人教A版 (2019)1.4 空间向量的应用课时作业

这是一份人教A版 (2019)1.4 空间向量的应用课时作业，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共13小题；共65分）
1. 若 A−1,0,1，B1,4,7，在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为
A. 1,2,3B. 1,3,2C. 2,1,3D. 3,2,1

2. 如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，以 D 为原点建立空间直角坐标系，E 为 BB1 的中点，F 为 A1D1 的中点，则下列向量中，能作为平面 AEF 的法向量的是
A. 1,−2,4B. −4,1,−2
C. 2,−2,1D. 1,2,−2

3. 设 x∈R，则“∣x∣−1>2x”是“1x+1≤0”的
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件

4. 若直线 l∥α，且 l 的方向向量为 2,m,1，平面 α 的法向量为 1,12,2，则 m 的值为
A. −4B. −6C. −8D. 8

5. 设 A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件 AM⋅n=0 的点 M 构成的图形是
A. 圆B. 直线C. 平面D. 线段

6. 直线 l1，l2 的方向向量分别为 a=1,−3,−1，b=8,2,2，则
A. l1⊥l2B. l1∥l2
C. l1 与 l2 相交不平行D. l1 与 l2 重合

7. 下面命题中，正确命题的个数为
① 若 n1，n2 分别是平面 α，β 的法向量，则 n1∥n2⇔α∥β；
② 若 n1，n2 分别是平面 α，β 的法向量，则 α⊥β⇔n1⋅n2=0；
③ 若 n 是平面 α 的法向量且与 a 共面，则 n⋅a=0；
④ 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
A. 1B. 2C. 3D. 4

8. 如图，在空间直角坐标系中，ABCD−A1B1C1D1 为单位正方体，给出下列结论：
①直线 DD1 的一个方向向量为 0,0,1；
②直线 BC1 的一个方向向量为 0,1,1；
③平面 ABB1A1 的一个法向量为 0,1,0；
④平面 B1CD 的一个法向量为 1,1,1．
其中正确结论的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

9. 已知直线 l 过点 P1,0,−1，平行于向量 a=2,1,1，平面 α 过直线 l 与点 M1,2,3，则平面 α 的法向量不可能是
A. 1,−4,2B. 14,−1,12
C. −14,1,−12D. 0,−1,1

10. 已知平面 α 经过点 A−3,5,1，B2,1,4，且垂直于法向量为 n=1,−2,3 的另一平面，则平面 α 的一个法向量为
A. 2,1,2B. 1,2,1C. 4,1,4D. 0,2,0

11. 若直线 l 的方向向量为 u=1,1,2，平面 α 的法向量为 n=−3,−3,−6，则
A. l∥αB. l⊥αC. l⊂αD. l 与 α 与斜交

12. 如图，在正四面体 P−ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是
A. BC∥平面PDFB. DF⊥平面PAE
C. 平面PDF⊥平面ABCD. 平面PAE⊥平面ABC

13. 已知平面 α 内有一点 M1,−1,2，平面 α 的一个法向量为 n=6,−3,6，则下列点 P 中，在平面 α 内的是
A. P2,3,3B. P−2,0,1C. P−4,4,0D. P3,−3,4

二、填空题（共7小题；共36分）
14. 若直线 l1，l2 的方向向量分别为 a=−1,2,−2，b=2,3,2，则 l1，l2 的位置关系是 ．

15. 在平面内若一直线 l 垂直于 x 轴，则 l 的单位方向向量可表示为 0,1．在空间中若一直线 l 垂直于平面 xOy，则 l 的单位方向向量可表示为 ．

16. 已知 AB=2,2,1，AC=4,5,3，则平面 ABC 的单位法向量为 ．

17. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）直线的方向向量是唯一确定的．（ ）
（2）平面的单位法向量是唯一确定的．（ ）
（3）若两平面的法向量平行，则两平面平行．（ ）
（4）若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．（ ）
（5）若 a∥b，则 a 所在直线与 b 所在直线平行．（ ）
（6）若空间向量 a 平行于平面 α，则 a 所在直线与平面 α 平行．（ ）

18. 若 A0,2,198，B1,−1,58，C−2,1,58 是平面 α 内的三点，设平面 α 的法向量 a=x,y,z，则 x:y:z= ．

19. 已知直线 a+2x+1−ay−3=0 的方向向量是直线 a−1x+2a+3y+2=0 的法向量，则实数 a 的值为 ．

20. 平面 α 的一个法向量 n=0,1,−1，如果 直线l⊥平面α，则直线 l 的单位方向向量是 s= ．

三、解答题（共5小题；共65分）
21. 已知平面 α 的一个法向量 n1=5,1,−2，平面 β 垂直于平面 α，且通过一条坐标轴，求平面 β 的一个法向量．

22. 已知正方体 ABCD−A′B′C′D′ 的棱长为 a，试建立合适的空间直角坐标系，写出下列直线的一个方向向量：
（1）AA′，AB，BC；
（2）B′A，B′C，B′D′；
（3）A′C，DB′．

23. 已知平面 α 经过点 A3,−5,1 和 B4,1,2，且垂直于法向量为 n=1,−8,3 的另一个平面，求平面 α 的一个法向量．

24. 已知长方体 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 的上、下底面都是边长为 3 的正方形，长方体的高为 4．如图建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量．
（1）ABʹ．
（2）BBʹ．
（3）BʹD．
（4）CBʹ．

25. 1.已知正方体 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 的棱长为 a，试建立合适的空间直角坐标系，写出下列平面的一个法向量：
（1）平面 ABBʹAʹ，平面 BBʹCʹC；
（2）平面 ABCʹDʹ，平面 BBʹDʹD；
（3）平面 AʹCʹD，平面 BʹAC．
答案
第一部分
1. A
【解析】AB=2,4,6，与 AB 共线的非零向量都可以作为直线 l 的方向向量，故选A．
2. B【解析】设正方体的棱长为 2，则 A2,0,0，E2,2,1，F1,0,2．
所以 AE=0,2,1，AF=−1,0,2．设向量 n=x,y,z 是平面 AEF 的法向量，则 n⋅AE=2y+z=0,n⋅AF=−x+2z=0, 取 y=1，得 x=−4，z=−2，
则 n=−4,1,−2 是平面 AEF 的一个法向量．
3. A
【解析】当 x>0 时，由 ∣x∣−1>2x 得 x−1>2x，得 x2x 得 −x−1>2x，得 x