备战高考2024年数学第一轮专题复习3.6 零点定理（精讲）（提升版）（解析版）

3.6 零点定理（精讲）（提升版）

考点一 零点的区间

【例1】（2022·河南开封·）函数的一个零点所在的区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，的定义域为，

，所以在上单调递增，

所以，，

由零点存在性定理知：，函数的一个零点所在的区间是.故选：D.

【一隅三反】

1．（2022·湖南）函数的零点所在区间是（       ）

A．     B．   C．   D．

【答案】B

【解析】因为是上的增函数，且，所以的零点在区间内.

故选：B

2．（2022·四川攀枝花）已知函数的零点在区间上，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】函数的定义域为，且在上单调递增，故其至多一个零点；

又，，故的零点在区间，故.故选：．

3．（2022·云南德宏）方程的解所在的区间为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，易知在定义域内是增函数，

又，，所以的零点在上，即题中方程的根属于．故选：B．

考点二 零点的个数

【例2-1】（2022·陕西）函数的零点个数为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】当时，则函数的零点个数为函数与函数，的交点个数作出两个函数的图象如下图所示，

由图可知，当时，函数的零点有两个，

当时，，即当时，函数的零点有一个.

综上，函数的零点有三个.故选：D

【例2-2】（2022·山西）已知若，则在内的零点个数为（       ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【解析】作出的图像，则在内的零点个数为曲线

与直线在内的交点个数9.

选：B.

【一隅三反】

1．（2022·安徽）已知函数则方程的解的个数是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】令，得，则函数零点的个数即函数与函数的交点个数．作出函数与函数的图像，可知两个函数图像的交点的个数为2，故方程的解的个数为2个．故选：C．

2．（2022·全国·高三专题练习）函数的图像与函数的图像的交点个数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．0

【答案】C

【解析】在上是增函数，在和上是减函数，在和上是增函数，，，，

作出函数的图像，如图，由图像可知它们有4个交点．

故选：C．

3．（2022·海南省）设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则函数有（       ）个零点

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解析】的零点个数即的图象交点个数.因为为奇函数，故关于原点对称，故关于对称，又为偶函数，故关于对称，又当时，，画出图象，易得函数的图象有6个交点

故选：C

考点三 比较零点的大小

【例3】（2022·安徽）已知函数，，的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由得，，

由得，由得.

在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，

由图象知，，.

故选：D

【一隅三反】

1．（2022·河南）若实数满足，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】画出与三个函数的图象，如图可得的与交点的横坐标依次为，故

故选：B

2．（2022·安徽）已知，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设函数，易知在上递增，

，，即，由零点存在定理可知．；

设函数，易知在上递增，，，即，由零点存在定理可知，；

设函数，易知在上递减，，，因为，由函数单调性可知，，即.故选:A．

3．（2022·山西）正实数满足，则实数之间的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，即，即，与的图象在只有一个交点，

则在只有一个根，令，

，，，则；

，即，即，由与的图象在只有一个交点，

则在只有一个根，令，，

，，故；

，即，

即，由与的图象在只有一个交点，

则在只有一个根，令，，

，，则；故选：A.

考点四 已知零点求参数

【例4-1】（2022·山东潍坊）已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对函数求导得：，

当或时，，当时，，即在，上单调递增，在上单调递减，

在处取得极大值，在处取得极小值，

在同一坐标系内作出函数的图像和直线，如图，

观察图象知，当时，函数的图像与直线有3个不同的交点，

所以实数m的取值范围是.故选：B

【例4-2】（2022·吉林）已知若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；

时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；

作出在上的图象，如图：

由图可知要使有3个不同的实根，则.

故选：D.

【例4-3】（2022·安徽·合肥市）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，函数，

若，即，必有，令，则，

设，则函数和在区间内有4个交点，

又由于，必有，即的取值范围是，故选：B.

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数若关于x的方程

恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】函数的图像如下图所示：

若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，

则函数的图像与直线有三个交点，

若直线经过原点时，m＝0，

若直线与函数的图像相切，令，令.故.故选：D．

2．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数为定义在上的单调函数，且．若函数有3个零点，则的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的，使得，

则，，即，

因为函数为增函数，且，所以，.

当时，由，得；当时，由，得.

结合函数的图象可知，若有3个零点，则．

故选：A

3．（2022·广西·贵港市高级中学三模）已知在有且仅有6个实数根，则实数的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，得，即.

设，即在有且仅有6个实数根，

因为，故只需，解得，故选：D．

4．（2022·山西）已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知，画出函数的简图，如图所示

由恰好有两个零点转化为与直线有两个不同的交点，

由图知，当直线经过点两点的斜率为，则.

所以实数k的取值范围为.故选：C.

考点五 零点的综合运用

【例5-1】（2022·新疆克拉玛依）函数在区间上的所有零点之和为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为，令，即，当时显然不成立，

当时，作出和的图象，如图，

它们关于点对称，

由图象可知它们在上有4个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以4个点的横坐标之和为．故选：C．

【例5-2】（2022·甘肃）若函数在区间上有2个零点，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数在区间上有2个零点

即方程在区间上有2个实数根

设，则为偶函数.且

当时，，当时，在上单调递增，且

所以在上单调递减，则在上单调递增，

又时，；时，，则的大致图像如图.

所以方程在区间上有2个实数根满足

则，设，则在上恒成立

所以

故选：A

【例5-3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】令、，则、，

在同一坐标系中分别绘出函数、、的图像，

因为函数的零点为，函数的零点为，所以，，

解方程组，

因为函数与互为反函数，所以由反函数性质知、关于对称，

则，，，A、B、D错误，

因为，所以在上单调递增，因为，，

所以，因为点在直线上，

所以，，故C正确，

故选：C．

【一隅三反】

1．（2022·安徽·合肥一六八中学）若为奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】是奇函数，且是的一个零点，

所以，把分别代入下面四个选项，

对于A，，不一定为0，故A错误；

对于B，，所以是函数的零点，故B正确；

对于C，，故C不正确；

对于D，，故D不正确；

故选：B.

2．（2022·陕西·模拟预测（理））已知 是方程的根， 是方程的根，则的值为（       ）

A．2 B．3 C．6 D．10

【答案】A

【解析】方程可变形为方程，方程可变形为方程，

是方程的根，是方程的根，

是函数与函数的交点横坐标，是函数与函数的交点横坐标，

函数与函数互为反函数，

函数与函数的交点横坐标等于函数与函数的交点纵坐标,即在数图象上，

又图象上点的横纵坐标之积为2， ，

故选：．

3．（2022·陕西·西安中学一模（理））函数的所有零点之和为_________.

【答案】

【解析】由，可得，令，

可得函数与的图象都关于直线的对称，

在同一坐标系内作出函数与的图象，如图所示，

由图象可得，函数与的图象有6个公共点，

其横坐标依次为，

这6个点两两关于直线的对称，所以，

所以，

即函数的所有零点之和为.

故答案为：.