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数学选择性必修 第三册8.3 分类变量与列联表教学设计
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这是一份数学选择性必修 第三册8.3 分类变量与列联表教学设计，共22页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。
《列联表与独立性检验》教学设计
课时2独立性检验
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
分类变量与列联表
学习理解能力
观察记忆
概括理解
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
创造迁移能力
综合问题解决
猜想探究
数学抽象
数据分析
【考查内容】
分类变量的认识、列联表的认识、频率稳定于概率原理的应用以及误差分析,独立性检验的基本思想、方法及其初步应用
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
两个事件相互独立
数学抽象
零假设及其表达
逻辑推理
检验统计量
数学建模
数学运算
独立性检验
数据分析
数学运算
一、本节内容分析
本节所涉及的分类变量与列联表的概念是新教材增加的一部分做铺垫的知识,理解分类变量与列联表的概念是能够进行独立性检验的必要前提,本节课旨在让学生了解分类变量的意义,并且通过对全部数学的分析和抽样数据的分析进行推理,结合频率稳定于概率,认识到独立性检验的必要性.
利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系,是高中数学知识中体现统计思想的重要课节.本节的主要内容就是两个分类变量是否有关系的推断,从生活实例出发,发现数学概念、方法与结论,体验数学来源于生活,数学又服务于生活.
本节的教学中,重点放在了独立性检验的统计学原理上,理解独立性检验的基本思想,明确独立性检验的基本步骤.通过对典型案例的研究,介绍了独立性检验的基本思想、方法和解决问题的一般步骤.独立性检验的基本思想和反证法类似,它们都是假设结论不成立,反证法是在假设结论不成立基础上推出矛盾从而证得结论成立,而独立性检验是在假设结论成立基础上判断拒绝假设的小概率事件是否发生,进而推断假设是否成立的.因为小概率事件在一次试验中通常是不会发生的,所以有利于结论成立的小概率事件的发生为否定假设提供了有力的证据.但在全部逻辑推理正确的情况下,反证法不会犯错误,但独立性检验会犯随机性错误.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识
1.分类变量和列联表
2.两个事件相互独立
3.零假设及其表达
4.检验统计量
5.独立性检验
数学抽象
逻辑推理
数学建模
数学运算
数据分析
核心素养
二、学情整体分析
本节内容较为容易理解,比较难的地方在于学生对之前学过的古典概型、条件概率、频率稳定于概率的原理有所淡忘,特别是条件概率,虽然本节涉及的条件概率难度很低,但是部分同学对此很陌生.
学生在必修二学完统计后有了一定的数据处理,高二学生的逻辑推理能力也比较强,但是数学建模能力锻炼较少,很多同学对数学建模比较模糊,从实际问题抽象出数学问题的能力比较差.
在知识的逻辑联系上,学生比较容易衔接,从生活中的实例入手,层层探究,符合学生的认知规律,但独立性检验中的卡方公式及临界值的确定,超出绝大多数高中生对新知的探究能力,因此在教学上采用的是让学生个体精读思考、相互交流讨论、集中解答释疑的教学模式,通过与反证法的相同与不同之处的思考,让学生了解独立性检验的基本思想,但学生对在一次试验中小概率事件几乎不可能发生而引发的矛盾这一思想的理解可能存在一定的难度,所以在讲解中注重进行层层突破.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.分类变量和列联表
2.独立性检验
【教学目标设计】
1.结合实例,让学生认识分类变量;通过计算让学生分析分类变量的关联性.
2.结合实例引入2×2列联表,并让学生通过描述性说明了解其含义;用抽样数据构成的2×2列联表,利用频率稳定于概率的原理,结合条形图分析分类变量的关联性,并了解其存在误差的原因.
3.结合具体实例,了解独立性检验的思想方法,掌握独立性检验的基本步骤,进一步提升数据分析核心素养.
4.了解统计推断可能犯错误的特点,体会检验统计量的产生过程.
【教学策略设计】
1.首先设置问题情境,在具体问题中让学生认识分类变量,进而利用教材中普查的数据通过计算认识两个分类变量的关联性,计算过程中依据教材的两种方法:简单计算频率和概率角度,进而引导学生思考如果数据不是普查的,而是抽样得到的数据,频率和概率之间是存在误差的,推断也将存在误差.
2.列联表的引入主要是考虑到原始数据保存的难度,不给出严格的定义,只给出描述性的说明即可.最后要引导学生利用频率稳定于概率的思想方法,推断两个分类变量的关联性,并要意识到推断过程中存在误差.
3.复习回顾古典概型及两个事件相互独立的知识,给出分类变量的零假设的两种严格的数学表达,提升学生数学建模、数学运算的核心素养.
4.根据观测值与期望值的差异的大小,构造检验统计量进行刻画,在推导过程中感悟合理性,提升数据分析核心素养.
5.认识小概率值的检验规则,总结独立性检验的主要环节,并与反证法进行了比较.
【教学方法建议】
讲授教学法、启发教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.分类变量和2×2列联表的认识.
2.会初步通过计算推断分类变量的关联性.
3.独立性检验的思想和方法.
难点 1.理解抽样数据分析因频率和概率存在误差,导致推断分类变量的关联性的误差.
2.统计量的推导和意义;独立性检验的思想和方法.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:在现实生活中,人们经常要回答一定范围内的两种现象或性质之间是否存在关联性或相互影响的问题.例如,就读不同的学校是否对学生的成绩有影响,不同班级学生用于体育锻炼的时间是否有差别,吸烟是否会增加患肺癌的风险,等等.本节要学习的独立性检验方法为我们提供了解决这类问题的方案.
在讨论问题时,为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示,学生所在的班级可以用1,2,3等表示,男性、女性可以用1,0表示,那么同学想一下,这些实数有没有大小关系和运算意义?
生:没有,就像代号一样.
师:非常好,这里的数字仅作为分类用,没有其他含义,比较0和1的大小没有意义,通常计算其均值和方差也没有意义.
本节我们主要讨论取值于{0,1}的分类变量的关联性问题.
【设计意图】
从日常生活实例中,思考其中蕴含的分类变量知识,激发学生兴趣,引出课题.
教学精讲
探究1 两个事件相互独立
师:在上一节的学习中,我们如何利用统计数据判断一对分类变量之间是否具有关联性呢?
生:可以利用普查数据,通过比较相关的比率进行判断.
师:在大多数实际问题中,我们无法获得所关心的全部对象的数据,又进行了怎样的处理?
生:利用随机抽样获得一定数量的样本数据,利用随机事件发生的频率稳定于概率的原理来进行判断.
师:大家回答得非常好,掌握了上一节学习内容的研究方法.但对于随机样本而言,因为频率具有随机性,频率与概率之间存在误差,所以我们的推断可能犯错误,而且在样本容量较小时,犯错误的可能性会较大.因此,本节课我们以列联表为基础,找一种更为合理的推断方法,同时也希望对出现错误推断的概率有一定的控制或估算.
师:在实际生活中,我们对于两个事件是否相互独立(或称是否有关联)有了一定的感性认识,例如“济南降雨”与“股市上证指数上涨”有没有关联?
生:“济南降雨”与“股市上证指数上涨”显然没有关联.
师:那“性别”与“体育锻炼的经常性”是否有影响呢?
生:可能有.
师:确实我们生活中还存在一些类似的问题，两个事件是否相互独立，我们应该给出定量分析，下面我们从事件的概率角度来回顾一下.
【设情境 巧激趣】
本节主要解决生活中两类事件或性质的关联性问题,创设情境符合知识考察要求,复习上节课的知识与方法,提出问题,激发学生研究新知的动力,为本节课的学习做好铺垫,复习古典概型的相关知识.
【情境设置】
两个事件相互独立
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B,你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗?
试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币,A=“第一枚硬币正面朝上”,B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球,设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
分别计算P(A),P(B),P(AB),你有什么发现?
师:通过以上两个试验的共性,回顾必修二的相关知识,得到了哪些启发?
【猜想探究能力】
通过具体的两个实例,对于两组运算结果的计算与比较,引导学生探究规律,培养学生的猜想探究能力.
【要点知识】
两个事件相互独立
从上述两个试验的共性中得到启发,我们引入这种事件关系的一般定义:
对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
由两个事件相互独立的定义,容易验证必然事件、不可能事件∅都与任意事件相互独立,这是因为必然事件总会发生,不会受任何事件是否发生的影响;同样,不可能事件∅总不会发生,也不受任何事件是否发生的影响,当然,它们也不影响其他事件是否发生.
师:结合条件概率,事件A,B相互独立,即事件A发生与否不影响事件B发生的概率,等价于什么呢?
生:P(B|A)=P(B).
探究2 零假设及其表达
师:上一节课,我们已经学习过分类变量、列联表,设A,B是取值于{0,1}的成对分类变量,判断事件{X=1}和{Y=1}之间是否有关联,可以进行怎样的量化比较呢?能否从条件概率的角度思考一下?
【鼓励学生作出回答,讨论归纳提出零假设】
【要点知识】
零假设(原假设)的提出
判断事件{X=1}与{Y=1}之间是否有关联,需要判断下面的假定关系
是否成立,通常称为零假设或原假设.
师:下面根据我们已经学过的有关知识对进行推导,看看能化简成怎样的形式.
【引导学生对等式进行数学运算,教师适时巡视学生完成情况,鼓励学生体验化简的
过程】
【教学预设 效果生成】
在已有知识的基础上,合情合理地引入零假设的概念,符合学生的认知规律,培养学生的理解概括能力,提升逻辑推理的核心素养.
【推测解释能力】
鼓励学生对零假设进行分析推导,既是对已复习知识的应用,又是对新知的深化理解,提升学生的推测解释能力.
【要点知识】
零假设(原假设)的化简
解: ,
.
即:.
又,
.
所以,零假设等价于与独立.
师:同学们已自主推导,根据已经学过的概率知识,还能得到什么性质?
【学生积极动脑思考,推导过程,教师巡视指导】
生:下面的四条性质彼此等价.
与独立;与独立;
与独立;与独立.
师:如果上面这些性质成立,就称分类变量X和Y独立.
【要点知识】
零假设(原假设)的改述
如果下面四个等式成立:
我们可以用概率语言,将零假设改述为分类变量X和Y独立.
探究3 检验统计量
师:假定我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表.
【要点知识】
X和Y的抽样数据列联表
X
Y
合计
Y=0
Y=1
X=0
a
b
a+b
X=1
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
n=a+b+c+d
师:如何基于四个论述及列联表中的数据,构造适当的统计量,对成对分类变量X,Y是否相互独立作出判断?
【引导学生小组讨论交流,教师引导之前学习过的相关知识,让学生充分思考,然后总结归纳,最后赏析教材的处理方式,分析合理性】
师:仔细阅读教材P129~P130,思考这种处理方式的理论依据及合理性,用你的理解来叙述一下.
【设活动 深探究】
充分开展个人精读、小组讨论活动,引导学生充分思考、总结归纳,赏析教材在核心知识上的处理方式,在探究中体会统计思维及知识迁移.
【组织学生进行精读思考、相互交流讨论,教师适时点拨、集中解答释疑,让学生学习体会对观测值与期望值的量化处理】
生:在零假设成立的条件下,对于用频率代替乘积后估计概率,此时事件发生频数的期望值可用表示,应该与该频数的观测值(真实值)a比较接近.
师:细节把握地很好,发现了“频率稳定于概率的原理”的应用,那么两个数值“比较接近”该如何衡量呢?
生:利用的取值大小可以反映是否接近.
追问:若a本身较大,则也会较大,则也随之较大;反之亦然,怎么平衡这种影响呢?
【教师通过问题串的设计,借助“一元线性回归模型中决定系数R2”的解决策略,让学生发现“将四个差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值再求和”的合理性.教师展示构造过程,并进行讲解】
【要点知识】
检验统计量的构造
.
该表达式可化简为.统计量读作“卡方”.
【分析计算能力】
学生参与构造统计量的过程,锻炼分析计算能力,提升数学运算核心素养.
【设情境 巧激趣】
借助工业生产中正态分布的“”原则,让学生理解小概率事件的相关知识,为小概率值α的检验规则的学习作铺垫.
探究4 独立性检验
师:构造衡量零假设是否成立的统计量,当它比较大时推断不成立,否则认为成立.那么,究竟大到什么程度,可以推断不成立呢?或者说,怎么确定判断大小的标准呢?
师:我们先来回顾一下正态分布的有关知识:
若,则,说明在一次试验中X的取值几乎总是落在区间内,而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.若在一次试验中或发生了,说明什么呢?
生:可能是的这个假设不成立.
师:非常好,这就是小概率事件在一次试验中不大可能发生的规律！如果发生了,说明原来的模型假设可能不成立.下面请同学们阅读教材第130页,看一下这个规律在判断零假设是否成立中的应用.首先看一下临界值的概念.
【要点知识】
临界值的概念
假定成立的条件下,对于有放回简单随机抽样,当样本容量n充分大时,得到了的近似分布,如下图.
忽略的实际分布与该近似分布的误差后,对于任何小概率值α,可以找到相应地正实数,使得下面关系式成立:,称为的临界值,这个临界值可作为判断大小的标准.
【观察记忆能力】
由课件图示,让学生直观感受的近似分步,体验统计检验量的构造、化简过程,不但对公式的特点更清晰,而且提升观察记忆能力.
师:由此可知,在假设成立的情况下,事件是不大可能发生的.根据这个规律,如果该事件发生,我们就可以推断不成立.不过这个推断有可能犯错误,但犯错误的概率不超过α.下面请同学们读一下教材中“基于小概率值α的检验规则”.
生:(1)当时,我们就推断不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;
(2)当时,我们没有充分证据推断不成立,可以认为X和Y独立.这种利用X的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验.
师:以下是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【通过对小概率值α=0.01,与6.635的比较明确规则的使用方法,让学生小组内取不同的小概率值及计算,推断成立的情况】
师:阅读课本P131例2,与上一节课P126例1的结果及理论背景进行比较分析.
【活动学习】
设立学生阅读数学概念的课堂活动,有助于提高学生课堂思维注意力,让学生体会知识间的联系,培养统计学思维.
【学生阅读教材,分析例1的抽样数据.教师展示例2】
【典型例题】
独立性检验的应用
例2 依据小概率值α=0.1的独立性检验,分析例1中的抽样数据,能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异?
解:零假设为：分类变量X与Y相互独立,即两校学生的数学成绩优秀率无差异.
根据下表中的数据,
学校
数学成绩
合计
不优秀(Y=0)
优秀(Y=1)
甲校(X=0)
33
10
43
乙校(X=0=1)
38
7
45
合计
71
17
88
计算得到
.
根据小概率值α=0.1的独立性检验,没有充分证据推断出不成立,因此可以认为成立,即认为两校的数学成绩优秀率没有差异.
【以学定教】
为了让学生理解小概率值检验规则,让学生小组内取不同的小概率值及,推断成立的情况，使学生真正明白临界值的意义,并非单纯记忆、机械运用.
师:比较教材例1和例2,基于同一组数据的分析却得出了不同的结论,思考其中的原因并简述独立性检验的优点.
【思考交流后,请学生回答,引导学生归纳例1样本的随机性以及例2的优点】
生:例1只是根据一个样本的两个频率间存在差异得出两校学生数学成绩优秀率有差异的结论,并没有考虑由样本随机性可能导致的错误.
例2中,用独立性检验对零假设进行了检验.
师:通过计算,发现≈0.837小于α=0.1所对应的临界值2.706,因此认为没有充分证据推断不成立,所以接受,推断出两校学生的数学优秀率没有显著差异的结论.
师:这个检验结果意味着,抽样数据中两个频率的差异很有可能是由样本随机性导致的.因此,只根据频率的差异得出两校学生的数学成绩优秀率有差异的结论是不可靠的.
由此可见,相对于简单比较两个频率的判断,用的独立性检验得到的结果更理性、更全面,理论依据也更充分.
当我们接受零假设时,也可能犯错误.我们不知道犯这类错误的概率P的大小,但是知道,若α越大,则P越小.
师:下面我们看例3.
【自主学习】
学生通过比较两道例题基于同一组数据得出不同的结论,体会独立性检验的必要性,提升逻辑推理能力,发挥学生自主学习的主动性.
【综合问题解决能力】
通过具体实例应用独立性检验的知识,切实解决生活中问题,既体现了数学源自生活,又展现了数学服务生活的作用,提升学生理论联系实践的意识和综合问题解决能力.
【典型例题】
独立性检验的应用
例3 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查,得到了如下数据:抽到接受甲种疗法的患儿67名,其中未治愈15名,治愈52名;抽到接受乙种疗法的患儿69名,其中未治愈6名,治愈63名.试根据小概率值α=0.005的独立性检验,分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.
【学生积极思考,交流探讨,教师出示多媒体】
【典例解析】
独立性检验的应用
解:零假设为
:疗法与疗效独立,即两种疗法效果没有差异.
将所给数据进行整理,得到两种疗法治疗数据的列联表,如表所示.
单位：人
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
15
52
67
乙
6
63
69
合计
21
115
136
根据列联表中的数据,经计算得到
.
根据小概率值α=0.005的独立性检验,没有充分证据推断不成立,因此可以认为成立,即认为两种疗法效果没有差异.
【概括理解能力】
通过具体的实例例3,引导学生分析独立性检验得出结论的应用条件,不能在使用时随意扩大范围,培养学生的概括理解能力.
师:同学们在做例3时,要注意利用独立性检验得出的结论是有条件的,不能在使用时随意扩大范围,如例3中的样本数据来自于儿童医院,根据样本数据得出的结论能很好地适用于该儿童医院,但是若推广到其他群体,则可能会犯错误.
师:另外,大家观察思考一下:在上表中,若对调两种疗法的位置或对调两种疗效的位置,则的表达式中a,b,c,d的赋值都会相应地改变.这样做会影响取值的计算结果吗?
生:不会影响计算结果
师:很好！大家再来看例4.
【典型例题】
独立性检验的应用
例4 为研究吸烟是否与肺癌有关,某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法,调查了9965人,得到成对样本观测数据的分类统计结果,如表所示.依据小概率值α=0.001的独立性检验,分析吸烟是否会增加患肺癌的风险.
单位：人
吸烟
肺癌
合计
非肺癌患者
肺癌患者
非吸烟者
7775
42
7817
吸烟者
2099
49
2148
合计
9874
91
9965
【深度学习】
通过对例题的学习,创建独立性检验的问题情境,学生熟悉、熟练独立性检验的过程,加深学习印象,加深对独立性检验的理解.
【典例解析】
独立性检验的应用
解:零假设为
：吸烟与患肺癌之间无关联.
根据列联表中的数据,经计算得到
.
根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断不成立,即认为吸烟与患肺癌有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001.
根据上表中的数据计算,不吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为
;
吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为
.
由.
可见,在被调查者中,吸烟者患肺癌的频率是不吸烟者患肺癌的频率的4倍以上,于是,根据频率稳定于概率的原理,我们可以认为吸烟者患肺癌的概率明显大于不吸烟者患肺癌的概率,即吸烟更容易引发肺癌.
【以学定教】
学生思考,教师进行例题讲解,在听讲过程中消化知识,理解独立性检验的应用.
师:下面我们再补充一道典例.
【典型例题】
独立性检验的应用
例5 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:
单位:人
类型
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
试根据小概率值的独立性检验,分析南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面是否有差异.
【学生积极思考,独立完成,教师巡视检查完成结果,并公示答案】
【情境学习】
教师补充独立性检验例题,多角度贴近生活,通过对例题的学习,创建独立性检验的问题情境,学生加深学习印象,加深对独立性检验的理解.
【典例解析】
独立性检验的应用
解:零假设为
:南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面无差异.
将列联表中的数据代入公式计算,得
.
依据小概率值α=0.05的独立性检验,我们推断不成立,即认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异,此推断犯错误的概率不大于0.05.
师:大家完成地很好,现在再比对一下我们写出的结论与教材示范的是否一致,要严谨也要完整.归纳总结“应用独立性检验解决实际问题”的主要环节有哪几个?
【自主学习】
经过教师讲授例4之后,学生依照相同的方法和步骤解决例5,在完成例题的过程中,掌握解题方法与步骤.
【教师发挥主导作用,与学生共同归纳出主要环节,课件演示】
【归纳总结】
应用独立性检验的主要环节
1.提出零假设:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释;
2.根据抽样数据整理出2×2列联表,计算的值,并与临界值比较;
3.根据检验规则得出推断结论;
4.在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律.
注意:上述几个环节可以根据不同情况进行调整.
【概括理解能力】
通过解决例题,师生共同归纳出应用独立性检验解决实际问题的一般步骤,提升概括理解能力.
师:独立性检验的思想类似于我们常用的反证法,你能指出两者之间的相同和不同之处吗?
【学生积极思考,分小组沟通讨论,教师指定学生回答问题】
生:简单地说,反证法是在某种假设之下,推出一个矛盾结论,从而证明不成立;而独立性检验是在零假设之下,如果出现一个与相矛盾的小概率事件,就推断不成立,且该推断犯错误的概率不大于这个小概率.
师:很好！但是注意在全部逻辑推理正确的情况下,反证法不会犯错误,但独立性检验会犯随机性错误.
独立性检验的本质是比较观测值与期望值(预测值)之间的差异,由所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值进行判断的.这是一种非常重要的推断方法,不仅有相当广泛的应用,也开启了人类认识世界的一种新的思维方式.
【少教精教】
教师引出反证法,启发学生对比反证法与独立性检验的异同,引发学生主动思考,自主探究,教师多引导,学生多思考.
师:好的,同学们,接下来,我们做一下课堂练习.
【巩固练习】
独立性检验
1.对于例3中的抽样数据,采用小概率值α=0.05的独立性检验,分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.
2.根据同一抽查数据判断两个分类变量之间是否有关联,应用不同的小概率值,是否会得出不同的结论?为什么?
3.为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物试验,根据105个有放回简单随机样本的数据,得到如下列联表:
单位:只
药物A
疾病B
合计
未患病
患病
未服用
29
15
44
服用
54
14
61
合计
76
29
105
依据α=0.05的独立性检验,分析药物A对预防疾病B的有效性.
4.从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本,将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下:
单位:人
数学成绩
语文成绩
合计
不优秀
优秀
不优秀
212
61
273
优秀
54
73
127
合计
266
134
400
依据的独立性检验,能否认为数学成绩与语文成绩有关联?
【学生积极思考,独立完成课堂练习,教师积极肯定】
生解:1.根据题意,.依据小概率值=0.05的独立性检验,我们推断不成立,即可以认为两种疗法的效果有差异,该推断犯错误的概率不超过0.05.
【整体学习】
教师引导学生通过课堂练习自主总结当堂课独立性检验的重点内容,利用练习题巩固所学的数据分析相关方法,整体学习,加强学生对本节学习内容的整体认识和把握.
甲种疗法未治愈和治愈的频率分别是,乙种疗法未治愈和治愈的频率分别是,因此可以推断乙种疗法的效果比甲种疗法好.
2.可能会得出不同的结论.对同一抽样数据,计算出来的的值是确定的.在独立性检验中,基于不同的小概率值α的检验规则,对应不同的临界值,其与的大小关系可能不同,相当于检验的标准发生变化,因此结论可能会不同.
3.零假设为:药物A与预防疾病B无关联,即药物A对预防疾病B没有效果.根据列联表中的数据,经计算得到.根据α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断不成立.因此可以认为药物A对预防疾病B没有效果.
4.零假设为:数学成绩与语文成绩独立,即数学成绩与语文成绩没有关联.根据联表中的数据,经计算得到,根据α=0.05的独立性检验,我们可以推断不成立,即认为数学成绩与语文成绩有关联,该推断犯错误的概率不超过0.05.
数学成绩不优秀的人中语文成绩不优秀和优秀的频率分别为;数学成绩优秀的人中语文成绩不优秀和优秀的频率分别为.由此可以看出,数学成绩优秀的人中语文成绩优秀的频率明显高于数学成绩不优秀的人中语文成绩优秀的频率.根据频率稳定于概率的原理,我们可以推断,数学成绩优秀的人其语文成绩优秀的概率较大.
【综合问题解决能力】
学生积极思考,完成课堂练习.教师根据学生学习效果视情况给予答案提示,通过课堂练习,巩固学生的综合问题解决能力.
师:通过本节课的学习你掌握了哪些知识和方法?
【课堂小结】
独立性检验
1.独立性检验的公式
2.应用独立性检验解决实际问题的基本步骤
(1)提出零假设:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释.
(2)根据抽样数据整理出列联表,计算的值,并与临界值比较.
(3)根据检验规则得出推断结论.
(4)在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律.
【设计意图】
教师引导学生通过课堂练习自主总结当堂课分类变量与列联表的重点内容,利用练习巩固所学的数据分析相关方法,整体学习,加强学生对本节学习内容的整体认识和把握.
教学评价
学完本节课,要了解独立性检验(2×2列联表)的基本思想,能对两个事件是否关联作出判断;明确独立性检验的基本步骤,能用独立性检验的基本思想解决实际问题.应用独立性检验解决实际问题时,为了保证一定的精度,通常要求列联表中的四个数α,b,c和d都不小于5;独立性检验可能会犯错误,对于这种错误概率的估计是的独立性检验的重要组成部分.
【设计意图】
引导学生加深理解列联表与独立性检验的概念、主要环节、具体应用等知识,学生体会知识的生成、发展、完善的过程,让学生在运用课程教学过程中所学到的概括理解、分析计算、猜想探究等学样能力进行解决问题,从而达到数学抽象、数据分析等核心素养目标.
应用所学知识,完成下面各题.
1.为考察某种药物对预防禽流感的效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验,根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图,最能体现该药物对预防禽流感有显著效果的图形是( )
A.
B.
C.
D.
答案:D
解析:通过对条形图的分析分类变量之间的关系,还是要通过比例对比,差距明显的关联性大.分析四个等高条形图得,选项D中,不服用药物患病的概率最大,服用药物患病的概率最小,所以最能体现该药物对预防禽流感有显著效果.
2.下表是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表:
晚上
白天
合计
男婴
45
A
B
女婴
E
35
C
合计
98
D
180
那么,A=_____,B=_____,C=_____,D=_____,E=_____.
答案:47,92,88,82,53
解析:本题是考察2×2列联表的概念的理解,要抓住列联表横纵统计的方法.
由列联表知识得解得
【简单问题解决能力】
通过学生独立练习,使课堂教学得到了延续和强化,巩固了独立性检验相关数据分析方法,提升了学生的简单问题解决能力.
3.给出下列实际问题:①一种药物对某种病的治愈率;②两种药物治疗同一种病是否有关系;③吸烟者得肺病的概率;④吸烟人群是否与性别有关系;⑤上网与青少年的犯罪率是否有关系.其中,用独立性检验可以解决的问题有_________.
答案:②④⑤
解析:本题考查独立性检验的定义,独立性检验主要对两个分类变量是否有关系进行检验,主要涉及两种变量对同一种事情的影响,或者是两种变量在同一问题上体现的性质区别等,由此可得用独立性检验可以解决的问题有②④⑤.
4.某校团委对“学生性别和喜欢篮球运动是否有关”作了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢篮球运动的人数占男生人数的,女生喜欢篮球运动的人数占女生人数的;若有95%的把握认为是否喜欢篮球运动和性别有关,则调查人数中男生最少有( )人
附:
0.050
0.010
3.841
6.635
A.25
B.45
C.60
D.40
答案:B
解析:本题主要考查了独立性检验的应用,解题关键是根据男女人数相等及频率的信息设出合适的未知量进而得到列联表.
设男生的人数为,根据题意列出列联表如下表所示:
男生
女生
合计
喜欢篮球运动
4n
3n
7n
不喜欢篮球运动
n
2n
3n
合计
3n
5n
10n
,有95%的把握认为是否喜欢篮球运动和性别有关,,即,得8.0661
通过对独立性检验习题的练习,掌握计算的方法,推理判断零假设是否成立,提升综合问题解决能力.
【分析计算能力】
通过教学评价练习,学生在数据获得与处理的过程中,锻炼分析计算能力,提升数学运算核心素养.
教学反思
通过本节的教学,主要是让学生认识一些简单的概念,最重要的是让学生学会数学思想,通过实例,让学生养成熟练建模的意识和能力,可以通过本节的学习让学生体会统计学的思想方法.学完本节课,要了解分类变量的概念和2×2列联表的格式,要会利用古典概型和条件概率的角度分析分类变量的关联性,还要明白抽样获取的数据分析分类变量的关联性不一定准确.另外独立性检验作为统计推断的一种基本形式,其基本思想是根据观测或试验的结果去检验一个假设是否成立,独立性检验的基本原理是根据观测值和期望值的差异的大小作出推断,这种差异由统计量进行刻画,其大小的标准根据推理有关联时犯错误的概率确定.
【以学定教】
教师要让学生理解分类变量的概念，并掌握2×2列联表以及独立性检验的数据处理和分析方法，能在不同的具体问题情境中合理应用，综合解决问题.
【以学论教】
对教学的重难点知识进行追踪落实,根据学生实际学习情况和课堂效果总结教学过程,要结合实例,使学生理解数据分析的全过程,并善于和学过的知识,例如相互独立事件、条件概率、反证法相比较,达到学生自主思考,理解深刻的课堂效果.
《列联表与独立性检验》教学设计
课时2独立性检验
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
分类变量与列联表
学习理解能力
观察记忆
概括理解
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
创造迁移能力
综合问题解决
猜想探究
数学抽象
数据分析
【考查内容】
分类变量的认识、列联表的认识、频率稳定于概率原理的应用以及误差分析,独立性检验的基本思想、方法及其初步应用
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
两个事件相互独立
数学抽象
零假设及其表达
逻辑推理
检验统计量
数学建模
数学运算
独立性检验
数据分析
数学运算
一、本节内容分析
本节所涉及的分类变量与列联表的概念是新教材增加的一部分做铺垫的知识,理解分类变量与列联表的概念是能够进行独立性检验的必要前提,本节课旨在让学生了解分类变量的意义,并且通过对全部数学的分析和抽样数据的分析进行推理,结合频率稳定于概率,认识到独立性检验的必要性.
利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系,是高中数学知识中体现统计思想的重要课节.本节的主要内容就是两个分类变量是否有关系的推断,从生活实例出发,发现数学概念、方法与结论,体验数学来源于生活,数学又服务于生活.
本节的教学中,重点放在了独立性检验的统计学原理上,理解独立性检验的基本思想,明确独立性检验的基本步骤.通过对典型案例的研究,介绍了独立性检验的基本思想、方法和解决问题的一般步骤.独立性检验的基本思想和反证法类似,它们都是假设结论不成立,反证法是在假设结论不成立基础上推出矛盾从而证得结论成立,而独立性检验是在假设结论成立基础上判断拒绝假设的小概率事件是否发生,进而推断假设是否成立的.因为小概率事件在一次试验中通常是不会发生的,所以有利于结论成立的小概率事件的发生为否定假设提供了有力的证据.但在全部逻辑推理正确的情况下,反证法不会犯错误,但独立性检验会犯随机性错误.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识
1.分类变量和列联表
2.两个事件相互独立
3.零假设及其表达
4.检验统计量
5.独立性检验
数学抽象
逻辑推理
数学建模
数学运算
数据分析
核心素养
二、学情整体分析
本节内容较为容易理解,比较难的地方在于学生对之前学过的古典概型、条件概率、频率稳定于概率的原理有所淡忘,特别是条件概率,虽然本节涉及的条件概率难度很低,但是部分同学对此很陌生.
学生在必修二学完统计后有了一定的数据处理,高二学生的逻辑推理能力也比较强,但是数学建模能力锻炼较少,很多同学对数学建模比较模糊,从实际问题抽象出数学问题的能力比较差.
在知识的逻辑联系上,学生比较容易衔接,从生活中的实例入手,层层探究,符合学生的认知规律,但独立性检验中的卡方公式及临界值的确定,超出绝大多数高中生对新知的探究能力,因此在教学上采用的是让学生个体精读思考、相互交流讨论、集中解答释疑的教学模式,通过与反证法的相同与不同之处的思考,让学生了解独立性检验的基本思想,但学生对在一次试验中小概率事件几乎不可能发生而引发的矛盾这一思想的理解可能存在一定的难度,所以在讲解中注重进行层层突破.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.分类变量和列联表
2.独立性检验
【教学目标设计】
1.结合实例,让学生认识分类变量;通过计算让学生分析分类变量的关联性.
2.结合实例引入2×2列联表,并让学生通过描述性说明了解其含义;用抽样数据构成的2×2列联表,利用频率稳定于概率的原理,结合条形图分析分类变量的关联性,并了解其存在误差的原因.
3.结合具体实例,了解独立性检验的思想方法,掌握独立性检验的基本步骤,进一步提升数据分析核心素养.
4.了解统计推断可能犯错误的特点,体会检验统计量的产生过程.
【教学策略设计】
1.首先设置问题情境,在具体问题中让学生认识分类变量,进而利用教材中普查的数据通过计算认识两个分类变量的关联性,计算过程中依据教材的两种方法:简单计算频率和概率角度,进而引导学生思考如果数据不是普查的,而是抽样得到的数据,频率和概率之间是存在误差的,推断也将存在误差.
2.列联表的引入主要是考虑到原始数据保存的难度,不给出严格的定义,只给出描述性的说明即可.最后要引导学生利用频率稳定于概率的思想方法,推断两个分类变量的关联性,并要意识到推断过程中存在误差.
3.复习回顾古典概型及两个事件相互独立的知识,给出分类变量的零假设的两种严格的数学表达,提升学生数学建模、数学运算的核心素养.
4.根据观测值与期望值的差异的大小,构造检验统计量进行刻画,在推导过程中感悟合理性,提升数据分析核心素养.
5.认识小概率值的检验规则,总结独立性检验的主要环节,并与反证法进行了比较.
【教学方法建议】
讲授教学法、启发教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.分类变量和2×2列联表的认识.
2.会初步通过计算推断分类变量的关联性.
3.独立性检验的思想和方法.
难点 1.理解抽样数据分析因频率和概率存在误差,导致推断分类变量的关联性的误差.
2.统计量的推导和意义;独立性检验的思想和方法.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:在现实生活中,人们经常要回答一定范围内的两种现象或性质之间是否存在关联性或相互影响的问题.例如,就读不同的学校是否对学生的成绩有影响,不同班级学生用于体育锻炼的时间是否有差别,吸烟是否会增加患肺癌的风险,等等.本节要学习的独立性检验方法为我们提供了解决这类问题的方案.
在讨论问题时,为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示,学生所在的班级可以用1,2,3等表示,男性、女性可以用1,0表示,那么同学想一下,这些实数有没有大小关系和运算意义?
生:没有,就像代号一样.
师:非常好,这里的数字仅作为分类用,没有其他含义,比较0和1的大小没有意义,通常计算其均值和方差也没有意义.
本节我们主要讨论取值于{0,1}的分类变量的关联性问题.
【设计意图】
从日常生活实例中,思考其中蕴含的分类变量知识,激发学生兴趣,引出课题.
教学精讲
探究1 两个事件相互独立
师:在上一节的学习中,我们如何利用统计数据判断一对分类变量之间是否具有关联性呢?
生:可以利用普查数据,通过比较相关的比率进行判断.
师:在大多数实际问题中,我们无法获得所关心的全部对象的数据,又进行了怎样的处理?
生:利用随机抽样获得一定数量的样本数据,利用随机事件发生的频率稳定于概率的原理来进行判断.
师:大家回答得非常好,掌握了上一节学习内容的研究方法.但对于随机样本而言,因为频率具有随机性,频率与概率之间存在误差,所以我们的推断可能犯错误,而且在样本容量较小时,犯错误的可能性会较大.因此,本节课我们以列联表为基础,找一种更为合理的推断方法,同时也希望对出现错误推断的概率有一定的控制或估算.
师:在实际生活中,我们对于两个事件是否相互独立(或称是否有关联)有了一定的感性认识,例如“济南降雨”与“股市上证指数上涨”有没有关联?
生:“济南降雨”与“股市上证指数上涨”显然没有关联.
师:那“性别”与“体育锻炼的经常性”是否有影响呢?
生:可能有.
师:确实我们生活中还存在一些类似的问题，两个事件是否相互独立，我们应该给出定量分析，下面我们从事件的概率角度来回顾一下.
【设情境 巧激趣】
本节主要解决生活中两类事件或性质的关联性问题,创设情境符合知识考察要求,复习上节课的知识与方法,提出问题,激发学生研究新知的动力,为本节课的学习做好铺垫,复习古典概型的相关知识.
【情境设置】
两个事件相互独立
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B,你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗?
试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币,A=“第一枚硬币正面朝上”,B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球,设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
分别计算P(A),P(B),P(AB),你有什么发现?
师:通过以上两个试验的共性,回顾必修二的相关知识,得到了哪些启发?
【猜想探究能力】
通过具体的两个实例,对于两组运算结果的计算与比较,引导学生探究规律,培养学生的猜想探究能力.
【要点知识】
两个事件相互独立
从上述两个试验的共性中得到启发,我们引入这种事件关系的一般定义:
对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
由两个事件相互独立的定义,容易验证必然事件、不可能事件∅都与任意事件相互独立,这是因为必然事件总会发生,不会受任何事件是否发生的影响;同样,不可能事件∅总不会发生,也不受任何事件是否发生的影响,当然,它们也不影响其他事件是否发生.
师:结合条件概率,事件A,B相互独立,即事件A发生与否不影响事件B发生的概率,等价于什么呢?
生:P(B|A)=P(B).
探究2 零假设及其表达
师:上一节课,我们已经学习过分类变量、列联表,设A,B是取值于{0,1}的成对分类变量,判断事件{X=1}和{Y=1}之间是否有关联,可以进行怎样的量化比较呢?能否从条件概率的角度思考一下?
【鼓励学生作出回答,讨论归纳提出零假设】
【要点知识】
零假设(原假设)的提出
判断事件{X=1}与{Y=1}之间是否有关联,需要判断下面的假定关系
是否成立,通常称为零假设或原假设.
师:下面根据我们已经学过的有关知识对进行推导,看看能化简成怎样的形式.
【引导学生对等式进行数学运算,教师适时巡视学生完成情况,鼓励学生体验化简的
过程】
【教学预设 效果生成】
在已有知识的基础上,合情合理地引入零假设的概念,符合学生的认知规律,培养学生的理解概括能力,提升逻辑推理的核心素养.
【推测解释能力】
鼓励学生对零假设进行分析推导,既是对已复习知识的应用,又是对新知的深化理解,提升学生的推测解释能力.
【要点知识】
零假设(原假设)的化简
解: ,
.
即:.
又,
.
所以,零假设等价于与独立.
师:同学们已自主推导,根据已经学过的概率知识,还能得到什么性质?
【学生积极动脑思考,推导过程,教师巡视指导】
生:下面的四条性质彼此等价.
与独立;与独立;
与独立;与独立.
师:如果上面这些性质成立,就称分类变量X和Y独立.
【要点知识】
零假设(原假设)的改述
如果下面四个等式成立:
我们可以用概率语言,将零假设改述为分类变量X和Y独立.
探究3 检验统计量
师:假定我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表.
【要点知识】
X和Y的抽样数据列联表
X
Y
合计
Y=0
Y=1
X=0
a
b
a+b
X=1
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
n=a+b+c+d
师:如何基于四个论述及列联表中的数据,构造适当的统计量,对成对分类变量X,Y是否相互独立作出判断?
【引导学生小组讨论交流,教师引导之前学习过的相关知识,让学生充分思考,然后总结归纳,最后赏析教材的处理方式,分析合理性】
师:仔细阅读教材P129~P130,思考这种处理方式的理论依据及合理性,用你的理解来叙述一下.
【设活动 深探究】
充分开展个人精读、小组讨论活动,引导学生充分思考、总结归纳,赏析教材在核心知识上的处理方式,在探究中体会统计思维及知识迁移.
【组织学生进行精读思考、相互交流讨论,教师适时点拨、集中解答释疑,让学生学习体会对观测值与期望值的量化处理】
生:在零假设成立的条件下,对于用频率代替乘积后估计概率,此时事件发生频数的期望值可用表示,应该与该频数的观测值(真实值)a比较接近.
师:细节把握地很好,发现了“频率稳定于概率的原理”的应用,那么两个数值“比较接近”该如何衡量呢?
生:利用的取值大小可以反映是否接近.
追问:若a本身较大,则也会较大,则也随之较大;反之亦然,怎么平衡这种影响呢?
【教师通过问题串的设计,借助“一元线性回归模型中决定系数R2”的解决策略,让学生发现“将四个差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值再求和”的合理性.教师展示构造过程,并进行讲解】
【要点知识】
检验统计量的构造
.
该表达式可化简为.统计量读作“卡方”.
【分析计算能力】
学生参与构造统计量的过程,锻炼分析计算能力,提升数学运算核心素养.
【设情境 巧激趣】
借助工业生产中正态分布的“”原则,让学生理解小概率事件的相关知识,为小概率值α的检验规则的学习作铺垫.
探究4 独立性检验
师:构造衡量零假设是否成立的统计量,当它比较大时推断不成立,否则认为成立.那么,究竟大到什么程度,可以推断不成立呢?或者说,怎么确定判断大小的标准呢?
师:我们先来回顾一下正态分布的有关知识:
若,则,说明在一次试验中X的取值几乎总是落在区间内,而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.若在一次试验中或发生了,说明什么呢?
生:可能是的这个假设不成立.
师:非常好,这就是小概率事件在一次试验中不大可能发生的规律！如果发生了,说明原来的模型假设可能不成立.下面请同学们阅读教材第130页,看一下这个规律在判断零假设是否成立中的应用.首先看一下临界值的概念.
【要点知识】
临界值的概念
假定成立的条件下,对于有放回简单随机抽样,当样本容量n充分大时,得到了的近似分布,如下图.
忽略的实际分布与该近似分布的误差后,对于任何小概率值α,可以找到相应地正实数,使得下面关系式成立:,称为的临界值,这个临界值可作为判断大小的标准.
【观察记忆能力】
由课件图示,让学生直观感受的近似分步,体验统计检验量的构造、化简过程,不但对公式的特点更清晰,而且提升观察记忆能力.
师:由此可知,在假设成立的情况下,事件是不大可能发生的.根据这个规律,如果该事件发生,我们就可以推断不成立.不过这个推断有可能犯错误,但犯错误的概率不超过α.下面请同学们读一下教材中“基于小概率值α的检验规则”.
生:(1)当时,我们就推断不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;
(2)当时,我们没有充分证据推断不成立,可以认为X和Y独立.这种利用X的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验.
师:以下是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【通过对小概率值α=0.01,与6.635的比较明确规则的使用方法,让学生小组内取不同的小概率值及计算,推断成立的情况】
师:阅读课本P131例2,与上一节课P126例1的结果及理论背景进行比较分析.
【活动学习】
设立学生阅读数学概念的课堂活动,有助于提高学生课堂思维注意力,让学生体会知识间的联系,培养统计学思维.
【学生阅读教材,分析例1的抽样数据.教师展示例2】
【典型例题】
独立性检验的应用
例2 依据小概率值α=0.1的独立性检验,分析例1中的抽样数据,能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异?
解:零假设为：分类变量X与Y相互独立,即两校学生的数学成绩优秀率无差异.
根据下表中的数据,
学校
数学成绩
合计
不优秀(Y=0)
优秀(Y=1)
甲校(X=0)
33
10
43
乙校(X=0=1)
38
7
45
合计
71
17
88
计算得到
.
根据小概率值α=0.1的独立性检验,没有充分证据推断出不成立,因此可以认为成立,即认为两校的数学成绩优秀率没有差异.
【以学定教】
为了让学生理解小概率值检验规则,让学生小组内取不同的小概率值及,推断成立的情况，使学生真正明白临界值的意义,并非单纯记忆、机械运用.
师:比较教材例1和例2,基于同一组数据的分析却得出了不同的结论,思考其中的原因并简述独立性检验的优点.
【思考交流后,请学生回答,引导学生归纳例1样本的随机性以及例2的优点】
生:例1只是根据一个样本的两个频率间存在差异得出两校学生数学成绩优秀率有差异的结论,并没有考虑由样本随机性可能导致的错误.
例2中,用独立性检验对零假设进行了检验.
师:通过计算,发现≈0.837小于α=0.1所对应的临界值2.706,因此认为没有充分证据推断不成立,所以接受,推断出两校学生的数学优秀率没有显著差异的结论.
师:这个检验结果意味着,抽样数据中两个频率的差异很有可能是由样本随机性导致的.因此,只根据频率的差异得出两校学生的数学成绩优秀率有差异的结论是不可靠的.
由此可见,相对于简单比较两个频率的判断,用的独立性检验得到的结果更理性、更全面,理论依据也更充分.
当我们接受零假设时,也可能犯错误.我们不知道犯这类错误的概率P的大小,但是知道,若α越大,则P越小.
师:下面我们看例3.
【自主学习】
学生通过比较两道例题基于同一组数据得出不同的结论,体会独立性检验的必要性,提升逻辑推理能力,发挥学生自主学习的主动性.
【综合问题解决能力】
通过具体实例应用独立性检验的知识,切实解决生活中问题,既体现了数学源自生活,又展现了数学服务生活的作用,提升学生理论联系实践的意识和综合问题解决能力.
【典型例题】
独立性检验的应用
例3 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查,得到了如下数据:抽到接受甲种疗法的患儿67名,其中未治愈15名,治愈52名;抽到接受乙种疗法的患儿69名,其中未治愈6名,治愈63名.试根据小概率值α=0.005的独立性检验,分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.
【学生积极思考,交流探讨,教师出示多媒体】
【典例解析】
独立性检验的应用
解:零假设为
:疗法与疗效独立,即两种疗法效果没有差异.
将所给数据进行整理,得到两种疗法治疗数据的列联表,如表所示.
单位：人
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
15
52
67
乙
6
63
69
合计
21
115
136
根据列联表中的数据,经计算得到
.
根据小概率值α=0.005的独立性检验,没有充分证据推断不成立,因此可以认为成立,即认为两种疗法效果没有差异.
【概括理解能力】
通过具体的实例例3,引导学生分析独立性检验得出结论的应用条件,不能在使用时随意扩大范围,培养学生的概括理解能力.
师:同学们在做例3时,要注意利用独立性检验得出的结论是有条件的,不能在使用时随意扩大范围,如例3中的样本数据来自于儿童医院,根据样本数据得出的结论能很好地适用于该儿童医院,但是若推广到其他群体,则可能会犯错误.
师:另外,大家观察思考一下:在上表中,若对调两种疗法的位置或对调两种疗效的位置,则的表达式中a,b,c,d的赋值都会相应地改变.这样做会影响取值的计算结果吗?
生:不会影响计算结果
师:很好！大家再来看例4.
【典型例题】
独立性检验的应用
例4 为研究吸烟是否与肺癌有关,某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法,调查了9965人,得到成对样本观测数据的分类统计结果,如表所示.依据小概率值α=0.001的独立性检验,分析吸烟是否会增加患肺癌的风险.
单位：人
吸烟
肺癌
合计
非肺癌患者
肺癌患者
非吸烟者
7775
42
7817
吸烟者
2099
49
2148
合计
9874
91
9965
【深度学习】
通过对例题的学习,创建独立性检验的问题情境,学生熟悉、熟练独立性检验的过程,加深学习印象,加深对独立性检验的理解.
【典例解析】
独立性检验的应用
解:零假设为
：吸烟与患肺癌之间无关联.
根据列联表中的数据,经计算得到
.
根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断不成立,即认为吸烟与患肺癌有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001.
根据上表中的数据计算,不吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为
;
吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为
.
由.
可见,在被调查者中,吸烟者患肺癌的频率是不吸烟者患肺癌的频率的4倍以上,于是,根据频率稳定于概率的原理,我们可以认为吸烟者患肺癌的概率明显大于不吸烟者患肺癌的概率,即吸烟更容易引发肺癌.
【以学定教】
学生思考,教师进行例题讲解,在听讲过程中消化知识,理解独立性检验的应用.
师:下面我们再补充一道典例.
【典型例题】
独立性检验的应用
例5 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:
单位:人
类型
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
试根据小概率值的独立性检验,分析南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面是否有差异.
【学生积极思考,独立完成,教师巡视检查完成结果,并公示答案】
【情境学习】
教师补充独立性检验例题,多角度贴近生活,通过对例题的学习,创建独立性检验的问题情境,学生加深学习印象,加深对独立性检验的理解.
【典例解析】
独立性检验的应用
解:零假设为
:南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面无差异.
将列联表中的数据代入公式计算,得
.
依据小概率值α=0.05的独立性检验,我们推断不成立,即认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异,此推断犯错误的概率不大于0.05.
师:大家完成地很好,现在再比对一下我们写出的结论与教材示范的是否一致,要严谨也要完整.归纳总结“应用独立性检验解决实际问题”的主要环节有哪几个?
【自主学习】
经过教师讲授例4之后,学生依照相同的方法和步骤解决例5,在完成例题的过程中,掌握解题方法与步骤.
【教师发挥主导作用,与学生共同归纳出主要环节,课件演示】
【归纳总结】
应用独立性检验的主要环节
1.提出零假设:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释;
2.根据抽样数据整理出2×2列联表,计算的值,并与临界值比较;
3.根据检验规则得出推断结论;
4.在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律.
注意:上述几个环节可以根据不同情况进行调整.
【概括理解能力】
通过解决例题,师生共同归纳出应用独立性检验解决实际问题的一般步骤,提升概括理解能力.
师:独立性检验的思想类似于我们常用的反证法,你能指出两者之间的相同和不同之处吗?
【学生积极思考,分小组沟通讨论,教师指定学生回答问题】
生:简单地说,反证法是在某种假设之下,推出一个矛盾结论,从而证明不成立;而独立性检验是在零假设之下,如果出现一个与相矛盾的小概率事件,就推断不成立,且该推断犯错误的概率不大于这个小概率.
师:很好！但是注意在全部逻辑推理正确的情况下,反证法不会犯错误,但独立性检验会犯随机性错误.
独立性检验的本质是比较观测值与期望值(预测值)之间的差异,由所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值进行判断的.这是一种非常重要的推断方法,不仅有相当广泛的应用,也开启了人类认识世界的一种新的思维方式.
【少教精教】
教师引出反证法,启发学生对比反证法与独立性检验的异同,引发学生主动思考,自主探究,教师多引导,学生多思考.
师:好的,同学们,接下来,我们做一下课堂练习.
【巩固练习】
独立性检验
1.对于例3中的抽样数据,采用小概率值α=0.05的独立性检验,分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.
2.根据同一抽查数据判断两个分类变量之间是否有关联,应用不同的小概率值,是否会得出不同的结论?为什么?
3.为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物试验,根据105个有放回简单随机样本的数据,得到如下列联表:
单位:只
药物A
疾病B
合计
未患病
患病
未服用
29
15
44
服用
54
14
61
合计
76
29
105
依据α=0.05的独立性检验,分析药物A对预防疾病B的有效性.
4.从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本,将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下:
单位:人
数学成绩
语文成绩
合计
不优秀
优秀
不优秀
212
61
273
优秀
54
73
127
合计
266
134
400
依据的独立性检验,能否认为数学成绩与语文成绩有关联?
【学生积极思考,独立完成课堂练习,教师积极肯定】
生解:1.根据题意,.依据小概率值=0.05的独立性检验,我们推断不成立,即可以认为两种疗法的效果有差异,该推断犯错误的概率不超过0.05.
【整体学习】
教师引导学生通过课堂练习自主总结当堂课独立性检验的重点内容,利用练习题巩固所学的数据分析相关方法,整体学习,加强学生对本节学习内容的整体认识和把握.
甲种疗法未治愈和治愈的频率分别是,乙种疗法未治愈和治愈的频率分别是,因此可以推断乙种疗法的效果比甲种疗法好.
2.可能会得出不同的结论.对同一抽样数据,计算出来的的值是确定的.在独立性检验中,基于不同的小概率值α的检验规则,对应不同的临界值,其与的大小关系可能不同,相当于检验的标准发生变化,因此结论可能会不同.
3.零假设为:药物A与预防疾病B无关联,即药物A对预防疾病B没有效果.根据列联表中的数据,经计算得到.根据α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断不成立.因此可以认为药物A对预防疾病B没有效果.
4.零假设为:数学成绩与语文成绩独立,即数学成绩与语文成绩没有关联.根据联表中的数据,经计算得到,根据α=0.05的独立性检验,我们可以推断不成立,即认为数学成绩与语文成绩有关联,该推断犯错误的概率不超过0.05.
数学成绩不优秀的人中语文成绩不优秀和优秀的频率分别为;数学成绩优秀的人中语文成绩不优秀和优秀的频率分别为.由此可以看出,数学成绩优秀的人中语文成绩优秀的频率明显高于数学成绩不优秀的人中语文成绩优秀的频率.根据频率稳定于概率的原理,我们可以推断,数学成绩优秀的人其语文成绩优秀的概率较大.
【综合问题解决能力】
学生积极思考,完成课堂练习.教师根据学生学习效果视情况给予答案提示,通过课堂练习,巩固学生的综合问题解决能力.
师:通过本节课的学习你掌握了哪些知识和方法?
【课堂小结】
独立性检验
1.独立性检验的公式
2.应用独立性检验解决实际问题的基本步骤
(1)提出零假设:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释.
(2)根据抽样数据整理出列联表,计算的值,并与临界值比较.
(3)根据检验规则得出推断结论.
(4)在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律.
【设计意图】
教师引导学生通过课堂练习自主总结当堂课分类变量与列联表的重点内容,利用练习巩固所学的数据分析相关方法,整体学习,加强学生对本节学习内容的整体认识和把握.
教学评价
学完本节课,要了解独立性检验(2×2列联表)的基本思想,能对两个事件是否关联作出判断;明确独立性检验的基本步骤,能用独立性检验的基本思想解决实际问题.应用独立性检验解决实际问题时,为了保证一定的精度,通常要求列联表中的四个数α,b,c和d都不小于5;独立性检验可能会犯错误,对于这种错误概率的估计是的独立性检验的重要组成部分.
【设计意图】
引导学生加深理解列联表与独立性检验的概念、主要环节、具体应用等知识,学生体会知识的生成、发展、完善的过程,让学生在运用课程教学过程中所学到的概括理解、分析计算、猜想探究等学样能力进行解决问题,从而达到数学抽象、数据分析等核心素养目标.
应用所学知识,完成下面各题.
1.为考察某种药物对预防禽流感的效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验,根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图,最能体现该药物对预防禽流感有显著效果的图形是( )
A.
B.
C.
D.
答案:D
解析:通过对条形图的分析分类变量之间的关系,还是要通过比例对比,差距明显的关联性大.分析四个等高条形图得,选项D中,不服用药物患病的概率最大,服用药物患病的概率最小,所以最能体现该药物对预防禽流感有显著效果.
2.下表是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表:
晚上
白天
合计
男婴
45
A
B
女婴
E
35
C
合计
98
D
180
那么,A=_____,B=_____,C=_____,D=_____,E=_____.
答案:47,92,88,82,53
解析:本题是考察2×2列联表的概念的理解,要抓住列联表横纵统计的方法.
由列联表知识得解得
【简单问题解决能力】
通过学生独立练习,使课堂教学得到了延续和强化,巩固了独立性检验相关数据分析方法,提升了学生的简单问题解决能力.
3.给出下列实际问题:①一种药物对某种病的治愈率;②两种药物治疗同一种病是否有关系;③吸烟者得肺病的概率;④吸烟人群是否与性别有关系;⑤上网与青少年的犯罪率是否有关系.其中,用独立性检验可以解决的问题有_________.
答案:②④⑤
解析:本题考查独立性检验的定义,独立性检验主要对两个分类变量是否有关系进行检验,主要涉及两种变量对同一种事情的影响,或者是两种变量在同一问题上体现的性质区别等,由此可得用独立性检验可以解决的问题有②④⑤.
4.某校团委对“学生性别和喜欢篮球运动是否有关”作了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢篮球运动的人数占男生人数的,女生喜欢篮球运动的人数占女生人数的;若有95%的把握认为是否喜欢篮球运动和性别有关,则调查人数中男生最少有( )人
附:
0.050
0.010
3.841
6.635
A.25
B.45
C.60
D.40
答案:B
解析:本题主要考查了独立性检验的应用,解题关键是根据男女人数相等及频率的信息设出合适的未知量进而得到列联表.
设男生的人数为,根据题意列出列联表如下表所示:
男生
女生
合计
喜欢篮球运动
4n
3n
7n
不喜欢篮球运动
n
2n
3n
合计
3n
5n
10n
,有95%的把握认为是否喜欢篮球运动和性别有关,,即,得8.0661
通过对独立性检验习题的练习,掌握计算的方法,推理判断零假设是否成立,提升综合问题解决能力.
【分析计算能力】
通过教学评价练习,学生在数据获得与处理的过程中,锻炼分析计算能力,提升数学运算核心素养.
教学反思
通过本节的教学,主要是让学生认识一些简单的概念,最重要的是让学生学会数学思想,通过实例,让学生养成熟练建模的意识和能力,可以通过本节的学习让学生体会统计学的思想方法.学完本节课,要了解分类变量的概念和2×2列联表的格式,要会利用古典概型和条件概率的角度分析分类变量的关联性,还要明白抽样获取的数据分析分类变量的关联性不一定准确.另外独立性检验作为统计推断的一种基本形式,其基本思想是根据观测或试验的结果去检验一个假设是否成立,独立性检验的基本原理是根据观测值和期望值的差异的大小作出推断,这种差异由统计量进行刻画,其大小的标准根据推理有关联时犯错误的概率确定.
【以学定教】
教师要让学生理解分类变量的概念，并掌握2×2列联表以及独立性检验的数据处理和分析方法，能在不同的具体问题情境中合理应用，综合解决问题.
【以学论教】
对教学的重难点知识进行追踪落实,根据学生实际学习情况和课堂效果总结教学过程,要结合实例,使学生理解数据分析的全过程,并善于和学过的知识,例如相互独立事件、条件概率、反证法相比较,达到学生自主思考,理解深刻的课堂效果.
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