数学九年级上册22.3 实际问题与二次函数一课一练

实际问题与二次函数

1、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．                                 

2、如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取）                      

3、跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9．（1）求该抛物线的解析式；（2）如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；（3）如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出t的取值范围                      

4、随着和城近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？

详细解答

1、分析：（1）先求出一元二次方程的两个根，即可知与x轴的两个交点B，C的坐标，设出两点式，用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）根据B，C两点的坐标可求出二次函数的顶点坐标及对称轴方程，根据A，C两点的坐标可求出线段AC所在直线的表达式，求出两方程的交点即为Q点的坐标；
（3）根据两点之间线段最短，故当此三点在同一条直线上时MQ+MA取得最小值，作A关于x轴的对称点A′，连接A′Q；A′Q与x轴交于点M即为所求的点．

解：（1）解方程x2+2x-3=0
得x1=-3，x2=1（11分）
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（-3，0），B（1，0）（2分）
设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）（a≠0）．（3分）
∵A（3，6）在抛物线上
∴6=a（3+3）（3-1），∴a=（4分）
∴抛物线解析式为：y=x2+x-（5分）．
（2）由y= y=x2+x-=（x+1）2-2（6分）
∴抛物线顶点P的坐标为：（-1，-2），对称轴方程为：x=-1．（7分）
设直线AC的方程为：y=k1x+b1．
∵A（3，6），C（-3，0），                 
∴在该直线上解得

直线AC的方程为：y=x+3（9分）
将x=-1代入y=x+3得y=2，

∴Q点坐标为（-1，2）．（10分）
（3）作A关于x轴的对称点A′（3，-6），
连接A'Q；A'Q与x轴交于点M即为所求的点（11分）
设直线A'Q方程为y=kx+b
∴解得．
∴直线A'Q：y=-2x（12分）
令x=0，则y=0（13分）．

∴M点坐标为（0，0）．

2、分析：（1）依题意代入x的值可得抛物线的表达式．
（2）令y=0可求出x的两个值，再按实际情况筛选．
（3）本题有多种解法．如图可得第二次足球弹出后的距离为CD，相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位可得
2=-（x-6）2解得x的值即可知道CD、BD．

解：（1）如图，设足球开始飞出到第一次落地时，
抛物线的表达式为y=a（x-h）2+k，
∵h=6，k=4，
∴y=a（x-6）2+4，
由已知：当x=0时y=1，
即1=36a+4，
∴a=-，
∴表达式为y=-（x-6）2+4，（或y=-x2+x+1）．
（2）令y=0，-（x-6）2+4=0，
∴（x-6）2=48，
解得：x1=+6≈13，x2=-+6＜0（舍去），
∴足球第一次落地距守门员约13米．
（3）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD，
根据题意：CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），
∴2=-（x-6）2+4，解得：x1=6-2，x2=6+2，
∴CD=|x1-x2|=4≈10，
∴BD=13-6+10=17（米）．
解法二：令-（x-6）2+4=0
解得：x1=-+6（舍），x2=+6≈13．
∴点C坐标为（13，0）．
设抛物线CND为y=-（x-k）2+2，
将C点坐标代入得：
-（13-k）2+2=0
解得：k1=13-2（舍去），k2=+6+2≈6+7+5=18，
令y=0，0=-（x-18）2+2，x1=18-2（舍去），x2=18+2≈23，
∴BD=23-6=17（米）．
解法三：由解法二知，k=18，
所以CD=2（18-13）=10，
所以BD=（13-6）+10=17．
答：他应再向前跑17米．

3、分析：（1）已知抛物线解析式，求其中的待定系数，选定抛物线上两点E（1，1.4），B（6，0.9）坐标代入即可；
（2）小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，即OF=3，求当x=3时，函数值；
（3）实质上就是求y=1.4时，对应的x的两个值，就是t的取值范围．

解答：解：（1）由题意得点E（1，1.4），B（6，0.9），代入y=ax2+bx+0.9得

，解得，
∴所求的抛物线的解析式是
y=-0.1x2+0.6x+0.9；
（2）把x=3代入y=-0.1x2+0.6x+0.9得
y=-0.1×32+0.6×3+0.9=1.8
∴小华的身高是1.8米；
（3）当y=1.4时，-0.1x2+0.6x+0.9=1.4，
解得x1=1，x2=5，
∴1＜t＜5．

4、解：（1）设y1=kx，由图①所示，函数y1=kx的图象过（1，2），
所以2=k•1，k=2，
故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x（x≥0）；
∵该抛物线的顶点是原点，
∴设y2=ax2，
由图②所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），
∴2=a•22，a＝，
故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y=x2（x≥0）；
（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8-x）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，
得z=2（8-x）+x2=x2-2x+16=（x-2）2+14，
当x=2时，z的最小值是14，
∵0≤x≤8，
∴-2≤x-2≤6，
∴（x-2）2≤36，
∴（x-2）2≤18，
∴（x-2）2+14≤18+14=32，
即z≤32，此时x=8，
答：当x=8时，z的最大值是32．