初中数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形精品精练

4.5相似三角形的性质及其应用浙教版初中数学九年级上册同步练习

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，在点处竖立一根长为米的标杆，如图所示，量出的影子的长度为米，再量出旗杆的影子的长度为米，那么旗杆的高度为(    )

 

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

2.九章算术中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形，东边城墙长里，南边城墙长里，东门点，南门点分别位于，的中点，，，里，经过点，则的长为(    )

A. 里 B. 里 C. 里 D. 里

3.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，则树高为(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.图是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图所示，此时液面(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.如图，小明从路灯下处，向前走了米到达处，在处发现自己在地面上的影子长是米，如果小明的身高为米，那么路灯离地面的高度是米．(    )

A.
B.
C.
D.

6.如图一块三角形余料，，高线，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点、分别在，上，若满足：：，则的长为．(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.西周数学家商高总结了用“矩”如图测量物高的方法：把矩的两边按图放置，从“矩”的一端人眼望点，使视线通过“矩”的另一端点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高若，，，，则的高度为(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.如图，身高米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，当他站在点处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点处，测量得到米，米，则旗杆的高度是
(    )

 

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9.如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影高为米，旗杆的高度为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.如图，长、宽均为，高为的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图是此时的示意图，则图中水面高度为(    )

 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.如图，一块三角形余料，它的边，高现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件和，则正方形的边长为______．

12.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高为          ．
 

13.九章算术中记载着这样的一个问题：“今有邑方，不知大小，各中开门出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何？”大意如下：如图，、为正方形一组对边的中点，中，、、、四点共线，，、、三点共线，且，，，，设正方形的边长为，请根据题意列方程，并将方程整理成一元二次方程的一般形式：______ ．

14.如图，利用标杆测量建筑物的高度已知标杆高，测得，，点，，在同一直线上，则建筑物的高度是______ 米

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分

为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点，在近岸分别取点，，，，使点，，在一条直线上，且，点，，也在一条直线上，且经测量米，米，米，求河的宽度为多少米．

16.本小题分

如图，为了估算河的宽度，可以在河对岸选定一个目标，在近岸取点和，使点，，共线，且直线与河岸垂直接着在过点且与垂直的直线上选择适当的点，设交过点且垂直于的直线于点测得，，，求河的宽度．

17.本小题分
下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度．

18.本小题分
世纪年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长的广告牌挡住，后在处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是，假设，公路宽为，求小芳所在处到公路南侧的距离．

 

19.本小题分
如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上求灯泡到地面的高度．

 

20.本小题分
某校社会实践小组为了测量花丛中路灯的高度，在地面上处垂直于地面竖立了高度为的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，路灯的顶端点正好在同一直线上，测得，将标杆向后平移到达点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，路灯的顶端点正好在同一直线上，这时测得，请你根据以上数据，计算花丛中路灯的高度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列式，建立适当的数学模型来解决问题．在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
【解答】
解：
即，
米．
故选D．

2.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，，，
，
，
，
∽，
，
是的中点，是的中点，里，里，里，
里，里，
，
解得：．
故选：．
首先根据题意得到∽，然后利用相似三角形对应边成比例列出比例式求得答案即可．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大．

3.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查相似三角形的应用，先根据勾股定理求得的长，再根据相似三角形的判定求得两三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例求解．
【解答】
解：，，，
．
 ， ，所以∽．
，即，解得．
．
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：如图，过作，垂足为，
如图，过作，垂足为，

用去一部分液体后，，
∽，即相似比为，
，
，，
，即，
，
故选：．
本题考查相似三角形的应用，解本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．

5.【答案】 

【解析】解：米，米，
米，
，，
∽，
，
米．
故选：．
根据相似三角形对应边成比例可解．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．由题意可得，利用相似三角形的性质构建方程即可求解．
【解答】
解：如图，设与交于点，

：：，
可设，则，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
解得，
．
故选A．

7.【答案】 

【解析】解：由图可得，，，，
，
，，
，
∽，
，
即，
解得，，
故选：．
根据题意和图形，可以得到，，，然后根据相似三角形的性质，可以得到．
本题考查一次函数的应用、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的定义及判定，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
【解答】
解：如图

，


设旗杆高度为米，由题意得，
解得：，
则旗杆的高度是米．
故选：．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用：物长：影长定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
过作于，首先证明四边形为矩形，可得，，设，则：：，求出即可解决问题．
【解答】
解：过作于，

，，
，
四边形为矩形，
，，
设，则：：，
解得，
旗杆的高米．
故选B．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查相似三角形的应用、勾股定理、长方体的体积、梯形的面积的计算方法等；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．
设，则，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出，再由勾股定理求出，过点作于，由∽得出，求得结果即可．
【解答】
解：过点作于，如图所示：

设，则，
根据题意得：，
解得：，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
∽，
，
即，
．
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：设正方形零件的边长为，
在正方形中，，
∽，
是高，
，即，
，
答：正方形的边长为．
故答案为：．
根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即∽，根据相似三角形相似比等于对应高的比列式，可解答．
本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．

12.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
利用直角三角形和直角三角形相似求得的长后加上的长即可求得树高．
【解答】
解：，
∽

，，，

米，
，
米
树高为米．

13.【答案】 

【解析】解：设正方形的边长为，
、为正方形一组对边的中点，
，
，，
，
，
，
∽，
，
即，
整理得．
故答案为：．
根据题意，可知∽，根据相似三角形的对应边成比例即可得到结论．
本题主要考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程．

14.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，即，
，
故答案为：．
先证明∽，则利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可．
本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高长作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．

15.【答案】，∽，，即，解得故河的宽度为米． 

【解析】略

16.【答案】解：根据题意得出：，
，，
∽，
故，
，，，
，
解得：，
答：河的宽度为． 

【解析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据已知得出∽是解题关键．根据相似三角形的性质得出，进而代入求出即可．

17.【答案】解：由题意得：，，
，
，
∽，
，
，
解得：，
小河的宽度为． 

【解析】根据题意可得：，，从而可得，然后证明字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．

18.【答案】解：设小芳所在处到公路南侧的距离为，
，
，
∽，
，
，
，
小芳所在处到公路南侧的距离为． 

【解析】本题考查了相似三角形的应用，证明∽是本题的关键．
通过证明∽可得，可求解．

19.【答案】解：由题意可得：，
则∽，
故，
即，
解得：；
，
，
光在镜面反射中的入射角等于反射角，
，
又，
∽，
，
，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为． 

【解析】直接利用相似三角形的判定与性质得出的长，根据相似三角形的性质列方程进而求出的长．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．

20.【答案】解：由题意可得：，
∽，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，
，经检验符合题意，
，
，
，经检验符合题意；
答：花丛中路灯的高度米． 

【解析】易知∽，∽，可得，，因为，推出，列出方程求出，由 ，由此即可解决问题．
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．