初中数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形精品综合训练题

这是一份初中数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形精品综合训练题，共31页。试卷主要包含了下列各组中的四条线段成比例的是，在设计人体雕像时，使雕像上部，如图，，若，，，则DE的长度是等内容，欢迎下载使用。

第4章 相似三角形（A卷�）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．下列各组中的四条线段成比例的是（   ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
2．若线段，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（　　）
A． B． C．或 D．或
3．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（结果精确到．参考数据：，，）

A． B． C． D．
4．如图，已知，那么下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．
5．如图，，若，，，则DE的长度是（  　  ）

A．6 B． C． D．
6．已知，AD和是它们的对应高线，若AD＝5，，则与的周长比是（    ）
A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9
7．如图，点在的边上，添加一个条件，使得，下列不正确的是（    ）．

A． B．
C． D．
8．如图，，，，D为上一点，且，在上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则等于（    ）

A．或 B．10或 C．或10 D．以上答案都不对
9．如图所示，网格中相似的两个三角形是（    ）

A．①与② B．①与③ C．③与④ D．②与③
10．如图，中，是边上一点，交于点，连接，交于点，则下列结论正确的是（   ）

A． B． C． D．
11．如图，在中，E是线段AC上一点，，过点C作，交BE的延长线于点D．若的面积等于16，则的面积等于（    ）

A．8 B．10 C．12 D．16
12．如图，在中，AD是BC边上的高，在的内部，作一个正方形PQRS，若，，则正方形PQRS的边长为（    ）

A． B． C．1 D．
13．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（    ）

A．2 B．4 C．3 D．4
14．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP=6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（　　）

A．8m B．9m C．16m D．18m
15．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（    ）

A．4 B．3 C．3.2 D．3.4

评卷人
得分



二、填空题
16．已知三条线段、、，其中，，是、的比例中项，则 cm．
17．若，则 ．
18．我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于 ．

19．已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE、B1E1分别是它们对应边上的角平分线，且BE＝12，则B1E1＝ ．
20．如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若，则 ．

21．如图，平行四边形中，点为边上的一点，和相交于点，已知的面积等于12，的面积等于8，则四边形的面积是 ．

22．如图，点是矩形边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处，设，
（1）若点恰为边的中点，则 ．
（2）设，则关于的函数表达式是 ．


评卷人
得分



三、解答题
23．如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为．

(1)当为何值时，的面积为？
(2)为何值时，以A，，为顶点的三角形与相似．
24．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．

(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)若AD＝2，AB＝6．求AC的长．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．

26．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等腰三角形，PC＝PD，∠CPD＝70°，且△ACP∽△APB．

(1)求证：△ACP∽△PDB
(2)求∠APB的度数；
(3)若AC＝4，CD＝5，BD＝9，求△PCD的周长．
27．如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
28．如图，已知正方形的边长为，正方形的边长为，点在边上，点在延长线上，点为上的点，连接，．

(1)当时，求证：．
(2)若点为的中点，在（1）的条件下，求出与满足的关系式．
29．如图，在正方形中，点在边上，连接，在延长线上作，连接交于点，设．

(1)若，，求线段的长．
(2)连接，若点为的中点，①求证：．②求的值．
30．春暖花开，草长莺飞，学校开展了校外实践活动．某数学社团成员李优、张红武和袁浪浪发现在活动根据地远处的小山坡上有一棵小树，如图所示，记小树的位置为点E，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即的长度）；李优站在点B处，让袁浪浪移动平面镜至点C处，此时李优在平面镜内可以看到点E．张红武、袁浪浪用皮尺测得为3米，为18米，用倾角器测得．已知李优的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求的长度．（结果保留根号）


参考答案：
1．A
【分析】根据四条线段成比例的定义逐项判断即可．若四条线段成比例，则（或或），是有顺序的，位置不能随意颠倒．
【详解】解：A、，
四条线段成比例，故符合题意；
B、，
四条线段不成比例，故不符合题意；
C、，
四条线段不成比例，故不符合题意；
D、，
四条线段不成比例，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了比例线段，验证第一条线段与第四条线段的长度乘积是否等于中间两条线段的长度乘积是解题的关键．特别注意，成比例线段是有顺序关系的．
2．D
【分析】分AC＜BC、AC＞BC两种情况，根据黄金比值计算即可．
【详解】解：当AC＜BC时，BC= AB=，
当AC＞BC时，BC==，
故选D．
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
3．B
【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得求解即可．
【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
雷锋雕像为2m，
∴  
∴，
即该雕像的下部设计高度约是1.24m，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
4．D
【分析】根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可．
【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
∵BC和AD对应，CE和DF对应，BE和AF对应，
∴，，
故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关键．
5．D
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例是，代入求出即可．
【详解】解∶∵，
∴DF=DE+4，
∵，
∴，
∵，，DF=DE+4，
∴，
∴DE=，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
6．C
【分析】根据相似三角形的性质：对应高线的比等于相似比，周长比等于相似比求解即可．
【详解】解：∵，AD和是它们的对应高线，AD＝5，，
∴两三角形的相似比为5：3，
则与的周长比是5：3，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．C
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可．
【详解】解：A、若，，则，故此选项不符合题意；
B、若，，则，故此选项不符合题意；
C、若，其夹角不相等，则不能判定，故此选项符合题意；
D、若，，则，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．证明三角形相似是解题的关键．
8．C
【分析】已知∠A是公共角，只需再满足或时，△ADE与△ABC相似，分别列比例式计算即可．
【详解】解：∵∠A=∠A，
①当时△ADE∽△ABC，
则，
得AE=10；

②当时△ADE∽△ACB，
则，
得；

综上分析可知，AE 等于或10，故C正确．
故选:：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，分两种情况正确的作出图形，找准对应边是解题的关键．
9．B
【分析】分别根据网格的特点求得各三角形三边的长，根据三边对应成比例判断两三角形相似即可．
【详解】解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：，2，，
②号三角形的三边长分别为：，，3，
③号三角形的三边长分别为：2，，，
④号三角形的三边长分别为：，3，，
，
①与③相似，故B选项正确，符合题意；其他选项不正确
故选：B．
【点睛】本题考查了网格中判断相似三角形，分别求得各三角形的边长是解题的关键．
10．A
【分析】根据得，即可得，根据得，即可得，等量代换得，即可判断选项A，根据，可判断选项B，根据可判断选项C，根据与不相似得，可判断选项D，即可得．
【详解】解：∵，
∴，
，
∵，
∴，
，
∴，
故A选项正确；
∵，
故B选项说法错误，不符合题意；
，
故C选项说法错误，不符合题意；
∵与不相似，
∴
故D选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
11．C
【分析】先证明，再根据相似比求出，再根据、等高求出的面积，最后求的面积即可．
【详解】
，


即

由于中边上的高和中边上的高相等，
故


故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、三角形面积的计算，解决本题的关键是证明三角形相似，熟悉相似比与面积的关系．
12．A
【分析】由四边形PQRS是正方形，可得即可证得△ASR∽△ABC，设正方形PQRS的边长为x，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，得方程： 解此方程即可求得答案．
【详解】解：如图：记AD与SR的交点为E，设正方形PQRS的边长为x，

∵AD是△ABC的高，四边形PQRS是正方形，
∴，AE是△ASR的高， 则AE=AD-ED=2-x，
∴△ASR∽△ABC，

解得：，
∴正方形PQRS的边长为．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．
13．D
【分析】连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，因为CE＝2DE，构造△DGE∽△COE，求出DG＝3，设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，则AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x，再利用△AGD∽△ADB，列出方程即可解决．
【详解】解：连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，

∵∠BDC＝45°，
∴∠CAO＝∠CDB＝45°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵BC＝6，
∴AB＝BC＝12，
∵OA＝OB，
∴CO⊥AB，
∴∠COA＝∠DGE＝90°，
∵∠DEG＝∠CEO，
∴△DGE∽△COE，
∴＝，
∵CE＝2DE，
设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，
∴AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x，
∵∠ADB＝∠AGD＝90°，
∠DAG＝∠BAD，
∴△AGD∽△ADB，
∴DG2＝AG•BG，
∴9＝（6﹣3x）（6＋3x），
∵x＞0，
∴x＝，
∴OE＝2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
CE＝，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出△DGE∽△COE是解题关键
14．A
【分析】根据反射的性质可得∠APE=∠CPE，则有∠APB=∠CPD，从而可得△ABP∽△CDP，由相似三角形的性质即可求得CD的长．
【详解】如图，根据反射的性质可得∠APE=∠CPE
∵EP⊥BD
∴∠APB=∠CPD
∵AB⊥BD，CD⊥BD
∴∠ABP=∠CDP=90°
∴△ABP∽△CDP
∴
∴

故选：A
【点睛】本题考查了相似三角形在测高中的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质、轴对称中光的反射问题是关键．
15．B
【分析】由题意知：，得出对应边成比例即可得出．
【详解】解：由题意知：，
则，，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出是解决问题的关键．
16．
【分析】由是、的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段的长，注意线段的长度不能为负．
【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段长度的乘积．
∵是、的比例中项，
∴，
解得：（线段的长度是正数，负值舍去），
则．
故答案为：
【点睛】本题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段的长度不能是负数．
17．
【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：，

=
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
18．
【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质可证四边形ABEF是正方形，可得EF＝BE，进一步即可求出EF与CE的比值．
【详解】解：根据折叠，可知AB＝AF，BE＝FE，∠BAE＝∠FAE，
在矩形ABCD中，∠BAF＝∠B＝90°，
∴∠BAE＝∠FAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴BA＝BE，
∴AB＝BE＝EF＝FA，
又∵∠B＝90°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴EF＝BE＝AB，
∵矩形ABCD是黄金矩形，
∴＝，
∴＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握黄金分割是解题的关键．
19．9
【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，根据相似三角形的对应角平分线的比等于相似比计算．
【详解】解：△，的周长与△的周长的比值是，
与△的相似比为，
，即，
解得，，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长的比等于相似比，相似三角形的对应角平分线比等于相似比．
20．48
【分析】取的中点，连接，根据证，得出，根据等高关系求出的面积为4，根据相似三角形的性质可得：和边和高的比例关系得出，从而得出梯形的面积为12，进而得出的面积为12，同理可得，即可得出的面积．
【详解】解： 是的中位线，
、分别为、的中点，
如图过作交于点，

，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
，，，
点为的中点，且，
，
，
，
，
，
为的中位线，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：48．
【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，解题的关键是正确得出中位线分三角形的面积比例关系．
21．22
【分析】根据的面积等于12，的面积等于8，可得，根据等高不同底的三角形的面积比等于底边之比可得，，进而求得，，根据四边形的面积等于即可求解．
【详解】如图，连接，

的面积等于12，的面积等于8，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
的面积等于12，的面积等于8，
，
，
，
，
,，
，
，
四边形的面积等于．
故答案为：22．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等高不同底的三角形面积之间的关系，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
22． 2
【分析】（1）根据折叠和矩形的性质，证出AF = AB =CD，由点 B 恰好落在 CD 边上的中点 F 处，得出 DF =AF ，得 ∠DAF =30°，再求出∠CFE = ∠DAF =30°，即可得答案；
（2）先证△AFD∽△FEC，得，由AB=AF=CD，BE=EF，得，，由，，得=x-1，可得答案．
【详解】解：（1）由折叠，得 AF = AB ， BE = EF ，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB = CD ， ∠D =90°，∠C =90°，
∵点 B 恰好落在 CD 边上的中点 F 处，
∴ DF =CD =AB = AF ，
在 Rt △ ADF 中，由 DF =AF ，得 ∠DAF =30°，
∵∠DAF + ∠AFD =90°，∠AFD + ∠CFE =90°，
∴∠CFE = ∠DAF =30°，
所以在 Rt △ ECF 中，，
∴，
∴x=2；
（2）∵△AFE是由△ABE折叠而来的，
∴△AFE≌△ABE，
∴BE=EF，AB=AF=CD，
∵∠EFC+∠AFD=90°，
∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠AFD=∠FEC，
∵∠ADC=∠BCD，
∴△AFD∽△FEC，
∴ ，
∴，
∵AB=AF=CD，BE=EF，
∴，
∴，
∵，，
∴1+=x，
∴=x-1，
∴y=(x＞1)．
【点睛】本题考查了折叠和矩形的性质，在直角三角形中，30°的角对的边是斜边的一半，相似三角形的判定与性质，解题的关键是证三角形相似．
23．(1)
(2)或

【分析】由题意知，，，再根据三角形的面积公式即可列出方程，解方程可得答案；
由，则当或时，以，，为顶点的三角形与相似，代入计算即可．
【详解】（1）由题意知，，，
的面积为，
，
解得或，
，
时，的面积为；
（2），
当或时，以，，为顶点的三角形与相似，
或，
解得或，
或时，以A，，为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
24．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据相似三角形的判定条件证明即可；
（2）根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：由（1）得：△ABC∽△ACD，
∴＝，
∴，
∴，
∴AC＝或AC＝（舍去），
∴AC的长为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相关三角形的性质与判定条件是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出
（2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长．
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)125°
(3)17

【分析】（1）根据相似三角形的性质可得∠APC＝∠B，再由PC＝PD，可得∠PCD＝∠PDC，从而得到∠ACP＝∠PDB，即可求证；
（2）根据等腰三角形的性质，可得∠PCD＝∠PDC＝55°，从而得到∠A＋∠APC＝55°再由∠APC＝∠B，可得∠A＋∠B＝55°，即可求解；
（3）根据相似三角形的性质可得PC2＝AC×BD，从而得到PC＝PD＝6，即可求解．
【详解】（1）解：∵△ACP∽△APB    
∴∠APC＝∠B    
∵PC＝PD     
∴∠PCD＝∠PDC
∵∠PCD＋∠ACP＝180°，∠PDC＋∠PDB＝180°  
∴∠ACP＝∠PDB    
∴△ACP∽△PDB
（2）解：∵∠CPD＝70°
∴∠PCD＝∠PDC＝55°
∴∠A＋∠APC＝55°
∵∠APC＝∠B  
∴∠A＋∠B＝55°
∴∠APB＝180°－(∠A＋∠B)=125°
（3）解：∵△ACP∽△PDB   
∴
∵PC＝PD     
∴PC2＝AC×BD     
∵AC＝4，BD＝9，
∴PC＝PD＝6    
∴PC＋PD ＋CD＝17
∴△PCD的周长为17
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)1

【分析】（1）连接，根据圆周角推论得，根据点是的中点得，，用ASA证明，即可得；
（2）根据题意和全等三角形的性质得，根据四边形ABCD内接于圆O和角之间的关系得，即可得，根据相似三角形的性质得，即可得
【详解】（1）证明：如图所示，连接，

为直径，
，
又点是的中点
，，
在和中，

，
，
；
（2）解：，，
，
又四边形内接于圆，
，
又，
，
又，
，
，
即：，
解得：，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．
28．(1)见解析
(2)

【分析】（1）利用同角的余角相等可知，再结合可得；
（2）由可得，用a，b表示这四条线段，再化简可得．
【详解】（1）证明：连接DF，

四边形，都是正方形，
，，
，
，
又，
，
，
，
∵，
．
（2）点为的中点，
，
，，
，
由（1）可知，
，
，
，
即与满足的关系式为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握AA判定三角形的相似是解题的关键．涉及的模型是一线三直角的相似模型，记住常见的几何模型有助于快速找到思路．
29．(1)
(2)①见解析；②

【分析】（1）由可得点为的中点，则有，利用勾股定理可得，即有，则；
（2）①画出图形，先证明，即有，则是的中线，在等腰中，有；②设，则，由①知，，证明，即有，可得，即，问题得解．
（1）
解：∵，，
∴点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的为；
（2）
①如图，

证明：∵，点为的中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，即是的中线，
∵，
∴；
②设，则，
由①知，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
即的值为．
【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
30．DE的长度为米
【分析】过E作EF⊥BC于F，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：过E作EF⊥BC于F，如图所示：

∵∠CDE＝120°，
∴∠EDF＝60°，
，
∴，
设DE为x米，则，，
，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECF，
∴△ABC∽△EFC，
，
即，
解得：，
答：DE的长度为米．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确表示出DF，DE和EF的长是解题关键．