人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理随堂练习题

人教A版（2019）选择性必修第一册 1.2 空间向量基本定理 同步练习

一、单选题

1．下列说法正确的是（       ）

A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底

B．空间的基底有且仅有一个

C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底

D．基底中基向量与基底基向量对应相等

2．在空间四边形中，连接，若是正三角形，且E为其重心，则的化简结果是（       ）

A． B． C． D．

3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且则m，n的值分别为(　　)

A．，－ B．－，－ C．－， D．，

4．若＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5．已知三棱锥中，点为棱的中点，点为的重心，设，，，则向量（       ）

A． B．

C． D．

6．已知非零向量，，且、、不共面．若，则（       ）．

A．

B．

C．

D．

7．在三棱柱中，是四边形的中心，，，，则（       ）

A． B．

C． D．

8．已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（       ）

A． B． C． D．

9．已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，，则的值为（       ）

A． B． C． D．

10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（       ）

A． B． C． D．

11．如图，在三棱锥中，，，，、分别为棱、的中点，则（       ）

A． B．

C． D．

12．已知空间三点坐标分别为，，，点在平面ABC内，则实数x的值为（       ）

A．1 B． C．0 D．

13．下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（       ）

A． B．

C． D．

14．如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，若G是的中点，，，则三棱锥的外接球的表面积是（       ）

A．6π B．10π C．8π D．12π

15．已知空间四点，，，共面，则的值为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

16．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底{}表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为____．

17．化学中，将构成粒子（原子、离子或分子）在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞（其中原子位于晶胞的中心，原子均在顶点位置，原子位于棱的中点）.则图中原子连线与所成角的余弦值为______________

18．已知，.若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________.

三、解答题

19．如图所示，已知斜三棱柱，点，分别在和上，且满足，，判断向量是否与向量，共面．

20．如图，已知是四棱柱，底面是正方形，，且，设.

（1）试用表示；

（2）已知为对角线的中点，求的长.

21．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD.

（1）求证：EF⊥B1C；

（2）求EF与C1G所成角的余弦值.

22．如图，在平行六面体中，AB＝4，AD＝3，，∠BAD＝90°，，且点F为与的交点，点E在线段上，有．

（1）求的长；

（2）将用基向量来进行表示．设xyz，求x，y，z的值．

参考答案：

1．C

根据空间向量基本定理判断选项可解.

【详解】

项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以错.

项，空间基底有无数个, 所以错.

项中因为基底不唯一，所以错.

故选.

【点睛】

本题考查空间向量基本定理.

如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组使得

2．C

取的中点F，可知，又，再利用空间向量的加法、减法的几何意义即可求解.

【详解】

如图所示，取的中点F，则，

又E为正三角形的重心，即上靠近F的三等分点，

所以，

则

.

故选：C

【点睛】

本题考查空间向量的加法、减法的几何意义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

3．A

直接利用向量的线性运算化简得,比较系数得.

【详解】

由于，

所以.

故选：A

【点睛】

本题主要考查向量的线性运算和空间向量的基本定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

4．A

结合空间向量共线定理，直接利用充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】

解析：设，则=k，即，即“”可推出“”；

又若＝时，＝(0，0，0)，虽有成立，但条件显然不成立，

所以“”推不出“”，故“”是“”充分不必要条件.

故选：A．

5．A

作出图形，利用重心的性质可得出关于、、的表达式，再由可得结果.

【详解】

连接并延长交于点，连接，则为的中点，且，

，

，

为的中点，.

故选：A.

6．B

先由向量平行，得到，利用系数对应相等构建关系，即求得x，y，即得结果.

【详解】

且，∴，即，

又、、不共面，∴，解得，，.

故选：B.

7．C

由向量线性运算依次推导即可得到结果.

【详解】

是四边形的中心，为中点，

.

故选：C.

8．C

【详解】

设向量在基底下的坐标为，

则，

所以解得

故在基底下的坐标为.

故选：C.

【点睛】

本题解题的关键是设向量在基底下的坐标为，进而根据向量相等列方程求解，考查运算求解能力，是基础题.

9．B

将、用、、加以表示，利用空间向量的减法法则可得出关于、、的表达式，由此可求得的值.

【详解】

因为平面，且四边形为矩形，故、、为空间向量的一个基底，

，故，

，则，

因此，，

所以，，，，所以，.

故选：B.

10．A

用表示出，计算，开方得出AO的长度.

【详解】

因为四边形是平行四边形，

,

,

,

,

，

即.

故选：A

11．D

连接，利用空间向量的加法和减法法则可将用、、加以表示.

【详解】

连接，如下图所示：

，

因此，.

故选：D.

12．A

先由点的坐标确定三个向量，，，再根据三点在平面ABC内，则有成立求解.

【详解】

因为，，，

所以，，

因为空间三点坐标分别为，，，点在平面ABC内

所以设，

则有.

解得

故选：A

【点睛】

本题主要考查了四点共面问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

13．C

根据平面向量基本定理及空间中四点共面的充要条件，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】

对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即共面，

所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底；

对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误；

同理选项D中，共面，故D错误.

故选：C

14．C

利用已知结合数量积的运算求解，可得为直角三角形，再由为直角三角形，可知为三棱锥的外接球的直径，再由球的表面积公式得答案．

【详解】

解：，，

，

又、、两两相互垂直，

，即，

，，

，则为直角三角形，

又为直角三角形，为三棱锥的外接球的直径，

则三棱锥的外接球的表面积．

故选：C．

15．D

求得、、的坐标，根据题意可知存在实数、，使得，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，进而可求得实数的值.

【详解】

依题意得，，，

、、、四点共面，、、共面，

存在实数、，使得，

即，所以，解得.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用空间向量法处理四点共面的问题，考查计算能力，属于中等题.

16．x=，y=，z=．

利用向量的加法公式得出=+=+，再用表示出，即可求出x，y，z的值.

【详解】

∵=+=+=+

+=

∴x=，y=，z=．

故答案为：x=，y=，z=．

17．

如图所示，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，设立方体的棱长为，求出的值，即可得到答案；

【详解】

如图所示，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，设立方体的棱长为，则，

，，

，

连线与所成角的余弦值为

故答案为：

18．

由，，根据与的夹角为钝角，由且求解.

【详解】

因为，，

所以，

因为与的夹角为钝角，

所以且，

由，得，

所以.

若与的夹角为，则存在，使，

即，

所以，

解得，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

19．向量与向量，共面．

由，再分别将，表示为，，最后用共面向量定理可判断.

【详解】

．

，

，

由共面向量定理知向量与向量，共面．

20．（1）；（2）.

（1）由可表示出来；

（2）由可计算出.

【详解】

（1）

；

（2）由题意知，

，

，

，

.

【点睛】

本题考查空间向量的线性运算，考查利用向量计算长度，属于基础题.

21．（1）证明见解析；（2）.

如图建立空间直角坐标系，（1）利用空间向量证明，（2）利用空间向量求解

【详解】

以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz.

则E（），，

（1）∵，，

∵，

（2）由（1）知，

∴，

，

，

设EF与C1G所成角为，则

故EF与C1G所成角的余弦值为

22．（1）；（2）．

（1），利用数量积运算性质即可得出．

（2），再利用平行六面体、空间向量基本定理即可得出．

【详解】

（1），

85，

∴．

（2）

，

∴．