2023_2024学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语章末复习课新人教A版必修第一册 试卷

章末复习课

要点训练一　集合的概念与基本关系

(1)集合中元素的特性:确定性、无序性、互异性.利用集合中元素的互异性可解决集合中元素的确定性问题.

(2)利用描述法表示集合时,一定要将集合中元素的特性表示清楚.

(3)集合间的关系包括包含关系、相等关系.判断时可以根据定义判断元素与集合的关系.

1.若集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是 (　　)

A.9　　 　　B.5　 　　　C.3　　　　 D.1

解析:因为集合A={0,1,2},所以集合B={-2,-1,0,1,2},所以集合B中共有5个元素.

答案:B

2.若集合A={x|x2-x-2=0},B={x||x|=y+2,y∈A},则集合B是 (　　)

A.{-4,4}      B.{-4,-1,1,4}

C.{0,1}      D.{-1,1}

解析:在集合A中,解方程x2-x-2=0,得x=2或x=-1.在集合B中,因为y∈A,所以y=2或y=-1.所以|x|=y+2=4或|x|=y+2=1,所以x=±4或x=±1,所以B={-4,-1,1,4}.

答案:B

3.若非空集合A={x|x2-2x+a=0}⫋{b,b2},则b的值为 (　　)

A.-1       B.

C.2        D.-

解析:由题意,得x2-2x+a=0有且仅有两个相等的根,所以x=1,则1∈{b,b2}.因为b≠b2,所以b≠1,所以b2=1,所以b=-1.

答案:A

4.已知-5∈{x|x2-ax-5=0},用列举法表示集合{x|x2-4x-a=0}为{2}.

解析:因为-5∈{x|x2-ax-5=0},所以(-5)2+5a-5=0,所以a=-4,所以x2-4x+4=0的解为x=2,所以{x|x2-4x-a=0}={2}.

5.若A={a-1,2a2+5a+1,a2+1},-2∈A,则实数a的值为-.

解析:因为-2∈A,所以a-1=-2或2a2+5a+1=-2,显然a2+1≠-2.当a-1=-2时,a=-1,此时a-1=2a2+5a+1=-2,不符合集合元素的互异性,故舍去;当2a2+5a+1=-2时,解得a=-,a=-1.由上可知当a=-1时不符合集合元素的互异性,舍去,故a=-.

要点训练二　集合的基本运算

集合的基本运算包括交、并、补运算,当集合是由列举法给出时,运算时可直接借助于定义求解,或通过Venn图观察求解;当集合中的元素满足不等式(组)时,运算时一般先将不等式(组)在数轴上表示出来,再借助数轴求解.

1.若集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=(　　)

A.{1,2,3,4} 

B.{1,2,3}

C.{2,3,4} 

D.{1,3,4}

解析:由题意,得A∪B={1,2,3,4}.

答案:A

2.若全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁UA)∩B= (　　)

A.{-1} 

B.{0,1}

C.{-1,2,3} 

D.{-1,0,1,3}

解析:易知∁UA={-1,3},所以(∁UA)∩B={-1}.

答案:A

3.(2023年全国甲卷,理)设集合A={x|x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3k+2,k∈Z},U为整数集,则∁U(A∪B)=              (　　)

A.{x|x=3k,k∈Z} 

B.{x|x=3k-1,k∈Z}

C.{x|x=3k-2,k∈Z} 

D.⌀

解析:因为A={x|x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3k+2,k∈Z},

所以A∪B={x|x=3k+1或x=3k+2,k∈Z},

又U为整数集,所以∁U(A∪B)={x|x=3k,k∈Z}.

故选A.

答案:A

要点训练三　全称量词与存在量词

(1)含量词命题的判断,关键是看量词是全称量词还是存在量词.

(2)对全称量词命题及存在量词命题的否定,不但要分别把全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词,还要否定结论.

(3)由于原命题和原命题的否定真假性相反,故常利用这一性质求解有关含参数的问题.

1.命题“存在实数x,使x>1”的否定是 (　　)

A.对任意实数x,都有x>1

B.对任意实数x,都有x≤1

C.不存在实数x,使x≤1

D.存在实数x,使x≤1

解析:命题“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.

答案:B

2.若命题p:“∀x∈R,x2-2mx+m2-4=0”,则命题p的否定为 (　　)

A.∀x∈R,x2-2mx+m2-4=0

B.不存在x∈R,x2-2mx+m2-4=0

C.∃x∈R,x2-2mx+m2-4≠0

D.∀x∈R,x2-2mx+m2-4≠0

解析:命题“∀x∈R,x2-2mx+m2-4=0”的否定为“∃x∈R,

x2-2mx+m2-4≠0”.

答案:C

3.命题:∀x∈R,ax2+2x+1<0的否定为∃x∈R,ax2+2x+1≥0.

解析:由全称量词命题的否定为存在量词命题,知∀x∈R,ax2+2x+1<0的否定为∃x∈R,ax2+2x+1≥0.

要点训练四　充分条件与必要条件的判断及应用

充分条件与必要条件的判断常借助以下方法:

(1)利用定义判断:只需判断命题“若p,则q”“若q,则p”的真假.

(2)利用集合间的包含关系判断:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.

1.若x,y∈R,则“x≥y”是“x2(x-y)≥0”的 (　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:因为x2(x-y)≥0,所以x=0或因此“x≥y”是“x2(x-y)≥0”的充分不必要条件.

答案:A

2.若A,B,U是三个集合,且A⊆U,B⊆U,则“x∈(∁UA)∩(∁UB)”是“x∈∁U(A∪B)”的 (　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:因为(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B),

所以“x∈(∁UA)∩(∁UB)是x∈∁U(A∪B)”的充要条件,故选C.

答案:C

3.若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件,则m的取值范围是m>3.

解析:因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件,所以{x|x>m}是{x|x>3}的真子集,所以m>3.

要点训练五　数形结合思想

　　在解决集合的关系及运算问题时,常利用数轴或Venn图表示相应的集合,根据图形判断求解.

1.若集合A={1,2},B={2,3,4},则图中阴影部分所表示的集合是 (　　)

A.{1}       B.{3,4}

C.{2}       D.{1,2,3,4}

答案:B

2.已知集合A={x|2≤x<3},B={x|m-3<x<m+1},若A∪B=B,则m的取值范围是2≤m<5.

3.设全集U={x|0<x<10,x∈N*}.若A∩B={1},A∩(∁UB)={3,5,7}, (∁UA)∩

(∁UB)={8},求集合A,B.

解:由题意,知U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.由A∩B={1},(∁UA)∩(∁UB)={8},知1既在集合A中也在集合B中,8既不在集合A中也不在集合B中.由A∩(∁UB)={3,5,7},得3,5,7在集合A中且不在集合B中,综上所述,把相应的元素用Venn图表示如图所示.

易得A={1,3,5,7},B={1,2,4,6,9}.

要点训练六　分类讨论思想

　　在涉及集合中元素的互异性和空集问题时,常需要分类讨论解决问题.

1.若a∈{1,a2-2a+2},则实数a的值为2.

2.已知集合A={x|ax2-3x+1=0,a∈R},若集合A中至多只有一个元素,则a的取值范围是{a|a=0或a≥}.

3.已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|2+a≤x≤1-a,a∈R}.

(1)当a=-1时,求∁R(A∪B);

(2)若A∩B=⌀,求a的取值范围.

解:(1)当a=-1时,集合B={x|1≤x≤2}.因为集合A={x|0≤x≤2},所以A∪B={x|0≤x≤2},

所以∁R(A∪B)={x|x<0或x>2}.

(2)当B=⌀时,1-a<2+a,得a>-.

当B≠⌀时,a≤-.因为A∩B=⌀,所以1-a<0或2+a>2,解得a>1,不满足要求.综上所述,a>-.