高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算课后测评

1.1空间向量及其运算

一．选择题（共4小题）

1．若，，，1，，，，则的最小值为　　

A．0 B．2 C．3 D．6

2．已知向量分别是空间三条不同直线，，的方向向量，则下列命题中正确的是　　

A． 

B． 

C．，，平行于同一个平面，，使得 

D．，，共点，，使得

3．在空间直角坐标系中，已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为　　

A． B． C． D．

4．已知，，，，2，，，，，且，则的最小值是　　

A．6 B． C．8 D．

二．填空题（共4小题）

5．已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是 　　．

6．在空间直角坐标系中，经过点，1，且与直线垂直的平面方程为　　．

7．已知球是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是　　．

8．已知四面体，，，，，则　　．

三．解答题（共2小题）

9．如图，已知向量，，，可构成空间向量的一个基底，若，，，，，，，，，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，，，显然的结果仍为一个向量，记作．

（1）求证：向量为平面的法向量；

（2）求证：以，为边的平行四边形的面积等于；

（3）将四边形按向量平移，得到一个平行六面体，是判断平行六面体的体积与的大小．

10．棱锥中，四边形为平行四边形，、、两两垂直，，，，为的中点，在上，且．

（1）用向量，，表示向量．

（2）求．

1.1空间向量及其运算

参考答案与试题解析

一．选择题（共4小题）

1．若，，，1，，，，则的最小值为　　

A．0 B．2 C．3 D．6

【分析】由，，列方程组得：，令，得到，由此能求出的最小值．

【解答】解：，，，1，，，，

，

整理得：，

令，则，且，，，

，

当时，．

的最小值为0．

故选：．

【点评】本题考查空间直角坐标的运算，考查解不等式等基础知识，渗透化归与转化思想、函数与方程思想，关注对数学运算、直观想象等数学核心素养的考查，是中档题．

2．已知向量分别是空间三条不同直线，，的方向向量，则下列命题中正确的是　　

A． 

B． 

C．，，平行于同一个平面，，使得 

D．，，共点，，使得

【分析】利用共面向量基本定理和共线定理、空间向量基本定理即可判断出．

【解答】解：．由，，可得与共面，但是不一定共线，因此不正确；

．由，，可得，，与不共线，因此不正确；

．，，平行于同一个平面，，共面，，使得，因此正确；

．，，共点．可知，，不一定共面，因此，，不一定共面，故推不出：点，，使得，因此不正确．

综上可知：只有正确．

故选：．

【点评】本题考查了共面向量基本定理和共线定理、空间向量基本定理，属于难题．

3．在空间直角坐标系中，已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为　　

A． B． C． D．

【分析】由点在直线上运动，可得存在实数使得，，，利用数量积可得，再利用二次函数的单调性即可得出．

【解答】解：点在直线上运动，存在实数使得，，，

，．

，

当且仅当时，上式取得最小值，

．

故选：．

【点评】熟练掌握向量共线定理、数量积运算、二次函数的单调性等是解题的关键．

4．已知，，，，2，，，，，且，则的最小值是　　

A．6 B． C．8 D．

【分析】首先由向量垂直得到关于，，的等式，得到定值，利用基本不等式求最小值．

【解答】解：由已知，，，，2，，，，，且，

所以即，

所以；

当且仅当等号成立；

故选：．

【点评】本题考查了空间向量数量积的坐标运算以及基本不等式求最值；注意基本不等式成立的条件．

二．填空题（共4小题）

5．已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是 　8　．

【分析】先算出内切球的半径，为正四面体的棱长），然后再利用向量数量积进行运算．

【解答】解：由正四面体棱长为，得其内切圆的半径为1，

由题意，，是直径的两端点，可得，，

则，

当点在正四面体顶点时，最大，且最大值为9，

则的最大值为8，

故答案为：8．

【点评】本题考查空间向量的数量积运算．

6．在空间直角坐标系中，经过点，1，且与直线垂直的平面方程为　　．

【分析】由题意可得，两个平面的法向量分别为，，，，，设平面的法向量为，，，则由得到一法向量为，，，得到所求平面方程．

【解答】解：由题意可得，两个平面的法向量分别为，，，，，，

设平面的法向量为，，，则由得到一法向量为，，，

所以与直线垂直的平面方程为，

整理得，

故答案为：．

【点评】本题考查了由向量的坐标求平面方程；关键是求出与两条直线垂直的向量坐标．

7．已知球是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是　　．

【分析】设球的半径为，则，解得．可得．

【解答】解：设球的半径为，则，解得．

．

．

故答案为：．

【点评】本题考查了正八面体及其内切球的性质、等边三角形与直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．已知四面体，，，，，则　5　．

【分析】根据题意，由空间向量的数量积计算公式可得，代入数据计算可得答案．

【解答】解：根据题意，四面体，，，，，

则

；

则；

故答案为：5．

【点评】本题考查空间向量数量积的计算，涉及向量模的计算，关键是掌握空间向量数量积的计算公式．

三．解答题（共2小题）

9．如图，已知向量，，，可构成空间向量的一个基底，若，，，，，，，，，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，，，显然的结果仍为一个向量，记作．

（1）求证：向量为平面的法向量；

（2）求证：以，为边的平行四边形的面积等于；

（3）将四边形按向量平移，得到一个平行六面体，是判断平行六面体的体积与的大小．

【分析】（1）由题意，得，，由此能证明为平面的法向量．

（2）设，夹角为，，，由此能证明．

（3）向量在面法向量上的投影，的几何意义是，由此能求出．

【解答】（1）证明：由题意，得，，，

因为，

所以，

同理得，

因为，且平面，

所以为平面的法向量．

（2）证明：设，夹角为，

，

所以．

（3）向量在面法向量上的投影，

的几何意义是，

是底面积，

在法向量上投影

．

【点评】本题考查向量为平面的法向量的证明，考查以，为边的平行四边形的面积等于的证明，考查平行六面体的体积与的大小的判断，解题时要注意向量的数量积的合理运用．

10．棱锥中，四边形为平行四边形，、、两两垂直，，，，为的中点，在上，且．

（1）用向量，，表示向量．

（2）求．

【分析】（1）以为坐标原点，以为轴，以这轴，以为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出．

（2）由，能求出．

【解答】解：（1）、、两两垂直，

以为坐标原点，

以为轴，以这轴，以为轴，

建立空间直角坐标系，

，，，

为的中点，在上，且，

，0，，，0，，，2，，

，0，，，2，，，，，，1，，

，0，，

，2，，

，

．

（2），

．