新教材2023_2024学年高中数学第6章计数原理本章总结提升课件新人教A版选择性必修第三册

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第六章本章总结提升知识网络·整合构建专题突破·素养提升目录索引 知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用1.利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理进行计数时,常因分类不明导致增(漏)解,因此在解题中既要保证类与类的互斥性,又要关注总数的完备性.2.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其区别和联系,有助于提升逻辑推理和数学运算的核心素养.【例1】 从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中,若有1和3时,3必须排在1的前面;若只有1和3中的一个时,它应排在其他数字的前面,这样不同的三位数共有　　　　　个.(用数字作答) 60 规律方法　应用两个计数原理计数的四个步骤(1)明确完成的这件事是什么.(2)思考如何完成这件事.(3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类.(4)选择计数原理进行计算.变式训练1(1)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一颜色,且绿色卡片至多1张,则不同的取法种数为(　　)A.484 B.472 C.252 D.232B(2)车间有11名工人,其中5名男工是钳工,4名女工是车工,另外两名老师傅既能当车工又能当钳工,现在要在这11名工人里选派4名钳工,4名车工修理一台机床,则有多少种选派方法?专题二　排列与组合的综合应用1.排列、组合是两类特殊的计数求解方式,在计数原理求解中起着举足轻重的作用,解决排列与组合的综合问题要树立先选后排,特殊元素(特殊位置)优先的原则.2.对于排列和组合的运算,有助于提升数学建模和数学运算的核心素养.【例2】 [2023山东济南期中]某校高二级部组织全体同学进行了知识竞赛,并选出了4名女生和3名男生共7名优胜者.赛后,7名同学站成一排,照相留念.(1)女生必须站在一起的站队方式有多少种?(2)男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种?(3)现在要求这7名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做学习成果汇报,要求每个小组必须既有男生又有女生,问有多少种安排方案?规律方法　解决排列、组合综合问题要注意以下几点:(1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题.(2)对于含有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,再考虑是分类还是分步,分类时要不重不漏,分步时要步步相接.(3)对于含有“至多”“至少”的问题,常采用间接法,此时要考虑全面,排除干净.变式训练26个女生(其中有1个领唱)和2个男生分成两排表演.(1)若每排4人,共有多少种不同的排法?(2)领唱站在前排,男生站在后排,每排4人,有多少种不同的排法?专题三　二项式定理及其应用1.二项式定理有比较广泛的应用,可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等,其原理可以用于二项式相应展开式项的系数求解.2.二项式定理有助于提升数学运算和数学建模的核心素养.角度1.二项展开式的“赋值问题”【例3】 (1)已知(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+a3+…+an=31,则自然数n=(　　)A.6 B.5 C.4 D.3B解析 令x=0,则a0=1n=1,令x=1,则a0+a1+a2+…+an=(1+1)n=2n,所以a1+a2+…+an=2n-1=31,解得n=5,故选B.(2)若(3x2-2x+1)5=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0,求(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2.解 令x=1,得a0+a1+…+a10=25,①令x=-1,得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)-(a1+a3+a5+a7+a9)=65.②①②式相乘,得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2 =25×65=125=248 832.规律方法　“赋值法”在二项展开式中的应用(1)观察:先观察二项展开式左右两边式子的结构特征.(2)赋值:结合待求和上述特征,对变量x赋值,常见的赋值有x=-1,x=0,x=1等等,具体视情况而定.(3)解方程:赋值后结合待求建立方程(组),求解便可.变式训练3若(2x+ )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为(　　)A.-1 B.0 C.1 D.2C角度2.二项展开式的特定项问题【例4】 若(1-x)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,则a6=(　　)A.-448 B.-112 C.112 D.448C解析 由已知可得a6为(1+x)6的系数,又二项式(1-x)8可以化为[2-(1+x)]8,则此二项展开式的含(1+x)6的项为 ·22·[-(1+x)]6=112(1+x)6,则a6=112,故选C.【例5】 已知在 的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.(1)求展开式中的所有有理项;(2)求展开式中系数的绝对值最大的项;规律方法　二项式特定项的求解策略(1)确定二项式中的有关元素:一般是根据已知条件,列出等式,从而可解得所要求的二项式中的有关元素.(2)确定二项展开式中的常数项:先写出其通项公式,令未知数的指数为零,从而确定项数,然后代入通项公式,即可确定常数项.(3)求二项展开式中条件项的系数:先写出其通项公式,再由条件确定项数,然后代入通项公式求出此项的系数.变式训练4(多选题)[2023安徽合肥期中]关于( -2x)7的二项展开式,下列说法正确的是(　　)A.二项式系数和为128B.各项系数和为-7C.x-1项的系数为-280D.第三项和第四项的系数相等AC 变式训练5已知 的展开式中所有项的二项式系数之和为1 024.(1)求展开式的所有有理项(指数为整数的项);(2)求(1-x)3+(1-x)4+…+(1-x)n的展开式中x2项的系数.