九年级上册4.6 相似多边形精品随堂练习题

4.6相似多边形浙教版初中数学九年级上册同步练习

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如下图，已知矩形的边长为，边长为，从中截去一个矩形图中阴影部分，如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是(    )


 

A.  B.  C.  D.

2.如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于
(    )


 

A.  B.  C.  D.

3.如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为(    )

A.  B.  C.  D.

4.如图，四边形是一张矩形纸片将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为若矩形与原矩形相似，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5.如图中的矩形边长分别是将图中的矩形边长拉长，边长拉长得到的，若两个矩形相似不全等，则的值是(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.四边形与四边形相似，相似比为，四边形与四边形相似，相似比为，则四边形与四边形相似且相似比为(    )

A.  B.  C. 或 D.

7.某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为：，其中一块草坪的周长是米，则另一块草坪的周长是(    )

A. 米 B. 米 C. 米或米 D. 米或米

8.如图，已知矩形的边长为，边长为，从中截去一个矩形
图中阴影部分
，如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是

 

A.  B.  C.  D.

9.如图，已知，是的中点，且矩形与矩形相似，则长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片沿对折后展开，得矩形和矩形，然后再把其中的一个矩形沿对折后展开，得矩形和矩形，依此类推，得矩形和，并且所有矩形都相似，则等于
(    )


 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.两个相似多边形的周长比是：，其中较小的多边形的面积为，则较大的多边形的面积为______．

12.一个多边形的边长分别为，，，，另一个与它相似的多边形的最长边长为，则该多边形的最短边长为______ ．

13.如图，在矩形中，，，点，分别为边，上的点，若矩形与矩形相似，且相似比为，连接，则______．

14.如图，，分别为矩形的边，的中点，且矩形与矩形相似，，则的长为          ．
 

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分

如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且若矩形∽矩形，且相似比为，求的长．

16.本小题分
如图，四边形∽四边形，试求出及的大小．

 

17.本小题分
如图，四边形∽四边形且，，，，，求、的大小和的长．

 

18.本小题分

如图所示，小林在一块长为，宽为，一边靠墙的矩形小花园周围栽种了一种花来装饰，这种花的边框宽为，边框内外边缘所围成的两个矩形相似吗？

19.本小题分
如图，我们规定菱形与正方形，矩形与正方形的接近程度称为“接近度”，在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
设菱形相邻两个内角的度数分别为，，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近正方形．
若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”为______；
当菱形的“接近度”等于______时，菱形是正方形；
设矩形的长和宽分别为，，试写出矩形的“接近度”的合理定义．

 

20.本小题分
如图，点是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且菱形∽菱形，相似比是，连接，．

 

求证：．

若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【解答】
解：依题意，在矩形中截取矩形，

则矩形∽矩形，
则，
设，得到：，
解得：，
即，
所截矩形的面积：．
故选B．

2.【答案】 

【解析】解：使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
，
解得或舍去，
，
故选B．

3.【答案】 

【解析】解：两个相似多边形面积的比为：，
这两个相似多边形周长的比是：．
故选：．
直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

4.【答案】 

【解析】解：设，
四边形是矩形，
，，
由折叠得：，，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
矩形与原矩形相似，
，
，
解得：或，
经检验：或都是原方程的根，
，
，
，
故选：．
设，根据矩形的性质可得，，再根据折叠的性质可得：，，，从而可得四边形是正方形，然后利用正方形的性质可得，最后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了相似多边形的性质，解一元二次方程公式法，矩形的性质，翻折变换折叠问题，正方形的判定与性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查矩形的性质，相似多边形的性质等知识，解题的关键是学会利用相似多边形的性质，构建方程解决问题．
利用相似多边形的性质，构建方程求解即可．
【解答】
解：由题意，两个矩形相似，
或，
解得或不符合题意舍弃，
故选：．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是将相似比进行转换首先将：转化为：，将：转化为：，然后求得四边形与四边形相似比即可．
【解答】
解：四边形与四边形相似，相似比为：，即相似比为：；
四边形与四边形相似，相似比为：，即相似比为：；
四边形与四边形且相似比为：，也就是：．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：面积比为：，
相似比为：，
设另一块草坪的周长为，
当较大的草坪的周长是米时，
：：，
解得，
当较小的草坪的周长是米时，
：：，
解得．
所以另一块草坪的周长为米或米．
故选：．
根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，可求出两多边形的相似比，再根据相似多边形周长的比等于相似比求解，再分已知的草坪是较大的草坪和较小的草坪两种情况讨论．
本题主要考查相似多边形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方的性质，注意要分情况讨论．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
根据题意，截取矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【解答】
解：如图：

依题意，在矩形中截取矩形，
则矩形∽矩形，
则，
设，得到：
，
解得：，
则截取的矩形面积是：
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：设．
矩形与矩形相似，
：：，
：：，
，
故选：．
设利用相似多边形的性质，构建方程求解即可．
本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．

10.【答案】 

【解析】解：设，由对折知，．

矩形∽矩形，
．

．


由折叠知，
故选B．

11.【答案】 

【解析】解：两个相似多边形的周长比是：，
两个相似多边形的相似比是：，
两个相似多边形的面积比是：，
较小多边形的面积为，
较大多边形的面积为，
故答案为：．
根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可．
本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．

12.【答案】 

【解析】解：该多边形的最短边长为．
由相似多边形的性质可知：，
，
故答案为：．
该多边形的最短边长为利用相似多边形的性质构建方程求解即可．
本题考查相似多边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

13.【答案】或 

【解析】解：延长交于，
四边形和是矩形，
，
，
，
分两种情况：
当与对应时，
相似比为，
，
，，
，，
，，
在中，由勾股定理得：，
当与对应时，
相似比为，
，
，
，，
，，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：或．
若矩形与矩形相似，没确定哪两条边相似，所以分两种情况：
当与对应时，先根据相似比求和的长，利用线段的差求和的长，根据勾股定理求的长；
当与对应时，同理可得的长．
本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．

14.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．
根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】
解：矩形与矩形相似，
，即，
解得，，
，
故答案为：．

15.【答案】解：矩形∽矩形，且相似比为，
，
四边形为矩形，
，
，
，，
． 

【解析】本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等．也考查了矩形的性质．利用相似多边形的性质得到，而根据矩形的性质得到，从而利用比例性质得到，，然后计算即可．

16.【答案】解四边形∽四边形，
，，，
四边，
，
，
，
，，，
，
． 

【解析】根据四边形∽四边形相似的性质，得出对应边的比相等，对应角相等即可．
本题考查了相似四边形的性质，掌握相似四边形的性质对应边的比相等，对应角相等是解题的关键．

17.【答案】解：四边形∽四边形，
，，
，，
，
四边形∽四边形，
，
，，，
，
解得：．
，，． 

【解析】由四边形∽四边形，根据相似四边形的对应角相等，即可求得，，又由四边形的内角和等于，即可求得的度数；根据相似四边形的对应边成比例，即可求得的长．
此题考查了相似四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握相似四边形的对应角相等与相似四边形的对应边成比例性质定理的应用．

18.【答案】解：边框外缘所围成的矩形的长，宽，
长与宽的比为：：：，
而矩形中，：：，
：：，即对应边不成比例，
边框内外边缘所围成的两个矩形不相似． 

【解析】表示出边框外缘所围成的矩形的长与宽，然后求出两个矩形的长与宽的比，再根据相似矩形的判定方法进行判断．
本题考查了相似多边形的对应边成比例的性质，求出两个矩形的长与宽的比是解题的关键．

19.【答案】解：内角为，
与它相邻内角的度数为．
菱形的“接近度”．
当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形．
故答案为：；；
设矩形的长和宽分别为，，如矩形的“接近度”的定义为，
越接近，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近，矩形才越接近正方形． 

【解析】此题主要考查了相似图形的性质，正确理解“接近度”的意思是解决问题的关键．
根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”等于；
当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形；
利用接近度的定义分析得出答案．

20.【答案】【小题】

证明：菱形∽菱形，，，，，．，，，．

【小题】

如图，连接交于点，则．

，．

菱形∽菱形，相似比是，，，，，，
，

．
 

【解析】 见答案
 见答案