选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理课时训练

这是一份选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理课时训练，共14页。试卷主要包含了已知向量其中，现有以下命题，如图，已知平行六面体等内容，欢迎下载使用。
1.2空间向量基本原理一．选择题（共5小题）1．已知空间内，，为三个两两垂直的单位向量，若，，则的最小值为　　A． B． C． D．12．如图，，分别是四面体的边，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则　　A． B． C． D．3．设，，为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称，，线性无关，否则称它们线性相关．若，1，，，0，，，，线性相关，则　　A．9 B．7 C．5 D．34．如图，在四面体中，是的重心，是上的一点，且，若，则，，为　　A． B． C． D．5．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为　　A． B． C． D．二．填空题（共3小题）6．已知向量其中，现有以下命题：（1）向量与轴正方向的夹角恒为定值（即与，无关；（2）的最大值为；（3）的夹角）的最大值为；（4）若定义，则的最大值为．其中正确的命题有　 　．（写出所有正确命题的序号）7．已知是平行六面体，设是底面中与的交点，是侧面对角线上的点，且，设，则、、的值分别为　　．8．如图，在正方体中，和相交于点，若，则　 　．三．解答题（共2小题）9．如图，已知平行六面体．若为的重心，，设，用向量、、表示向量；若平行六面体各棱长相等，且平面，为中点，，求证：平面．10．如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底，，表示以下向量：（1）；（2）；（3）；（4）．
1.2空间向量基本原理参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．已知空间内，，为三个两两垂直的单位向量，若，，则的最小值为　　A． B． C． D．1【分析】令，，，，问题等价于求的最小值，讨论在平面，，平面内三种情况，分别计算得到答案．【解答】解：令，，，故原式等价于，令，因为，，所以在平面内，即平面内，为，，平面内任意一点，所以问题等价于求的最小值，显然取在各平面内的射影时最小，可分三种情况求解：①当在平面内时，作的垂面，作，为投影在上投影，得，作的平面图，△，此时，，，所以，所以，所以当在点时的最小值为．同理②当在平面内时，在上，可得平面图：此时，，，，所以．同理③当在平面内时，，，，当时，最小，所以，，，综上：的最小值为．故选：．【点评】本题主要考查了向量模的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，空间想象能力，以及运用了分类讨论与数形结合的思想．2．如图，，分别是四面体的边，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则　　A． B． C． D．【分析】如图所示，连接．由，分别是四面体的边，的中点，是的中点，利用三角形法则、平行四边形法则即可得出．【解答】解：如图所示，连接，分别是四面体的边，的中点，是的中点，，，，．故选：．【点评】本题考查了三角形法则、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．设，，为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称，，线性无关，否则称它们线性相关．若，1，，，0，，，，线性相关，则　　A．9 B．7 C．5 D．3【分析】三个向量线性相关，得存在不全为0的实数，，，使得成立；列出方程组，用代替、，化简求得的值．【解答】解：依题意知，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数，，，使得成立；即由得，，代入，得；由于，，不全为0，所以，所以．故选：．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，是中档题．4．如图，在四面体中，是的重心，是上的一点，且，若，则，，为　　A． B． C． D．【分析】利用三角形重心的性质以及向量的几何运算将用，，表示，然后根据空间向量基本定理可得．【解答】解：，，即，根据空间向量基本定理可得，故选：．【点评】本题考查了空间向量基本定理，三角形重心的性质，属中档题．5．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为　　A． B． C． D．【分析】利用空间向量的线性运算法则与向量相等的定义，用、和表示出即可．【解答】解：取的中点，连接、，如图所示；为的中点，，，，，．故选：．【点评】本题考查了空间向量的线性运算与向量相等的应用问题，是基础题．二．填空题（共3小题）6．已知向量其中，现有以下命题：（1）向量与轴正方向的夹角恒为定值（即与，无关；（2）的最大值为；（3）的夹角）的最大值为；（4）若定义，则的最大值为．其中正确的命题有　（1）（3）（4）　．（写出所有正确命题的序号）【分析】（1）取轴的正方向单位向量，求出与的夹角即可判断命题正确；（2）计算，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；（3）利用数量积求出与夹角的最大值，即可判断命题正确；（4）根据定义求出的最大值即可判断命题正确．【解答】解：（1）取轴的正方向单位向量，0，，则，，向量与轴正方向的夹角恒为定值，命题正确；（2），当且仅当，时取等号，因此的最大值为1，命题错误；（3）由（2）可得：，，，，，的最大值是，命题正确；（4）由（3）可知：，，，，，，，，命题正确．综上可知：正确的命题序号是（1）（3）（4）．故答案为：（1）（3）（4）．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，也考查了推理与计算能力，属于难题．7．已知是平行六面体，设是底面中与的交点，是侧面对角线上的点，且，设，则、、的值分别为　，，　．【分析】如图所示，由，且，可得，，代入即可得出．【解答】解：如图所示，，且，，，，又，则，，．故答案为：，，．【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量共线定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．如图，在正方体中，和相交于点，若，则　　．【分析】由，，，．代入化简整理即可得出．【解答】解：，，，．，与比较，可得：，，则．故答案为：．【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、向量基本定理，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题（共2小题）9．如图，已知平行六面体．若为的重心，，设，用向量、、表示向量；若平行六面体各棱长相等，且平面，为中点，，求证：平面．【分析】利用向量加法的三角形法则及重心的性质，将用基底表示，再在△中，将用基底表示；连接，，由已知证明△为等腰三角形，从而，同理可证明，最后由线面垂直的判定定理证明结论【解答】解：依题意，为的重心，又证明：连接，，平行六面体各棱长相等且平面，△为等腰三角形为的中点，同理可证，平面．【点评】本题考查了空间向量的基本定理及其应用，向量加法的三角形法则，重心的性质及线面垂直的判定定理．10．如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底，，表示以下向量：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】利用向量的平行四边形法则和向量的共线定理即可得出．【解答】解：如图所示，（1）；（2）；（3）；（4）．【点评】熟练掌握向量的平行四边形法则和向量的共线定理是解题的关键．