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2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 5.4 正、余弦定理（精讲）（提升版）（原卷版+解析版）
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这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 5.4 正、余弦定理（精讲）（提升版）（原卷版+解析版），共34页。试卷主要包含了判断三角形的形状，最值问题，三角形解的个数，几何中的正余弦定理，正余弦定理与平面向量的综合运用，正余弦定理与其他知识的综合运用等内容，欢迎下载使用。
考点呈现
例题剖析
考点一 判断三角形的形状
【例1】 (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等边三角形
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
2． (2023·全国·高三专题练习）设△的三边长为，，，若，，则△是（ ）．
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
3． (2023·全国·高三专题练习）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
4． (2023·全国·高三专题练习）（多选）设的三个内角，，所对的边分别为，，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（ ）．
A．若，则是等边三角形
B．若，则是等边三角形
C．若，则是等边三角形
D．若，则是等边三角形
考点二 最值问题
【例2-1】 (2023·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在中，角所对的边分别为，，，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】 (2023·江西·上饶市第一中学二模（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D在边上，且，则的最大值是___________.
【例2-3】 (2023·黑龙江·哈尔滨三中二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·安徽黄山·二模（理））设的内角的对边分别为，且满足，其中，若，则面积的取值范围为______________.
3． (2023·全国·高三专题练习）已知锐角外接圆的半径为，内角，，所对边分别为，，，，则的取值范围是____.
4． (2023·甘肃·二模（理））如图，在圆内接四边形ABCD中，，且依次成等差数列.
(1)求边AC的长；
(2)求四边形ABCD周长的最大值.
5． (2023·广东江门·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.
(1)求角B的大小；
(2)若，求的取值范围.
考点三 三角形解的个数
【例3-1】 (2023·全国·高三专题练习）在中，，，，则此三角形（ ）
A．无解B．一解
C．两解D．解的个数不确定
【例3-2】 (2023·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，当有两解时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】 (2023·浙江·高三专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，使得三角形有两解的条件是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）在中，，则“”是“有两个解”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4． (2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，下列条件使有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
考点四 几何中的正余弦定理
【例4】 (2023·浙江宁波·二模）如图，在中，，，点是线段的三等分点（靠近点），若，则___________，的面积是___________.
【一隅三反】
1． (2023·山东烟台·一模）如图，四边形ABCD中，．
(1)若，求△ABC的面积；
(2)若，，，求∠ACB的值．
2． (2023·陕西渭南·二模）如图，在中，角，D为边AC上一点，且，，
求：
(1)的值；
(2)边的长.
3． (2023·广东深圳·一模）如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求的正弦值；
(2)求的余弦值．
考点五 正余弦定理与平面向量的综合运用
【例5】 (2023·江西上饶·二模（理））已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
(2023·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论:① ；② 为锐角三角形；③ ；
④ 其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2． (2023·全国·高三专题练习）在中，若，则是的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
3． (2023·广东佛山·二模）中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（ ）
A．0B．1C．3D．5
4． (2023·江西上饶·二模（理））已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
考点六 正余弦定理与其他知识的综合运用
【例6-1】 (2023·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点．，，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【例6-2】 (2023·辽宁·育明高中高三阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，且的面积为，且恒成立，则的最小值为________．
【一隅三反】
1． (2023·全国·模拟预测）已知，是双曲线（，）的左､右焦点，点M为双曲线的左支上一点，满足，且，则该双曲线的离心率（ ）
A．B．C．D．2
2． (2023·江西·模拟预测（理））在中，角所对的边分別为，满足，若函数的图象向左平移个单位长度后的图象于轴对称，则在的值域为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·哈师大附中模拟预测（理））椭圆C：（）的左焦点为点F，过原点O的直线与椭圆交于P，Q两点，若∠PFQ=120°，，，则椭圆C的离心率为________．
5.4 正、余弦定理（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 判断三角形的形状
【例1】 (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等边三角形
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，所以，
，
因为，，为的内角，所以，，都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确；
对于B：由及正弦定理，可得，
即，所以或，所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错；
对于C：由及正弦定理化边为角，
可知，即，
因为，为的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确；
对于D：由和正弦定理化边为角，易知，所以，因为，，为的内角，所以，所以是等边三角形，故选项D正确；故选：ACD.
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】∵，可得，∴，∴，
∵，∴，∴，∴为直角三角形，且，
故选：A.
2． (2023·全国·高三专题练习）设△的三边长为，，，若，，则△是（ ）．
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】设，△的内切圆半径为r，如图所示，
法一：
∴①；②.
①÷②，得：，即．
于是，
，，
从而得或，
∴或．故△为等腰三角形或直角三角形，
（1）当时，内心I在等腰三角形的底边上的高上，
，从而得．
又，代入①式，得，即，
上式两边同时平方，得：，化简，即．即△直角三角形，
∴△为等腰直角三角形．
（2）当时，易得．
代入②式，得，此式恒成立，
综上，△为直角三角形．
法二：
利用，及正弦定理和题设条件，得①，②.
∴③；④.
由③和④得：，即，，
因为为三角形内角，
∴或，即或．
（1）若，代入③得：⑤
又，将其代入⑤，得：．
变形得，
即⑥，
由知A为锐角，从而知．
∴由⑥，得：，即，从而，．
因此，△为等腰直角三角形．
（2）若，即，此时③④恒成立，
综上，△为直角三角形．
故选：B
3． (2023·全国·高三专题练习）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】，可得，
整理，得，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以或或，故三角形为等腰三角形.故选：A
4． (2023·全国·高三专题练习）（多选）设的三个内角，，所对的边分别为，，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（ ）．
A．若，则是等边三角形
B．若，则是等边三角形
C．若，则是等边三角形
D．若，则是等边三角形
【答案】BCD
【解析】A，若，
由正弦定理可知：任意都满足条件，因此不一定是等边三角形，不正确；
B，若，由正弦定理可得：，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，正确．
C，若，由正弦定理可得：，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，正确．
D，若，∴，时，是等边三角形；
时，研究函数的单调性，
，时，，
∴函数在上单调递减，因此不成立．
综上可得：是等边三角形，正确．故选：BCD．
考点二 最值问题
【例2-1】 (2023·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在中，角所对的边分别为，，，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得：，
即，由正弦定理得：；
由余弦定理得：，，
即，，，
，
，，
，
则当时，，.故选：A.
【例2-2】 (2023·江西·上饶市第一中学二模（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D在边上，且，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】由，得，因为，，所以，
设外接圆的圆心为，半径为，
则由正弦定理得，
如图所示，取的中点，
在中，；
在中，
，当且仅当圆心在上时取等号，所以的最大值是，
故答案为：．
【例2-3】 (2023·黑龙江·哈尔滨三中二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，，
故题干条件可化为，由余弦定理得，
故，又由正弦定理化简得：
，
整理得，故或（舍去），得
为锐角三角形，故，解得，故
故选：C
【一隅三反】
1． (2023·安徽黄山·二模（理））设的内角的对边分别为，且满足，其中，若，则面积的取值范围为______________.
【答案】
【解析】
，
化简得：，
由正弦定理可得：,
， ，
即， , 或，
即或，又，，即,
，又，，当仅当时等号成立，
，即，.
故答案为：
2． (2023·全国·高三专题练习）在 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acs C＋b＝0，则tan B的最大值是________.
【答案】
【解析】在 ABC中，因为3acs C＋b＝0，所以C为钝角，
由正弦定理得3sin Acs C＋sin(A＋C)＝0，3sin Acs C＋sin Acs C＋cs Asin C＝0，
所以4sin Acs C＝－cs A·sin C，即tan C＝－4tan A.
因为tan A>0，所以tan B＝－tan(A＋C)＝－＝＝＝
≤＝，当且仅当tan A＝时取等号，故tan B的最大值是.故答案为：
3． (2023·全国·高三专题练习）已知锐角外接圆的半径为，内角，，所对边分别为，，，，则的取值范围是____.
【答案】
【解析】因为，所以，，所以
，
因为，，所以，所以，
故，即，所以的取值范围是.
故答案为：.
4． (2023·甘肃·二模（理））如图，在圆内接四边形ABCD中，，且依次成等差数列.
(1)求边AC的长；
(2)求四边形ABCD周长的最大值.
【答案】(1)(2)10
【解析】(1)因为依次成等差数列，
所以，又，所以,
又，则由余弦定理得:，
所以.
(2由圆内接四边形性质及，知，
在中，由余弦定理得，
又因为（当且仅当时“=”成立），
所以，即，则四边形ABCD周长最大值.
5． (2023·广东江门·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.
(1)求角B的大小；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为，
所以由正弦定理可得，化简得，
所以由余弦定理得，
因为，所以
(2)因为，所以,由正弦定理得，，
所以，
因为为锐角三角形，所以，得，所以，
所以，所以，，所以，即的取值范围为
考点三 三角形解的个数
【例3-1】 (2023·全国·高三专题练习）在中，，，，则此三角形（ ）
A．无解B．一解
C．两解D．解的个数不确定
【答案】C
【解析】在中，，，，
由正弦定理得，而为锐角，且，则或，
所以有两解．故选：C
【例3-2】 (2023·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，当有两解时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，即, 则
由，解得,则
当有两解时，，则，所以，故选：.
【例3-3】 (2023·浙江·高三专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为这个三角形有两解，故满足，即，解得.故选：B
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，使得三角形有两解的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，到的距离，当时，三角形无解，
当时，三角形有一解，当时，三角形有两解，当时，三角形有一解．故选：．
2． (2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，由正弦定理可得，所以，
又满足题意的三角形有两个，所以只需，即，
解得.故选：C.
3． (2023·全国·高三专题练习）在中，，则“”是“有两个解”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，若有两个解，则，即，即，
“”是“有两个解”的必要不充分条件.故选：B.
4． (2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，下列条件使有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】选项A. 由余弦定理可得
的三边分别为，所以满足条件的三角形只有一个.
选项B. ，则, 由正弦定理可得
所以，的三边为定值，三个角为定值，所以满足条件的三角形只有一个.
选项C. 由，则由正弦定理可得
所以, 由则，所以角为一确定的角，且，
则角角为一确定的角，从而边也为定值，所以满足条件的三角形只有一个.
选项D. 作,在的一条边上取，过点作垂直于的另一边，垂足为.
则,以点为圆心，4为半径画圆弧，
因为，所以圆弧与的另一边有两个交点
所以均满足条件，所以所以满足条件的三角形有两个.
故选：D
考点四 几何中的正余弦定理
【例4】 (2023·浙江宁波·二模）如图，在中，，，点是线段的三等分点（靠近点），若，则___________，的面积是___________.
【答案】
【解析】在中，因为，可得，由，且，
在中，由正弦定理，可得，
因为，所以为锐角，所以，
又由
，
所以，所以，
设，
因为且点是线段的三等分点，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，所以，所以，
所以的面积为.故答案为：；.
【一隅三反】
1． (2023·山东烟台·一模）如图，四边形ABCD中，．
(1)若，求△ABC的面积；
(2)若，，，求∠ACB的值．
【答案】(1)(2)∠ACB=
【解析】(1)在△ABC中，，
因为，所以．．
(2)设，则，，．
在△ACD中，由，得．
在△ABC中，由，得．
联立上式，并由得，
整理得，所以，
因为，所以，
所以，解得，即∠ACB的值为．
2． (2023·陕西渭南·二模）如图，在中，角，D为边AC上一点，且，，
求：
(1)的值；
(2)边的长.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)在中, 由余弦定理的推论得,
,,
,
(2),,
,,
在中, 由正弦定理得,
3． (2023·广东深圳·一模）如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求的正弦值；
(2)求的余弦值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：解法1、由余弦定理得，
即，所以，所以，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
与互补，则，解得，
在中，由余弦定理，得，
因为，所以．
解法2、由题意可得，，
由AM为边BC上的中线，则，
两边同时平方得，，故，
因为M为BC边中点，则的面积为面积的，
所以，
即，
化简得，．
(2)解：方法1、在中，由余弦定理，得，
所以，
由AM，BN分别为边BC，AC上的中线可知P为重心，
可得，，
在中，由余弦定理，得，
又由，所以．
解法2：
因为BN为边AC上的中线，所以，
，
，即．
所以．
考点五 正余弦定理与平面向量的综合运用
【例5】 (2023·江西上饶·二模（理））已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以
所以，当且仅当时，取等号；
所以，当且仅当时，取等号；故选：C
【一隅三反】
(2023·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论:① ；② 为锐角三角形；③ ；
④ 其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】由AH为BC边上的高，
∴，而，故，①正确；
知：向量的夹角为钝角，即为锐角，而无法判断是否为锐角三角形，②错误；
，③正确；
，④正确.故选：C
2． (2023·全国·高三专题练习）在中，若，则是的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
【答案】C
【解析】由，可得，
又由余弦定理，可得，
整理得，所以是直角三角形.故选：C.
3． (2023·广东佛山·二模）中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（ ）
A．0B．1C．3D．5
【答案】C
【解析】过点O作，垂足分别为D，E，如图，因O是外接圆圆心，则D，E分别为AC，的中点，
在中，，则，即，
，同理，
因此，
，
由正弦定理得：，当且仅当时取“=”，
所以的最大值为3.故选：C
4． (2023·江西上饶·二模（理））已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以
所以，当且仅当时，取等号；
所以，当且仅当时，取等号；故选：C
考点六 正余弦定理与其他知识的综合运用
【例6-1】 (2023·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点．，，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，设，，由双曲线的定义得，，
在中，，由余弦定理，
得，解得，即，
设双曲线的焦距为2c，在中利用余弦定理有，解得，
所以双曲线的离心率为．故选：C
【例6-2】 (2023·辽宁·育明高中高三阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，且的面积为，且恒成立，则的最小值为________．
【答案】
【解析】由得， 所以，
由余弦定理得，所以，
化简得，显然关于的方程有解，
所以，化简得，即．
因为恒成立，所以恒成立，
令，则，而函数在上单调递减，在上单调递增，
又，且所以．故的最小值为．
故答案为：．
【一隅三反】
1． (2023·全国·模拟预测）已知，是双曲线（，）的左､右焦点，点M为双曲线的左支上一点，满足，且，则该双曲线的离心率（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】∵，由双曲线的定义得，
所以采用余弦定理：，
即，即，解得（负值舍去），则该双曲线的离心率.
故选：D.
2． (2023·江西·模拟预测（理））在中，角所对的边分別为，满足，若函数的图象向左平移个单位长度后的图象于轴对称，则在的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，故可得，
即，
又，故，联立，
可得，解得（舍去）或，
又，则，
将向左平移个单位长度后得到，
又因为其为偶函数，故，故，又，
故当时，满足题意，则，，
当时，，故.
故选：B.
3． (2023·全国·哈师大附中模拟预测（理））椭圆C：（）的左焦点为点F，过原点O的直线与椭圆交于P，Q两点，若∠PFQ=120°，，，则椭圆C的离心率为________．
【答案】
【解析】根据题意，取椭圆的右焦点为，连接，作图如下：
由椭圆的对称性可知，四边形的对角线互相平分，
故四边形为平行四边形，则；
设，由椭圆定义可知，
在△和△中由余弦定理可得：
，
，
又，上述两式相加可得：
，即；
在△中，由余弦定理可得：，
即，则，；
故可得，则，又，故椭圆离心率为.
故答案为：.
考点呈现
例题剖析
考点一 判断三角形的形状
【例1】 (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等边三角形
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
2． (2023·全国·高三专题练习）设△的三边长为，，，若，，则△是（ ）．
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
3． (2023·全国·高三专题练习）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
4． (2023·全国·高三专题练习）（多选）设的三个内角，，所对的边分别为，，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（ ）．
A．若，则是等边三角形
B．若，则是等边三角形
C．若，则是等边三角形
D．若，则是等边三角形
考点二 最值问题
【例2-1】 (2023·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在中，角所对的边分别为，，，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】 (2023·江西·上饶市第一中学二模（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D在边上，且，则的最大值是___________.
【例2-3】 (2023·黑龙江·哈尔滨三中二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·安徽黄山·二模（理））设的内角的对边分别为，且满足，其中，若，则面积的取值范围为______________.
3． (2023·全国·高三专题练习）已知锐角外接圆的半径为，内角，，所对边分别为，，，，则的取值范围是____.
4． (2023·甘肃·二模（理））如图，在圆内接四边形ABCD中，，且依次成等差数列.
(1)求边AC的长；
(2)求四边形ABCD周长的最大值.
5． (2023·广东江门·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.
(1)求角B的大小；
(2)若，求的取值范围.
考点三 三角形解的个数
【例3-1】 (2023·全国·高三专题练习）在中，，，，则此三角形（ ）
A．无解B．一解
C．两解D．解的个数不确定
【例3-2】 (2023·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，当有两解时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】 (2023·浙江·高三专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，使得三角形有两解的条件是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）在中，，则“”是“有两个解”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4． (2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，下列条件使有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
考点四 几何中的正余弦定理
【例4】 (2023·浙江宁波·二模）如图，在中，，，点是线段的三等分点（靠近点），若，则___________，的面积是___________.
【一隅三反】
1． (2023·山东烟台·一模）如图，四边形ABCD中，．
(1)若，求△ABC的面积；
(2)若，，，求∠ACB的值．
2． (2023·陕西渭南·二模）如图，在中，角，D为边AC上一点，且，，
求：
(1)的值；
(2)边的长.
3． (2023·广东深圳·一模）如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求的正弦值；
(2)求的余弦值．
考点五 正余弦定理与平面向量的综合运用
【例5】 (2023·江西上饶·二模（理））已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
(2023·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论:① ；② 为锐角三角形；③ ；
④ 其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2． (2023·全国·高三专题练习）在中，若，则是的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
3． (2023·广东佛山·二模）中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（ ）
A．0B．1C．3D．5
4． (2023·江西上饶·二模（理））已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
考点六 正余弦定理与其他知识的综合运用
【例6-1】 (2023·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点．，，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【例6-2】 (2023·辽宁·育明高中高三阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，且的面积为，且恒成立，则的最小值为________．
【一隅三反】
1． (2023·全国·模拟预测）已知，是双曲线（，）的左､右焦点，点M为双曲线的左支上一点，满足，且，则该双曲线的离心率（ ）
A．B．C．D．2
2． (2023·江西·模拟预测（理））在中，角所对的边分別为，满足，若函数的图象向左平移个单位长度后的图象于轴对称，则在的值域为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·哈师大附中模拟预测（理））椭圆C：（）的左焦点为点F，过原点O的直线与椭圆交于P，Q两点，若∠PFQ=120°，，，则椭圆C的离心率为________．
5.4 正、余弦定理（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 判断三角形的形状
【例1】 (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等边三角形
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，所以，
，
因为，，为的内角，所以，，都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确；
对于B：由及正弦定理，可得，
即，所以或，所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错；
对于C：由及正弦定理化边为角，
可知，即，
因为，为的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确；
对于D：由和正弦定理化边为角，易知，所以，因为，，为的内角，所以，所以是等边三角形，故选项D正确；故选：ACD.
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】∵，可得，∴，∴，
∵，∴，∴，∴为直角三角形，且，
故选：A.
2． (2023·全国·高三专题练习）设△的三边长为，，，若，，则△是（ ）．
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】设，△的内切圆半径为r，如图所示，
法一：
∴①；②.
①÷②，得：，即．
于是，
，，
从而得或，
∴或．故△为等腰三角形或直角三角形，
（1）当时，内心I在等腰三角形的底边上的高上，
，从而得．
又，代入①式，得，即，
上式两边同时平方，得：，化简，即．即△直角三角形，
∴△为等腰直角三角形．
（2）当时，易得．
代入②式，得，此式恒成立，
综上，△为直角三角形．
法二：
利用，及正弦定理和题设条件，得①，②.
∴③；④.
由③和④得：，即，，
因为为三角形内角，
∴或，即或．
（1）若，代入③得：⑤
又，将其代入⑤，得：．
变形得，
即⑥，
由知A为锐角，从而知．
∴由⑥，得：，即，从而，．
因此，△为等腰直角三角形．
（2）若，即，此时③④恒成立，
综上，△为直角三角形．
故选：B
3． (2023·全国·高三专题练习）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】，可得，
整理，得，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以或或，故三角形为等腰三角形.故选：A
4． (2023·全国·高三专题练习）（多选）设的三个内角，，所对的边分别为，，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（ ）．
A．若，则是等边三角形
B．若，则是等边三角形
C．若，则是等边三角形
D．若，则是等边三角形
【答案】BCD
【解析】A，若，
由正弦定理可知：任意都满足条件，因此不一定是等边三角形，不正确；
B，若，由正弦定理可得：，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，正确．
C，若，由正弦定理可得：，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，正确．
D，若，∴，时，是等边三角形；
时，研究函数的单调性，
，时，，
∴函数在上单调递减，因此不成立．
综上可得：是等边三角形，正确．故选：BCD．
考点二 最值问题
【例2-1】 (2023·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在中，角所对的边分别为，，，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得：，
即，由正弦定理得：；
由余弦定理得：，，
即，，，
，
，，
，
则当时，，.故选：A.
【例2-2】 (2023·江西·上饶市第一中学二模（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D在边上，且，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】由，得，因为，，所以，
设外接圆的圆心为，半径为，
则由正弦定理得，
如图所示，取的中点，
在中，；
在中，
，当且仅当圆心在上时取等号，所以的最大值是，
故答案为：．
【例2-3】 (2023·黑龙江·哈尔滨三中二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，，
故题干条件可化为，由余弦定理得，
故，又由正弦定理化简得：
，
整理得，故或（舍去），得
为锐角三角形，故，解得，故
故选：C
【一隅三反】
1． (2023·安徽黄山·二模（理））设的内角的对边分别为，且满足，其中，若，则面积的取值范围为______________.
【答案】
【解析】
，
化简得：，
由正弦定理可得：,
， ，
即， , 或，
即或，又，，即,
，又，，当仅当时等号成立，
，即，.
故答案为：
2． (2023·全国·高三专题练习）在 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acs C＋b＝0，则tan B的最大值是________.
【答案】
【解析】在 ABC中，因为3acs C＋b＝0，所以C为钝角，
由正弦定理得3sin Acs C＋sin(A＋C)＝0，3sin Acs C＋sin Acs C＋cs Asin C＝0，
所以4sin Acs C＝－cs A·sin C，即tan C＝－4tan A.
因为tan A>0，所以tan B＝－tan(A＋C)＝－＝＝＝
≤＝，当且仅当tan A＝时取等号，故tan B的最大值是.故答案为：
3． (2023·全国·高三专题练习）已知锐角外接圆的半径为，内角，，所对边分别为，，，，则的取值范围是____.
【答案】
【解析】因为，所以，，所以
，
因为，，所以，所以，
故，即，所以的取值范围是.
故答案为：.
4． (2023·甘肃·二模（理））如图，在圆内接四边形ABCD中，，且依次成等差数列.
(1)求边AC的长；
(2)求四边形ABCD周长的最大值.
【答案】(1)(2)10
【解析】(1)因为依次成等差数列，
所以，又，所以,
又，则由余弦定理得:，
所以.
(2由圆内接四边形性质及，知，
在中，由余弦定理得，
又因为（当且仅当时“=”成立），
所以，即，则四边形ABCD周长最大值.
5． (2023·广东江门·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.
(1)求角B的大小；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为，
所以由正弦定理可得，化简得，
所以由余弦定理得，
因为，所以
(2)因为，所以,由正弦定理得，，
所以，
因为为锐角三角形，所以，得，所以，
所以，所以，，所以，即的取值范围为
考点三 三角形解的个数
【例3-1】 (2023·全国·高三专题练习）在中，，，，则此三角形（ ）
A．无解B．一解
C．两解D．解的个数不确定
【答案】C
【解析】在中，，，，
由正弦定理得，而为锐角，且，则或，
所以有两解．故选：C
【例3-2】 (2023·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，当有两解时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，即, 则
由，解得,则
当有两解时，，则，所以，故选：.
【例3-3】 (2023·浙江·高三专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为这个三角形有两解，故满足，即，解得.故选：B
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，使得三角形有两解的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，到的距离，当时，三角形无解，
当时，三角形有一解，当时，三角形有两解，当时，三角形有一解．故选：．
2． (2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，由正弦定理可得，所以，
又满足题意的三角形有两个，所以只需，即，
解得.故选：C.
3． (2023·全国·高三专题练习）在中，，则“”是“有两个解”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，若有两个解，则，即，即，
“”是“有两个解”的必要不充分条件.故选：B.
4． (2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，下列条件使有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】选项A. 由余弦定理可得
的三边分别为，所以满足条件的三角形只有一个.
选项B. ，则, 由正弦定理可得
所以，的三边为定值，三个角为定值，所以满足条件的三角形只有一个.
选项C. 由，则由正弦定理可得
所以, 由则，所以角为一确定的角，且，
则角角为一确定的角，从而边也为定值，所以满足条件的三角形只有一个.
选项D. 作,在的一条边上取，过点作垂直于的另一边，垂足为.
则,以点为圆心，4为半径画圆弧，
因为，所以圆弧与的另一边有两个交点
所以均满足条件，所以所以满足条件的三角形有两个.
故选：D
考点四 几何中的正余弦定理
【例4】 (2023·浙江宁波·二模）如图，在中，，，点是线段的三等分点（靠近点），若，则___________，的面积是___________.
【答案】
【解析】在中，因为，可得，由，且，
在中，由正弦定理，可得，
因为，所以为锐角，所以，
又由
，
所以，所以，
设，
因为且点是线段的三等分点，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，所以，所以，
所以的面积为.故答案为：；.
【一隅三反】
1． (2023·山东烟台·一模）如图，四边形ABCD中，．
(1)若，求△ABC的面积；
(2)若，，，求∠ACB的值．
【答案】(1)(2)∠ACB=
【解析】(1)在△ABC中，，
因为，所以．．
(2)设，则，，．
在△ACD中，由，得．
在△ABC中，由，得．
联立上式，并由得，
整理得，所以，
因为，所以，
所以，解得，即∠ACB的值为．
2． (2023·陕西渭南·二模）如图，在中，角，D为边AC上一点，且，，
求：
(1)的值；
(2)边的长.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)在中, 由余弦定理的推论得,
,,
,
(2),,
,,
在中, 由正弦定理得,
3． (2023·广东深圳·一模）如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求的正弦值；
(2)求的余弦值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：解法1、由余弦定理得，
即，所以，所以，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
与互补，则，解得，
在中，由余弦定理，得，
因为，所以．
解法2、由题意可得，，
由AM为边BC上的中线，则，
两边同时平方得，，故，
因为M为BC边中点，则的面积为面积的，
所以，
即，
化简得，．
(2)解：方法1、在中，由余弦定理，得，
所以，
由AM，BN分别为边BC，AC上的中线可知P为重心，
可得，，
在中，由余弦定理，得，
又由，所以．
解法2：
因为BN为边AC上的中线，所以，
，
，即．
所以．
考点五 正余弦定理与平面向量的综合运用
【例5】 (2023·江西上饶·二模（理））已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以
所以，当且仅当时，取等号；
所以，当且仅当时，取等号；故选：C
【一隅三反】
(2023·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论:① ；② 为锐角三角形；③ ；
④ 其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】由AH为BC边上的高，
∴，而，故，①正确；
知：向量的夹角为钝角，即为锐角，而无法判断是否为锐角三角形，②错误；
，③正确；
，④正确.故选：C
2． (2023·全国·高三专题练习）在中，若，则是的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
【答案】C
【解析】由，可得，
又由余弦定理，可得，
整理得，所以是直角三角形.故选：C.
3． (2023·广东佛山·二模）中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（ ）
A．0B．1C．3D．5
【答案】C
【解析】过点O作，垂足分别为D，E，如图，因O是外接圆圆心，则D，E分别为AC，的中点，
在中，，则，即，
，同理，
因此，
，
由正弦定理得：，当且仅当时取“=”，
所以的最大值为3.故选：C
4． (2023·江西上饶·二模（理））已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以
所以，当且仅当时，取等号；
所以，当且仅当时，取等号；故选：C
考点六 正余弦定理与其他知识的综合运用
【例6-1】 (2023·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点．，，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，设，，由双曲线的定义得，，
在中，，由余弦定理，
得，解得，即，
设双曲线的焦距为2c，在中利用余弦定理有，解得，
所以双曲线的离心率为．故选：C
【例6-2】 (2023·辽宁·育明高中高三阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，且的面积为，且恒成立，则的最小值为________．
【答案】
【解析】由得， 所以，
由余弦定理得，所以，
化简得，显然关于的方程有解，
所以，化简得，即．
因为恒成立，所以恒成立，
令，则，而函数在上单调递减，在上单调递增，
又，且所以．故的最小值为．
故答案为：．
【一隅三反】
1． (2023·全国·模拟预测）已知，是双曲线（，）的左､右焦点，点M为双曲线的左支上一点，满足，且，则该双曲线的离心率（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】∵，由双曲线的定义得，
所以采用余弦定理：，
即，即，解得（负值舍去），则该双曲线的离心率.
故选：D.
2． (2023·江西·模拟预测（理））在中，角所对的边分別为，满足，若函数的图象向左平移个单位长度后的图象于轴对称，则在的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，故可得，
即，
又，故，联立，
可得，解得（舍去）或，
又，则，
将向左平移个单位长度后得到，
又因为其为偶函数，故，故，又，
故当时，满足题意，则，，
当时，，故.
故选：B.
3． (2023·全国·哈师大附中模拟预测（理））椭圆C：（）的左焦点为点F，过原点O的直线与椭圆交于P，Q两点，若∠PFQ=120°，，，则椭圆C的离心率为________．
【答案】
【解析】根据题意，取椭圆的右焦点为，连接，作图如下：
由椭圆的对称性可知，四边形的对角线互相平分，
故四边形为平行四边形，则；
设，由椭圆定义可知，
在△和△中由余弦定理可得：
，
，
又，上述两式相加可得：
，即；
在△中，由余弦定理可得：，
即，则，；
故可得，则，又，故椭圆离心率为.
故答案为：.
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