、解答题
25．在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“位置矩形”．
例如，图中的矩形ABCD为直线l的“位置矩形”．

（1）若点A（-1，2），四边形ABCD为直线x=-1的“位置矩形”，则点D的坐标为 ；
（2）若点A（1，2），求直线y=kx+1（k≠0）的“位置矩形”的面积；
（3）若点A（1，-3），直线l的“位置矩形”面积的最大值为 ，此时点D的坐标为 ．
26．如图，AB为的直径，C为上一点，D为BA延长线上一点，．
求证：DC为的切线；
线段DF分别交AC，BC于点E，F且，的半径为5，，求CF的长．

27．按要求作图：

(1)如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，利用无刻度直尺画出这个圆的一条直径；
(2)如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，ÐBAC=50°，利用无刻度直尺在图中画一个含有50°角的直角三角形；
(3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
(4)如图4，AB与圆相切，且切点为点B，利用无刻度直尺在网格中找出点B的位置．
28．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E
(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
(2)如果∠BED=60°，PD=，求PA的长；
(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．

29．如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点作，垂足为点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若的半径为4，，求阴影部分的面积．

30．如图已知是半径，弦垂直于，点是上的一点，和相交于另一点，过点的切线和的延长线交于点，
（1）求证：；
（2）当，时，求的值．

31．如图1，在四边形中，，，是的直径，平分．

（1）求证：直线与相切；
（2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，.求的值．

32．如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．
（1）求证：PG与⊙O相切；
（2）若=，求的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为8，PD=OD，求OE的长．

33．如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．
（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长；
（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长．

34．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F，BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB，
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．

35．如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点，连接AC、BC，将△ABC沿AB翻折后得到△ABD


（1）试说明点D在⊙O上；
（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC·AE，求证：BE为⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长.

参考答案：
1．B
【分析】根据中，， ，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC与半径r的大小，即可得出与的位置关系．
【详解】解：∵中，， ，
∴cosA=
∵，
∴AC=4
∴BC=
当时，与的位置关系是：相切
故选：B
【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC是解题的关键．
2．B
【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后即可得到OA的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：如右图所示，
当圆心从O1到O3的过程中，⊙O与三角形边的交点个数为3，当恰好到达O3时则变为4个交点，
作O3D⊥BC于点D，
则∠O3BD＝∠ABC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
设O3A＝a，则O3B＝5﹣a，
∴ ，得 ，
∴当 时，⊙O与三角形边的交点个数为3，
当点O为AB的中点时，⊙O与三角形边的交点个数为3，此时OA＝2.5，
由上可得， 或OA＝2.5时，⊙O与三角形边的交点个数为3，
故选：B．

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、勾股定理，准确画出图形，利用数形结合的思想进行解答是解题的关键．
3．A
【分析】求出点到直线的距离即可求得的最小值．
【详解】解：过点作直线，交圆于点，此时的值最小，连接、，作于，于，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
设，，则，
∵，，
∴，，
解得：，
∵的半径为1，
∴，
故选：A．

【点睛】此题主要考查与圆相关的动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用、点到直线的距离的性质．
4．D
【分析】根据对顶角、矩形的性质、切线的判定、中点四边形有知识逐一进行判断即可得.
【详解】①相等的角不一定是对顶角，故①错误；
②矩形的对角线互相平分且相等，故②正确；
③经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，故③错误；
④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，故④正确，
所以正确的是②④，
故选D．
【点睛】本题考查了真命题与假命题，熟练掌握切线判定、矩形的性质、中点四边形等相关知识是解决此题的关键.
5．D
【分析】连接OB，由题意可知，∠OBD=90°；再说明△OAB是等边三角形，则∠AOB =60°；再根据直角三角形的性质可得∠ODB=30°，最后解三角形即可求得BD的长．
【详解】解：连接OB
∵菱形OABC
∴OA=AB
又∵OB=OA
∴OB=OA=AB
∴△OAB是等边三角形
∵BD是圆O的切线
∴∠OBD=90°
∴∠AOB=60°
∴∠ODB=30°
∴在Rt△ODB中,OD=2OB=2,BD=OD·sin∠ODB=2× =
故答案为D．

【点睛】本题考查了菱形的性质、圆的切线的性质、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形，其中证明△OAB是等边三角形是解答本题的关键．
6．C
【分析】连接OD，由题意，先利用勾股定理求出AB的长度，设半径为r，然后求出内切圆的半径，再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案．
【详解】解：连接OD，如图：

在中，，，，
由勾股定理，则
，
设半径为r，则，
∴，
∴四边形CEOF是正方形；
由切线长定理，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴；
∴阴影部分的面积为：；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，切线长定理，求扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
7．D
【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
【详解】∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，
故选D．
【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
8．B
【分析】利用辅助线构造直角三角形和相似三角形进行边的求解和角的转化即可．
【详解】：如图，连接PO，AO，取PO中点G，连接AG，过点A作AH⊥PO于点H，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB，CA=CE，DB=DE，∠APO=∠BPO，∠OAP=90º.
∵△PCD的周长等于3r，
∴PA=PB=.
∵⊙O的半径为r，
∴在Rt△APO中，由勾股定理得
∴.
∵∠OHA=∠OAP=90º,∠HOA=∠AOP,
∴△HOA∽△AOP.
∴,
即，
∴，
∴；
∵∠AGH=2∠APO=∠APB,
∴.
故选：B．

【点睛】本题考查了以下内容：1.切线的性质；2.切线长定理；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.直角三角形斜边上中线的性质；7.转换思想的应用；解决本题的关键是进行角的转化，得到与∠APB相等的角．
9．A
【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.
【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，
∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，
∴四边形AEOF为正方形，
设⊙O的半径为r，
∴OE=OF=r，
∴S四边形AEOF=r²，
连接AO，BO，CO，

∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴，
∴r=2，
∴S四边形AEOF=r²=4，
故选A.
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.
10．C
【分析】先依据题意画出图形，如图（见解析），过点A作于D，利用勾股定理可求出AD的长，再根据三角形内切圆的性质、三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：如图，，内切圆O的半径为，切点为，则
过点A作于D，设，则
由勾股定理得：
则，即
解得，即

又

即
解得
则内切圆的半径为
故选：C．

【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质、勾股定理等知识点，读懂题意，正确画出图形，并求出AD的长是解题关键．
11．B
【分析】分别计算结果再比较大小．具体如下：若设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，只要把四个图中阴影部分的面积都用等腰直角三角形的腰长表示，就可比较它们的大小．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可求图1中S1=；设图2中正方形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质求得x的值，所以可知S2=；在图3中，设半圆的半径为r，根据切线长定理可求得S3=（﹣）π；在图4中，设三角形的内切圆半径为R，根据切线长定理可求得R=1﹣，所以S4=（）π；根据以上计算的值进行比较即可判断．
【详解】图1中，设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，图1中阴影正方形的对角线长为，S1=；
图2中，设正方形的边长为x，则3x=，x=，S2=；
图3中，设半圆的半径为r，则1+r=，r=﹣1，S3=（﹣）π；
图4中，设三角形的内切圆半径为R，则2﹣2R=，解得：R=1﹣，S4=（）π；
根据以上计算的值进行比较，S3=S4，在S1，S2，S3，S4中，S2最小，所以正确的是②③．
故选B．
12．D
【分析】如图，连接、、，交于，先证明点、、共线，即，从而可得，在中，利用勾股定理求出AE长，再由切线长定理求得BD长，进而得AD长，设⊙的半径为，则， ，
在中，利用勾股定理求得，在中，求得，再证明OB垂直平分，利用面积法可得，求得HE长即可求得答案.
【详解】连接、、，交于，如图，
等腰的内切圆⊙与，，分别相切于点，，
平分， ， ，，
，
，
点、、共线，
即，
，
在中， ，
，
，
设⊙的半径为，则， ，
在中，，解得，
在中，，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，三角形的内心，等腰三角形的性质，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.
13．D
【详解】分析：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．
详解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．

∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN=DE=2，
∴NP=MN-MP=EF-MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故选D．
点睛：本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．
14．A
【分析】连接BE，由题意可得点E是△ABC的内心，由此可得∠AEB＝135°，为定值，确定出点E的运动轨迹是是弓形AB上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在AB的中垂线上，根据题意过圆心O作直径CD，则CD⊥AB，在CD的延长线上，作DF＝DA，则可判定A、E、B、F四点共圆，继而得出DE＝DA＝DF，点D为弓形AB所在圆的圆心，设⊙O的半径为R，求出点C的运动路径长为，DA＝R，进而求出点E的运动路径为弧AEB，弧长为，即可求得答案.
【详解】连结BE，
∵点E是∠ACB与∠CAB的交点，
∴点E是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AEB＝180°－(∠CAB+∠CBA)＝135°，为定值，，

∴点E的轨迹是弓形AB上的圆弧，
∴此圆弧的圆心一定在弦AB的中垂线上，
∵，
∴AD=BD，
如下图，过圆心O作直径CD，则CD⊥AB，
∠BDO＝∠ADO＝45°，
在CD的延长线上，作DF＝DA，
则∠AFB＝45°，
即∠AFB+∠AEB＝180°，
∴A、E、B、F四点共圆，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴DE＝DA＝DF，
∴点D为弓形AB所在圆的圆心，
设⊙O的半径为R，
则点C的运动路径长为：，
DA＝R，
点E的运动路径为弧AEB，弧长为：，
C、E两点的运动路径长比为：，
故选A.

【点睛】本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合性较强，正确分析出点E运动的路径是解题的关键.
15．
【分析】过点M作MH⊥CD，由勾股定理可求MC的长，由题意可得点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，则当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值．
【详解】解：过点作交延长线于点，连接，

∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴
∵将沿所在直线翻折得到，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴当点在线段上时，长度有最小值
∴长度的最小值
故答案为
【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，勾股定理，确定A'C长度有最小值时，点A'的位置是本题的关键．
16．60
【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．
【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．
17．（，2）或（﹣，2）
【分析】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是2或-2．将P的纵坐标代入函数解析式，求P点坐标即可
【详解】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是2或-2．
当y=2时， x2-1=2，解得x=±
当y=-2时， x2-1=-2，方程无解
故P点的坐标为（）或（-）
【点睛】此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键．
18．4或2.56．
【分析】根据勾股定理求出AB，由△BCD∽△ABD得到比例式求出CD的长，当是直角三角形时，分∠AEP=90°和∠APE=90°两种情况进行讨论,可求出AP长有2种情况.
【详解】解：连接BC

过点的切线交的延长线于点，
，
，
当时，，
经过圆心，
；
当时，则，
，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠BCD＝90°.
∵∠BCD ＝∠ABD，∠D是公共角，
∴△BCD∽△ABD.
∴
，
，
，
，
，
．
综上的长为4或2.56．
故答案为4或2.56．
【点睛】本题考查的是切线的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键.
19．＜AO＜．
【分析】根据勾股定理得到AC=10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，证明△AOE∽△ACD即可求出与AD相切时的AO值；如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，证明△COF∽△CAB即可求出BC相切时的AO值，最后即可得到结论．
【详解】解：在矩形ABCD中，∵∠D=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，
如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，

则OE⊥AD，∴OE//CD，
∴△AOE∽△ACD，
∴，
∴，
∴AO=；
如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，

则OF⊥BC，∴OF//AB，
∴△COF∽△CAB，
∴，
∴，
∴OC=，
∴AO=，
∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜AO＜．
故答案为：＜AO＜．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
20．x=0或x=4-4 或4＜x<4
【详解】以MN为底边时，可作MN的垂直平分线，与OB的必有一个交点P1 ，且MN=4，以M为圆心MN为半径画圆，以N为圆心MN为半径画圆，①如下图，当M与点O重合时，即x=0时，除了P1 ，当MN=MP，即为P3；当NP=MN时，即为P2；
只有3个点P；

②当0＜x＜4时，如下图，圆N与OB相切时，NP2=MN=4，且NP2⊥OB，此时MP3=4，则OM=ON-MN= NP2-4= ．

③因为MN=4，所以当x>0时，MN＜ON，则MN=NP不存在，除了P1外，当MP=MN=4时，过点M作MD⊥OB于D，当OM=MP=4时，圆M与OB刚好交OB两点P2和P3，P3不能与M,N构成三角形，故舍去，所以x=4不满足题意；

当MD=MN=4时，圆M与OB只有一个交点，此时OM=MD=，故4≤x＜．

与OB有两个交点P2和P3，故答案为x=0或x=或4＜x＜．
考点：相交两圆的性质；分类讨论；综合题．
21．25
【分析】如图，可知圆心O在△ABC内所能到达的区域为△DEF的边以及其内部，其中点D在∠BAC的角平分线上，且到AB、AC边的距离为1，点E在∠ACB的角平分线上，且到CA、CB边的距离为1，点F在∠ABC的角平分线上，且到BA、BC边的距离为1，DH、EP分别垂直于AC，EM、FQ分别垂直于BC，DK、FN分别垂直于AB，
则有AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四边形EDPH、EFQM、DFNK是矩形，△DEF是直角三角形且△DEF∽△ACB，继而根据已知可分别求出DE、EF、DF的长，再设AH=AK=x，BN=BQ=y，
则有AC =x+，BC=5+y，AB= x+y+，再根据AC：BC：AB=5：12：13列方程组可求出x、y的值，继而根据三角形的周长公式进行求解即可.
【详解】如图，可知圆心O在△ABC内所能到达的区域为△DEF的边以及其内部，其中点D在∠BAC的角平分线上，且到AB、AC边的距离为1，点E在∠ACB的角平分线上，且到CA、CB边的距离为1，点F在∠ABC的角平分线上，且到BA、BC边的距离为1，DH、EP分别垂直于AC，EM、FQ分别垂直于BC，DK、FN分别垂直于AB，
则有AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四边形EDPH、EFQM、DFNK是矩形，△DEF是直角三角形且△DEF∽△ACB，
又∵AC：BC：AB=5：12：13，
∴DE：EF：DF=5：12：13，
又∵S△DEF=DE•EF=，
∴DE=，EF=4，
∴DF=，
∴PH=DE=，MQ=EF=4，NK=DF=，
设AH=AK=x，BN=BQ=y，
则有AC=AH+HP+CP=x+，BC=CM+MQ+BQ=5+y，AB=AK+NK+BN=x+y+，
又∵AC：BC：AB=5：12：13，
∴，
解得：，
∴AC=+，BC=10，AB=++5，
∴AC+BC+AB=++10+++5=7+3+10+5=25，
故答案为25.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线长定理，三角形的面积等知识，难度很大，正确画出图形确定出点O的运动区域是解题的关键.
22．π.
【详解】
图1,过点O做OE⊥AC,OF⊥BC,垂足为E. F,则∠OEC=∠OFC=90°
∵∠C=90°
∴四边形OECF为矩形
∵OE=OF
∴矩形OECF为正方形
设圆O的半径为r,
则OE=OF=r,
AD=AE=3−r,
BD=4−r
∴3−r+4−r=5,r==1
∴S1=π×12=π

图2,由S△ABC=×3×4=×5×CD
∴CD=
由勾股定理得：AD=
,BD=5−=，
由(1)得：
⊙O的半径=,
⊙E的半径=，
∴S1+S2=π×()2+π×()2=π.

图3,由S△CDB=××=×4×MD
∴MD=，
由勾股定理得：CM=,
MB=4−=，
由(1)得：⊙O的半径=,
⊙E的半径=，
∴⊙F的半径=，
∴S1+S2+S3=π×()2+π×()2+π×()2=π
23．2
【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）求解．
【详解】直角三角形的斜边，
所以它的内切圆半径.
故答案为2．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）．
24．（2，3）
【分析】根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出△ABC各边的长度，易得该三角形是直角三角形，设BC的关系式为：y=kx+b，求出BC与x轴的交点G的坐标，证出点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，三角形的内心在BD上，设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，求出r的值，在△BEM中，利用勾股定理求出BM的值，即可得到点M的坐标．
【详解】解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，
根据题意可得：AB=，AC=，BC=，
∵，
∴∠BAC=90°，
设BC的关系式为：y=kx+b，
代入B，C，
可得，
解得：，
∴BC：，
当y=0时，x=3，即G（3,0），
∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，
设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，
∵∠BAC=90°，
∴四边形MEAF为正方形，
S△ABC=，
解得：，
即AE=EM=，
∴BE=，
∴BM=，
∵B（-3，3），
∴M（2，3），
  
故答案为：（2，3）．
【点睛】本题考查三角形内心、平面直角坐标系、一次函数的解析式、勾股定理和正方形的判定与性质等相关知识点，把握内心是三角形内接圆的圆心这个概念，灵活运用各种知识求解即可．
25．（1）（-1，0）；（2）；（3）5、（3，-2）或（-1，-2）．
【分析】（1）只需根据新定义画出图形就可解决问题；
（2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2，根据点A（1，2）在直线y=kx+1上可求出k，设直线y=x+1与y轴相交于点G，易求出OG=1，∠FGA=45°，根据勾股定理可求出AG、AB、BC的值，从而可求出“位置矩形”ABCD面积；
（3）设“位置矩形”的一组邻边长分别为x、y，则有x2+y2=10．由（x-y）2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0可得xy≤5，当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“位置矩形”是正方形，然后分点D在第四象限（如图3）和第三象限（如图4）两种情况讨论，就可解决问题
【详解】（1）如图1，

点D的坐标为（-1，0）．
故答案为（-1，0）；
（2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2．

∵点A的坐标为（1，2），
∴AC=AO=，AF=1，OF=2．
∵点A（1，2）在直线y=kx+1上，
∴k+1=2，
解得k=1．
设直线y=x+1与y轴相交于点G，
当x=0时，y=1，点G（0，1），OG=1，
∴FG=OF-OG=2-1=1=AF，
∴∠FGA=45°，AG=．
在Rt△GAB中，AB=AG•tan45°=．
在Rt△ABC中，BC=．
∴所求“位置矩形”ABCD面积为AB•BC=；
（3）设“位置矩形”的一组邻边长分别为x、y，
则有x2+y2=AC2=AO2=12+32=10．
∵（x-y）2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0，
∴xy≤5．
当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“位置矩形”是正方形．
①当点D在第四象限时，如图3，

过点A作x轴的平行线，交y轴于点M，交过点D平行于y轴的直线于点N，
∵∠BAM+∠DAN=90°，∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DAN，
在RtAMB和Rt△DNA中，
，
∴RtAMB≌Rt△DNA，
则有AN=BM=2，DN=AM=1，
∴点D的坐标为（1+2，-3+1）即（3，-2）．
②当点D在第三象限时，如图4，

过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，交过点D平行于y轴的直线于点M，
同①的方法得：RtANB≌Rt△DMA，
则有DM=AN=1，AM=BN=2，
∴点D的坐标为（1-2，-3+1）即（-1，-2）．
故答案为5、（3，-2）或（-1，-2）．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了用待定系数法求直线的解析式、圆的定义、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、完全平方公式、特殊角的三角函数值等知识，还考查了分类讨论的思想，运用公式（x-y）2=x2+y2-2xy推出当“位置矩形”是正方形时面积最大是解决第3小题的关键．
26．证明见解析；．
【分析】根据圆周角定理得：，根据同圆的半径相等和已知相等的角代换可得：，可得结论；
先根据三角函数计算，，证明∽，得，设，，利用勾股定理列方程可得x的值，证明∽，列比例式可得CF的长．
【详解】（1）如图，连接OC

为的直径，





，即
为的切线；
(2)Rt△ACB中，，
，
，
∽

设，
中，

舍或
，

设




∽





【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等，正确添加辅助线、熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
27．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析；
(4)见解析．

【分析】（1）根据垂径定理可知，AB 的垂直平分线过圆心，连接AB，利用网格找出线段AB的垂直平分线即可；
（2）延长AC交⊙O与点E，连接BO并延长交⊙O于点F，在连接EF，则即为所求；
（3）作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，再以点O为圆心，OA为半径作圆即可；
（4）过点A作圆的两条割线：ACD和AEF；连接CF，DE交于点G，延长EC和FD交于点H，连接HG交圆于点B，连接AB即可．
【详解】（1）解：根据垂径定理可知，AB 的垂直平分线过圆心，连接AB，利用网格找出线段AB的垂直平分线即可，如图：EF即为直径；

（2）解：延长AC交⊙O与点E，连接BO并延长交⊙O于点F，在连接EF，则即为所求；

（3）解：作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，再以点O为圆心，OA为半径作圆即可，如图；

（4）解：过点A作圆的两条割线：ACD和AEF；连接CF，DE交于点G，延长EC和FD交于点H，连接HG交圆于点B，连接AB即可，如图：

【点睛】本题考查作图，圆周角定理，切线性质，垂直平分线，解题的关键是理解题意，综合运用所学知识，是中考中常见题型．
28．（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.
【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；
（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；
（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．
【详解】解：（1）直线PD为⊙O的切线，
理由如下：
如图1，连接OD，

∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
又∵DO=BO，
∴∠BDO=∠PBD，
∵∠PDA=∠PBD，
∴∠BDO=∠PDA，
∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，
∵点D在⊙O上，
∴直线PD为⊙O的切线；
（2）∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBA=90°，
∵∠BED=60°，
∴∠P=30°，
∵PD为⊙O的切线，
∴∠PDO=90°，
在Rt△PDO中，∠P=30°，PD=，
∴，
解得OD=1，
∴=2，
∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；
（3）如图2，

依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，
∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，
∵四边形AFBD内接于⊙O，
∴∠DAF+∠DBF=180°，
即90°+x+2x=180°，解得x=30°，
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，
∵BE、ED是⊙O的切线，
∴DE=BE，∠EBA=90°，
∴∠DBE=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BD=DE=BE，
又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BD=DF=BF，
∴DE=BE=DF=BF，
∴四边形DFBE为菱形．
【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．
29．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）连接，再根据可得，而可得，再结合，便可证明，即直线是的切线.
（2）连接，再证明，利用相似比则可证明
（3）根据阴影部分的面积由扇形AOE的面积减去三角形AOE的面积计算可得.
【详解】解：（1）如图所示，连接，

∵，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
（2）连接，则，则，
则，
∵，，
∴，
而，
∴，
∴，即；
（3）连接，
∵，
∴，
∴，
，

【点睛】本题主要考查圆的综合性知识，难度系数不大，应该熟练掌握，关键在于做辅助线，这是这类题的难点.
30．（1）见解析；（2）24.
【分析】（1）作出辅助线，利用等角的余角相等即可解题，
（2）利用相似比，找到比例中项即可解题.
【详解】（1）连接，则有，
又是切线，∴，
而与互余，与互余，
∴，
∴

（2）∵，
∴，
又∵，
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，作出辅助线是解题关键.
31．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）如图（见解析），先根据平行线的性质得出，再根据角平分线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得，，再根据圆的切线的判定、切线长定理可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，设，从而可得，又根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，最后根据正切三角函数的定义即可得．
【详解】（1）如图，过点作于点
∵，
∴，即
又∵平分，
∴
即OE是的半径
∴直线与相切；

（2）如图，连接，延长交延长线于点
由圆周角定理得：，
是的直径，，
AD、BC都是的切线
由切线长定理得：
∵
∴
在和中，
∴
∴
设，则


在和中，

，即
解得
在中，
则．

【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
32．（1）证明见解析；（2）；（3）OE=2﹣4．
【详解】【分析】（1）要证PG与⊙O相切只需证明∠OBG=90°，由∠A与∠BDC是同弧所对圆周角且∠BDC=∠DBO可得∠CBG=∠DBO，结合∠DBO+∠OBC=90°即可得证；
（2）求需将BE与OC或OC相等线段放入两三角形中，通过相似求解可得，作OM⊥AC、连接OA，证△BEF∽△OAM得，由AM=AC、OA=OC知，结合即可得；
（3）Rt△DBC中求得BC=8、∠DCB=30°，在Rt△EFC中设EF=x，知EC=2x、FC=x、BF=8﹣x，继而在Rt△BEF中利用勾股定理求出x的，从而得出答案．
【详解】（1）如图，连接OB，则OB=OD，

∴∠BDC=∠DBO，
∵∠BAC=∠BDC、∠BDC=∠GBC，
∴∠GBC=∠BDC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DBO+∠OBC=90°，
∴∠GBC+∠OBC=90°，
∴∠GBO=90°，
∴PG与⊙O相切；
（2）过点O作OM⊥AC于点M，连接OA，
则∠AOM=∠COM=∠AOC，
∵，
∴∠ABC=∠AOC，
又∵∠EFB=∠OGA=90°，
∴△BEF∽△OAM，
∴，
∵AM=AC，OA=OC，
∴，
又∵，
∴；
（3）∵PD=OD，∠PBO=90°，
∴BD=OD=8，
在Rt△DBC中，BC==8，
又∵OD=OB，
∴△DOB是等边三角形，
∴∠DOB=60°，
∵∠DOB=∠OBC+∠OCB，OB=OC，
∴∠OCB=30°，
∴，=，
∴可设EF=x，则EC=2x、FC=x，
∴BF=8﹣x，
在Rt△BEF中，BE2=EF2+BF2，
∴100=x2+（8﹣x）2，
解得：x=6±，
∵6+＞8，舍去，
∴x=6﹣，
∴EC=12﹣2，
∴OE=8﹣（12﹣2）=2﹣4．
【点睛】本题主要考查圆的综合问题，涉及圆周角定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握和运用相关的性质与定理进行解题是关键.
33．（1）；（2）；（3）或．
【详解】试题分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点坐标式，然后将C点坐标代入求解即可．
（2）由于DE是⊙A的切线，连接AE，那么根据切线的性质知AE⊥DE，在Rt△AED中，AE、AB是圆的半径，即AE=OA=AB=3，而A、D关于抛物线的对称轴对称，即AB=BD=3，由此可得到AD的长，进而可利用勾股定理求得切线DE的长．
（3）若△BFD与EAD△相似，则有两种情况需要考虑：①△AED∽△BFD，②△AED∽△FBD，根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得BF的长．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+k；
∵抛物线经过点A（3，0）和C（0，9），
∴，
解得：
∴y=（x-6）2-3．
（2）连接AE；
∵DE是⊙A的切线，
∴∠AED=90°，AE=3，
∵直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点，
∴AB=BD=3，
∴AD=6；
在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=62-32=27，
∴DE=3．
（3）当BF⊥ED时；
∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，
∴△AED∽△BFD，
∴，
即，
∴BF=；
当FB⊥AD时，
∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，
∴△AED∽△FBD，
∴，
即BF=；
∴BF的长为或．

考点：二次函数综合题．
34．（1）证明见解析；（2）20°或40°．
【分析】（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；
（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=AC，分两种情况：
①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得结论；
②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得结论．
【详解】（1）证明：如图1，

∵PC=PB，
∴∠PCB=∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥CD；
（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC=DH，
在Rt△ABC中，∵AB=DH，
∴tan∠ACB=，
∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，
∴∠ADB=60°，BC=AC，
∴DH=AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，

∴∠AMD+∠ADM=90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE+∠ABD=90°，
∵∠AMD=∠ABD，
∴∠ADM=∠BDE，
∵DH=AC，
∴DH=OD，
∴∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°
∵∠AOB=60°，
∴∠ADM+∠BDE=40°，
∴∠BDE=∠ADM=20°，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，

由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，
∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．
【点睛】本题考查圆的有关性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解直角三角形等知识，考查了运算能力、推理能力，并考查了分类思想．
35．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=
【详解】分析：（1）由翻折知△ABC≌△ABD，得∠ADB=∠C=90°，据此即可得；
（2）由AB=AD知AB2=AD•AE，即，据此可得△ABD∽△AEB，即可得出∠ABE=∠ADB=90°，从而得证；
（3）由知DE=1、BE=，证△FBE∽△FAB得，据此知FB=2FE，在Rt△ACF中根据AF2=AC2+CF2可得关于EF的一元二次方程，解之可得．
详解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵将△ABC沿AB翻折后得到△ABD，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠ADB=∠C=90°，
∴点D在以AB为直径的⊙O上；
（2）∵△ABC≌△ABD，
∴AC=AD，
∵AB2=AC•AE，
∴AB2=AD•AE，即，
∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴∠ABE=∠ADB=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线；
（3）∵AD=AC=4、BD=BC=2，∠ADB=90°，
∴AB=，
∵，
∴，
解得：DE=1，
∴BE=，
∵四边形ACBD内接于⊙O，
∴∠FBD=∠FAC，即∠FBE+∠DBE=∠BAE+∠BAC，
又∵∠DBE+∠ABD=∠BAE+∠ABD=90°，
∴∠DBE=∠BAE，
∴∠FBE=∠BAC，
又∠BAC=∠BAD，
∴∠FBE=∠BAD，
∴△FBE∽△FAB，
∴，即，
∴FB=2FE，
在Rt△ACF中，∵AF2=AC2+CF2，
∴（5+EF）2=42+（2+2EF）2，
整理，得：3EF2-2EF-5=0，
解得：EF=-1（舍）或EF=，
∴EF=．
点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、翻折的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．