人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用同步测试题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用同步测试题，共26页。试卷主要包含了如图，平面平面，，，，已知直角梯形满足，已知菱形的边长为2，，如图，三棱锥中，，，，，，等内容，欢迎下载使用。
1.4空间向量的应用一．选择题（共5小题）1．如图，平面平面，，，．平面内一点满足，记直线与平面所成角为，则的最大值是　　A． B． C． D．2．已知直角梯形满足：，，且为正三角形．将沿着直线翻折至△，且，二面角、、的平面角大小分别为，，，直线，，与平面所成角分别是，，，则　　A．， B．， C．， D．，3．已知点是正方体上底面上的一个动点，记面与面所成的锐二面角为，面与面所成的锐二面角为，若，则下列叙述正确的是　　A． B． C．，， D．，，4．已知正方体的棱长为3，为棱上的靠近点的三等分点，点在侧面上运动，当平面与平面和平面所成的角相等时，则的最小值为　　A． B． C． D．5．如图，在正方体中，在棱上，，平行于的直线在正方形内，点到直线的距离记为，记二面角为为，已知初始状态下，，则　　A．当增大时，先增大后减小 B．当增大时，先减小后增大 C．当增大时，先增大后减小 D．当增大时，先减小后增大二．填空题（共4小题）6．已知菱形的边长为2，．现将菱形沿对角线折成空间几何体．设空间几何体的外接球为球，若球的表面积为，则二面角的余弦值为 　　．7．如图，在多面体中，已知棱，，两两平行，底面，，四边形为矩形，，底面内（包括边界）的动点满足，与底面所成的角相等．记直线与底面的所成角为，则的取值范围是　　．8．如图，，平面外有一点，，点到角的两边，的距离都等于，则与平面所成角的正切值为　　．9．如图，三棱锥中，，，，，，．点在棱上且，则直线与平面所成的角是 　　．三．解答题（共3小题）10．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出的值；若不存在，请说明理由．已知等腰三角和正方形，_____，，平面平面，是否存在点，满足，使直线与平面所成角为？11．如图，将边长为4的等边三角形沿与边平行的直线折起，使得平面平面，为的中点．（1）求平面与平面所成角的余弦值；（2）若平面，试求折痕的长；（3）当点到平面距离最大时，求折痕的长．12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，，，为棱的中点，为棱上一点，，连接，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，连接，判断四面体是否为鳖臑、若是，写出其每个面的直角；若不是，写出其不是直角三角形的面；（Ⅲ）延长，交于点，连接，若二面角的大小为，求．
1.4空间向量的应用参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．如图，平面平面，，，．平面内一点满足，记直线与平面所成角为，则的最大值是　　A． B． C． D．【分析】过作的延长线，垂足为，连接，，取的中点，连接，过点作，垂足为，由已知证明就是直线与平面所成角，再证明，可得点的轨迹是平面内以线段为直径的圆点除外），设，由已知可得，，，当且仅当，即是圆的切线时，角有最大值，有最大值，再由求得的最大值．【解答】解：如图，过作的延长线，垂足为，连接，，取的中点，连接，过点作，垂足为， 平面平面，且平面平面，平面，，，平面，在平面上的射影就是直线，故就是直线与平面所成角，即，，，又，，平面，则．点的轨迹是平面内以线段为直径的圆点除外）． ，且，，设，则，从而．，当且仅当，即是圆的切线时，角有最大值，有最大值．的最大值为．故选：．【点评】本题考查空间中直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属难题．2．已知直角梯形满足：，，且为正三角形．将沿着直线翻折至△，且，二面角、、的平面角大小分别为，，，直线，，与平面所成角分别是，，，则　　A．， B．， C．， D．，【分析】由题意得到平面图以及翻折的立体示意图，点，分别为，的中点，为与的交点，可知点在平面上的投影在上，由，判断投影点在的位置，根据投影点到，，的距离判断二面角的大小关系，再设的高为，由，即可得到线面角的大小关系．【解答】解：由题意可知，若，则，，如图所示，点，分别为，的中点，为与的交点，所以，，则，则旋转过程中，点在平面上的投影在上，当点的投影为点时，则，当点的投影在上时，则，当点的投影在上时，则，当点投影为点时，则，故要使，则点的投影在点，两点之间，此时投影点到，，的距离为，所以二面角最大，其次为二面角，而二面角最小，故；设三棱锥的高为，则，因为，，，所以．故选：．【点评】本题考查了空间翻折问题，二面角的平面角的定义的理解与应用，线面角的定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于较难题．3．已知点是正方体上底面上的一个动点，记面与面所成的锐二面角为，面与面所成的锐二面角为，若，则下列叙述正确的是　　A． B． C．，， D．，，【分析】结合正方体的几何特征，面与面所成的锐二面角为，面与面所成的锐二面角为，，判断点所在的大致位置，利用正方体的特点，判断点接近于点时，，故可判断选项，，因为，则，由，故，即可判断选项，．【解答】解：如图，取正方体的下底面的各边中点，，，，上底面的中心为，下底面的中心为，面与面所成的锐二面角为，面与面所成的锐二面角为，且，等价于点到的距离比到的距离大，所以点在如图所示的范围内，在和中，，为公共边，为公共的中点，，的大小由与，所成的角的大小所确定，所成的角越小，则对应的角越大，因为与和所成的角的大小关系不确定，当点在靠近时，与直线所成的角较小，与直线所成的角接近，此时，同样当点接近于点时，，故选项错误，选项错误；与的大小关系看点是在的左侧还是右侧，若是在左侧，则，若是在右侧，则，若是在上，则；同样，点在的前面，则，点在上，则，点在的后面，则，所以当点在内时，，，，，，，，，因为，则，因为，故，故选项正确，选项错误；根据对称性可知，在其余范围内，具有相同的结论．故选：．【点评】本题考查了空间角的理解与应用，二面角的平面角的应用，解题的关键是从正方体的几何特征出发，利用题中信息判断点的大致区域，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于较难题．4．已知正方体的棱长为3，为棱上的靠近点的三等分点，点在侧面上运动，当平面与平面和平面所成的角相等时，则的最小值为　　A． B． C． D．【分析】建系，，3，，根据平面与平面和平面所成的角相等得到，进而求的最小值．【解答】解：如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，3，，设，3，，则，由正方体的性质可知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以，又因为平面与平面和平面所成的角相等，所以，即，又即，即或，①当，即，因为，，所以，，又，，所以，此时，②当，即，因为，，所以，，又因为，，所以，此时当时，不等式取等号．综上所述，的最小值为．故选：．【点评】本题考查面面夹角，考查空间向量的应用，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于难题．5．如图，在正方体中，在棱上，，平行于的直线在正方形内，点到直线的距离记为，记二面角为为，已知初始状态下，，则　　A．当增大时，先增大后减小 B．当增大时，先减小后增大 C．当增大时，先增大后减小 D．当增大时，先减小后增大【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式表示出，再利用导数研究函数单调性，分析判断．【解答】解：由题意，以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为3，则，，，，0，，设直线与，交于点，，则，所以，，设平面的法向量为，则，即，令，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，则，对于，，令，则，显然函数在时为减函数，即减小，则增大，故选项，错误；对于，，当时，则，令，则，因为，令，则，所以当时，，则函数单调递减，即减小，增大，当时，，则函数单调递增，即增大，减小，故当增大时，先增大后减小，故选项正确，错误．故选：．【点评】本题考查了二面角的理解和应用，利用导数研究函数的单调性，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，考查了逻辑推理了与运算能力，属于难题．二．填空题（共4小题）6．已知菱形的边长为2，．现将菱形沿对角线折成空间几何体．设空间几何体的外接球为球，若球的表面积为，则二面角的余弦值为 　　．【分析】确定多面体外接球球心的一般思路：过两个相交平面的外心分别做该平面的垂线，垂线的交点即为球心．根据折叠过程的对称性，及题意所求的二面角，分别找到过等边，等边△’ 的外心的垂线，交点为球心，再结合平面几何知识求解即可．【解答】解：设球的半径为，由表面积，得．如图（1），设、△的外心分别为，，过，分别做平面，平面的垂线，两条垂线的交点即为球心．如图（2），设中点为，由对称性知，设为，则为二面角所成平面角的大小．由正弦定理得，所以，所以，．故答案为．【点评】考查多面体的外接球问题的求法，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于难题．7．如图，在多面体中，已知棱，，两两平行，底面，，四边形为矩形，，底面内（包括边界）的动点满足，与底面所成的角相等．记直线与底面的所成角为，则的取值范围是　　．【分析】根据题设中的线面角相等转换成斜线在底面上的投影长度之比为2，然后在底面内建立坐标系，判断出点在底面的轨迹是一段弧，然后根据所给几何体的性质判断出直线与底面的所成角最小、最大值时点的位置，通过计算即可得出所求角的正切的取值范围．【解答】解：由题意，动点满足，与底面所成的角相等．底面，连接，，可得，又，可得，以原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则．，，则，整理得，令，解得或3，令，解得，即此圆底面内（包括边界）交于一段弧，弧的端点分别为距近的线段的三等分点及上距点距离为处，设此两点分别是，，如图：根据图形可知，当点与点重合时，直线与底面的所成角最小，当点与点重合时，直线与底面的所成角最大，在直角三角形中，可得，，故，即，整理得，即的取值范围是，故答案为：．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，圆的方程，考查了转化的思想，培养构造情景解题的能力，涉及到的知识点多，综合性强，较难．8．如图，，平面外有一点，，点到角的两边，的距离都等于，则与平面所成角的正切值为　　．【分析】根据题设条件作辅助线面于点，连接，，，得出即与平面所成角，然后求出两个直角边的长度，即可得出线面角的正切值．【解答】解：由题意，过点做面于点，连接，，，则即与平面所成角，点到角的两边，的距离，都等于由面可得，又到角的边的距离，可得，面，所以，同理可证得，又由题设条件可得，从而可得，故是角平分线，在中，，，由公股定理得，在中，，所以又，解得，在中，由公股定理解得，，故答案为．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，解答的关键是作出线面角，然后根据题设条件解出线面角所在直角三角形的两边的长度，从而通过三角函数的定义求出线面角的正切值，本题属于疑难题．9．如图，三棱锥中，，，，，，．点在棱上且，则直线与平面所成的角是 　　．【分析】由已知结合勾股定理可得与垂直，把底面补形为矩形，连接，证明底面，找出与底面所成角，求解三角形得答案．【解答】解：由，，，可得，，，，，即，把底面补形为矩形，连接，由，，，得平面，平面，则，，，，，在中，由，，得，则，即，可得平面，在平面中，过作，则平面，连接，则为直线与平面所成的角．，且，，，，得直线与平面所成的角是．故答案为：．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，构造底面矩形是关键，难度较大．三．解答题（共3小题）10．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出的值；若不存在，请说明理由．已知等腰三角和正方形，_____，，平面平面，是否存在点，满足，使直线与平面所成角为？【分析】本题考查线面角的位置关系，借助空间直角坐标系来求解，根据①②③不同的条件得到不同的等量关系，同时用表示了点的坐标来求得线面角满足各个条件，看是否存在，来求解．【解答】解：若选①，则三角形为等边三角形，取的中点，连接，则，又平面平面，平面平面，所以平面，以为原点，直线为轴，直线为轴，建立如下直角坐标系，则，0，，，1，，，1，，，0，，，，，，0，，，，设是平面的一个法向量，则，令，得，是平面的一个法向量，由直线与平面所成的角为，得，即，，解得，存在点与重合，即时满足条件，或点为中点，即时满足条件；若选2，则三角形为等腰直角三角形，取的中点，连接，则，又平面平面，平面平面，所以平面，以为原点，直线为轴，直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，，1，，，0，，，设是平面的一个法向量，则，令，则，，是平面的一个法向量，由直线与平面所成的角为，得，即，，△，所以方程无解，即不存在，满足，使直线与平面所成的角为，若选3，则，过点点作，垂足为，又平面平面，平面平面，所以平面，以为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设是平面的一个法向量，则，令，得，，是平面的一个法向量，由直线与平面所成的角为，得，即，，△，方程无解，即不存在，满足，使直线与面所成角为．【点评】本题主要考查利用空间问量法求线面角问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题．11．如图，将边长为4的等边三角形沿与边平行的直线折起，使得平面平面，为的中点．（1）求平面与平面所成角的余弦值；（2）若平面，试求折痕的长；（3）当点到平面距离最大时，求折痕的长．【分析】（1）取的中点，连接，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可；（2）由线面垂直的性质可得，，即则，利用向量垂直的坐标表示，列式求解，求出的值，即可得到答案．（3）由点到面的距离公式求出点到面的距离为，再用均值不等式求出其取最大值时的值即可．【解答】解：（1）取的中点，连接，由题意可知，四边形是等腰梯形，则，由已知可得，平面，平面，则，以点为坐标原点建立空间直角坐系如图所示，设，则，0，，，0，，，0，，，，，，，，所以，0，，，，，设平面的法向量为，，，则，即，令，则，，故，，，又平面的一个法向量为，1，，所以，由图形可知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为；（2）因为平面，且平面，所以，即，因为，，，，，，则，又，解得，所以．（3）设平面的一个法向量为，又，，，，，，，即，，，，0，，点到平面的距离为，，当且仅当，即时取等号，所以．故答案为：（1）；（2）；（3）．【点评】本题考查了二面角的求解以及空间线段的求解，涉及了线面垂直的性质的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于难题．12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，，，为棱的中点，为棱上一点，，连接，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，连接，判断四面体是否为鳖臑、若是，写出其每个面的直角；若不是，写出其不是直角三角形的面；（Ⅲ）延长，交于点，连接，若二面角的大小为，求．【分析】（Ⅰ）根据题意，利用线面垂直的性质与判断定理即可平面；（Ⅱ）利用线面垂直的性质定理，可得．因此可得平面，根据鳖臑的定义，即可判断四面体是鳖臑，并写出每个面的直角．（Ⅲ）建系，写坐标，分别求得平面和的法向量，根据夹角公式，即可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为底面，所以，由地面为长方形，有，而，所以平面．而平面，所以，又，点是的中点，所以．而，所以平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，而平面，所以．又，，所以平面．由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为，，，．（Ⅲ）由题意可知，以为坐标原点，射线，射线，射线分别为，，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设，则，由题意可知，二面角即为平面与平面所成的角，则，0，，，，2，，，0，，，1，，设，，，，则，所以，即，则，，设平面的法向量，则，即，令，则，所以，又平面的法向量为，因此，，整理得，解得，所以．【点评】本题考查立体几何中线面垂直的判定与性质定理，考查空间向量求二面角，考查转化思想，计算能力，属于中档题．