备战高考2024年数学第一轮专题复习1.3 复数（精讲）（提升版）（解析版）

1.3 复数（精讲）（提升版）

考点一 复数的基本知识

【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知复数，则下列说法正确的是（　　）

A．z的虚部为4i B．z的共轭复数为1﹣4i

C．|z|＝5 D．z在复平面内对应的点在第二象限

【答案】B

【解析】∵，

∴ z的虚部为4,  z的共轭复数为1﹣4i，|z|，z在复平面内对应的点在第一象限.故选：B

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）若复数，其共轭复数为，则（       ）

A．的虚部为 B．

C．在复平面上对应的点在第四象限 D．

【答案】D

【解析】因为复数，所以，

z的虚部为，，对应点在第一象限，，

故选：D

2．（2022·全国·高三专题练习（多选））已知复数，则（       ）

A． B．

C．若，则， D．的虚部是

【答案】BC

【解析】，，故不能推出，A不正确；

由复数模的定义，故B正确；根据复数相等知，时，正确，故C正确；

由虚部的定义知，的虚部是y,故D不正确.故选：BC

3．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知复数，其中是虚数单位，，下列选项中正确的是（       ）

A．若是纯虚数，则这个纯虚数为

B．若为实数，则

C．若在复平面内对应的点在第一象限，则

D．当时，

【答案】D

【解析】，

对于A：当是纯虚数时，则且，解得，此时这个纯虚数为，故A不正确；

对于B：当为实数时，则，解得，故B不正确；

对于C：当在复平面内对应的点在第一象限，则，解得，故C不正确；

对于D：当时，，所以，故D正确，故选：D.

考点二 复数的模长

【例2-1】（2022·湖南·高一期中）已知复数，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由，得，解得或.故“”是“”的必要不充分条件.

故选：C

【例2-2】（2022·福建宁德·模拟预测）若，则的值为（       ）

A． B．2 C． D．3

【答案】D

【解析】因为，所以，故设，则，

所以.故选：D

【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）若复数z满足，则的最大值为（       ）

A．1 B．2 C．5 D．6

【答案】C

【解析】设.则表示复平面点到点的距离为3.

则的最大值为点到的距离加上3.即.故选：C.

【例2-4】（2022·全国·高三专题练习）若复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点(x，y)满足方程（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设，代入得：. 故选：B

【一隅三反】

1．（2022·河南·模拟预测（理））已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（       ）

A．1 B．4 C．9 D．16

【答案】C

【解析】设，则，

由，得，即，

所以所对应的点的轨迹是以为圆心为半径的圆，

因为为z的共轭复数，所以即，

而可看作该圆上的点到原点的距离的平方，所以.故选：C.

2（2022·重庆·高三阶段练习）已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则的最大值为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】令，，则表示与距离为1的点集，即，

此时，表示圆上点到原点距离，

所以的最大值，即为圆上点到原点的最大距离，而圆心到原点距离为1，且半径为1，

所以圆上点到原点的最大为2.故选：B.

3．（2022·全国·高三专题练习）若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设z＝x+yi(x，y∈R)，

由|z+2-2i|＝2知，动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，

|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，

而|CO|＝，|CA|＝，

易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，

且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，

故选：D．

考点三  复数的几何意义

【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）设复数z满足，且在复平面内z

对应的点位于第一象限，则z=（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】把四个选项一一代入验证：

对于A：z=，则有，.故A错误；

对于B：z=，则有，.故B正确；

对于C：z=，则有，.故C错误；

对于D：z=，则有，.故D错误；

故选：B

【例3-2】（2022·山东潍坊·模拟预测）（多选）已知复数z满足，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（            ）

A．复数z的虚部为 B．

C． D．复数z的共轭复数为

【答案】BC

【解析】设复数.

因为，且复数z对应的点在第一象限，

所以，解得：，即.

对于A：复数z的虚部为.故A错误；

对于B：.故B正确；

对于C：因为，所以.故C正确；

对于D：复数z的共轭复数为.故D错误.

故选：BC

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】.所以复数对应的点在第四象限，故选：D

2．（2022·河南新乡·高二期中（理））若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（       ）

A．不可能为纯虚数

B．在复平面内对应的点可能位于第二象限

C．在复平面内对应的点一定位于第三象限

D．在复平面内对应的点可能位于第四象限

【答案】D

【解析】由为第二象限，其对应辐角范围为，所以对应辐角为，

故在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y轴的负半轴.所以A、B、C错误，D正确.

故选：D

3．（2022·全国·高三专题练习）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：

甲：；       乙：；

丙：；       丁：．

如果只有一个假命题，则该命题是（       ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】B

【解析】设，由于对应点在第二象限，所以，

，，，.

甲，乙，丙，

丁，由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.

故选：B

考点四 复数与其他知识的综合运用

【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知为虚数单位，则复数的虚部为（       ）

A． B． C．1010 D．1011

【答案】B

【解析】因为，

所以，

相减得，

所以，虚部为．故选：B．

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习（理））在复平面内，复数2，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且，则点C对应的共轭复数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知，复平面内点A和点B的坐标分别为，，设点C的坐标为

所以，根据得，

计算得

所以点C对应的复数为，其共轭复数为，选项C正确.

故选：C.

2．（2022·全国·高三专题练习）已知，是复数，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】设，,

当，即时， ，所以

取，，,,则满足，但显然不满足

所以“”是“”的充分不必要条件故选：A

3．（2022·河南商丘）定义函数，若（i为虚数单位），则的展开式中系数最大项为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由已知，两边取模，得，所以n＝10．

二项式的展开式的通项为，

因为n＝10，则．

令第r＋1项的系数最大，则，即，解得，

因为，所以r＝3，所以，故系数最大的项为．故选：C．

考点五 解复数的方程

【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知方程有两个虚根，若，则

的值是（        ）

A．或 B． C． D．

【答案】C

【解析】由已知方程有两个虚根，因此方程判别式小于0，即.,

设由韦达定理可知

所以, 即

,   即,   所以

所以

故答案为：C

【一隅三反】

1．（2022·重庆八中模拟预测）若虚数单位是关于x的方程的一个根，则（       ）

A．0 B．1 C． D．2

【答案】B

【解析】由题，是方程的一个根，所以，即，则，

所以，即，所以，选：B

2．（2022·山东枣庄·一模）设，是方程在复数范围内的两个解，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由方程得，由求根公式得，不妨设，.

，A错误；，B错误；

，C错误；，D正确.

故选：D.

3．（2022·全国·高三专题练习）复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【解析】设,因为,所以,

所以将代入方程整理

，

因为关于的方程有实根，

所以

所以当时，解得，此时关于的方程为或，易知方程无实数根，故舍去，所以；

当时，解得，，所以，所以，此时方程有实数根，满足条件.

综上，或.

故这样的复数的个数为个.故选：C

考点六  综合运用

【例6】（2022·河北·石家庄二中）（多选）下列四个命题中，真命题为（       ）

A．若复数满足，则 B．若复数满足，则

C．若复数满足，则 D．若复数，满足，则

【答案】AB

【解析】对选项A，若复数，设，其中，则，则选项A正确；

对选项B，若设，其中，且，则，则选项B正确；

对选项C，若，设，则，但，则选项C错误；

对选项D，若复数，满足，设，，则，

而，则选项D错误.故选：AB.

【一隅三反】

1．（2022·全国·模拟预测）（多选）已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】，，

故B错误；

，

故A正确；

，故C正确；

，，

，

，，

故D错误.故选：AC.

2．（2022·福建泉州·模拟预测）（多选）设为复数，则下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则或

【答案】AD

【解析】对于A，设，，则，

，即，，A正确；

对于B，令，，则，此时，B错误；

对于C，令，，则，此时，C错误；

对于D，设，，则，

，即，则；

若，则成立，此时；

若，，由知：；由知：；此时；

同理可知：当，时，；

若，，由得：，，此时；

综上所述：若，则或，D正确.

故选：AD.

3．（2022·山东青岛·高三期末）（多选）已知复数，为虚数单位，，则下列正确的为（       ）

A．若z是实数，则 B．复平面内表示复数z的点位于一条抛物线上

C． D．若，则

【答案】BC

【解析】选项A：由复数是实数可知，解之得.选项A判断错误；

选项B：复数在复平面内对应点，其坐标满足方程，即点位于抛物线上. 判断正确；

选项C：由，可得

.判断正确；

选项D： 即

可得，解之得.选项D判断错误.

故选：BC