数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算精练

这是一份数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算精练，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教A版（2019）选择性必修第一册 1.1 空间向量及其运算 同步练习 一、单选题1．已知向量 ， 如果 ，那么 等于（       ）A． B．1 C． D．52．下列结论错误的是（       ）.A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C．若､是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底D．若､､不能构成空间的一个基底，则､､､四点共面3．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（       ）A． B．C． D．4．正六棱柱中，设，，，那么等于（       ）A． B． C． D．5．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，则的值为（       ）A．1 B．0 C．-1 D．-26．在空间四边形中，连接，若是正三角形，且E为其重心，则的化简结果是（       ）A． B． C． D．7．在棱长为1的正方体中，若点E是线段AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足，则线段AM的长的最小值为（       ）A． B． C．1 D．8．在三棱锥中，，N为中点，则（       ）A． B． C． D．9．如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（       ）A． B．C． D．10．如图，在平行六面体中，，，则（       ）A．1 B． C．9 D．311．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（       ）A．线段的三等分点，且靠近点 B．线段的中点C．线段的三等分点，且靠近点 D．线段的四等分点，且靠近点12．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（       ）A． B． C． D．13．已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．14．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）所有棱长都为1，且则（       ）A． B． C． D．15．正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（       ）A． B． C． D．二、填空题16．若，则直线与平面的位置关系为____．17．在平行六面体中，设，，，用、、作为基底向量表示________．18．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交，，于点，，，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，，则的值为___________.三、解答题19．如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.（1）－（2）＋＋20．如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量；（1）；             （2）；（3）．21．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为．（1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；（2）设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．22．已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出点的坐标；（2）求线段的长度；（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．
参考答案：1．B  利用空间向量共线的条件求解即可【详解】， ，，故选：B2．C  根据空间向量基本定理：空间中任意三个不共面的非零向量，都可以作为空间的一个基底，根据此定理判断即可..【详解】A选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A正确；B选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B正确；C选项，∵ 满足，∴，，共面，不能构成基底，故C错误，D选项，因为､､共起点，若，，，四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D正确，故选C.3．D  利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】由题意可得 .故选：D        4．B  依据正六棱柱的结构特征并利用向量加减法的几何意义去求.【详解】正六棱柱中，故选：B5．B  由正方体的性质可知两两垂直，从而对化简可得答案【详解】由题意可得,所以，所以，所以，故选：B6．C  取的中点F，可知，又，再利用空间向量的加法、减法的几何意义即可求解.【详解】如图所示，取的中点F，则，又E为正三角形的重心，即上靠近F的三等分点，所以，则 .故选：C 本题考查空间向量的加法、减法的几何意义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.7．B  以点为原点建立空间直角坐标系，由可得点的轨迹方程，从而由平面知识即可求出线段AM的长的最小值．【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，，所以，由可得，即，所以线段AM的长的最小值为．故选：B．8．B  连接，得， ，所以可得答案.【详解】连接，所以，因为，所以，所以.故选：B.9．D  利用空间向量的线性运算、三角形的中位线及线段中点的向量表示进行化简求解.【详解】如图，连接，因为点，分别是，的中点，所以.因为点是的中点，所以.因为点是的中点，所以，则.故选：D. 10．D  根据图形，利用向量的加法法则得到，再利用求的模长.【详解】在平行六面体中，有，，由题知，，，，，所以，，与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，所以.所以.故选：D.11．B 将问题转化为动点到直线的距离最小时，确定点的位置，建立空间直角坐标系，取的中点，通过坐标运算可知，即是动点到直线的距离，再由空间两点间的距离公式求出后，利用二次函数配方可解决问题.【详解】设正方体的棱长为1，以 为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，的中点，，，则，设，，由与共线，可得，所以，所以，其中，因为，，所以，所以，即是动点到直线的距离，由空间两点间的距离公式可得，所以当时，取得最小值，此时为线段的中点，由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点.故选：B 本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.12．C  将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.【详解】设与的夹角为．由，得，两边平方，得，所以，解得，又，所以，故选：C．13．B  利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解【详解】设正方体内切球的球心为，则,,因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，，所以，又点Р在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；所以，所以的取值范围为，故选：B14．C 由平方，根据向量的数量积运算法则及性质可求出.【详解】如图：由,,故选：C 本题主要考查了向量的加法法则、向量数量积运算性质、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．A  根据正四面体的体积可求出内切球的半径，取的中点为，，可得当的长度最小时，取得最小值，求出球心到点的距离，可得点到的距离为.【详解】因为四面体是棱长为1的正四面体，所以其体积为.设正四面体内切球的半径为，则，得.如图，取的中点为，则.显然，当的长度最小时，取得最小值.设正四面体内切球的球心为，可求得.因为球心到点的距离，所以球上的点到点的最小距离为，即当取得最小值时，点到的距离为.故选：A. 关键点睛：本题考查几何体的内切球问题，解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的半径，得出点到的距离为球心到点的距离减去半径.16．平面或平面  由题设，结合共面向量定理即有向量与向量、共面，再由空间向量的可平移性即可知直线与平面的位置关系【详解】由及共面向量定理可知：向量与向量、共面即直线可能在平面内，也可能和平面平行故答案为：平面或平面 本题考查了共面向量定理，注意共面向量定理中向量的可平移性，即向量位置不定性：它们可平移到一个平面内17．  根据空间图形，根据向量加，减法的规则计算结果.【详解】有图形可知 .故答案为：18．  解法一：以AC、BD交点O为原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴正方向构建空间直角坐标系，设，，，，，进而写出、、、坐标，可得，，由四点共面有，设，求值即可.解法二：利用平面的性质作出点G的位置，再由平面几何的知识即可得解.【详解】解法一：建立如图所示空间直角坐标系，设，，，， (a、b均不为0)，则，，，，∴，，由题意四点共面，有，其中，设，∴由方程组，即，解得：.故答案为：.解法二：连接AC,BD交于点O，则O是底面的中心，连接PO，PO垂直于底面ABCD，连接AF，交PO于H，可得H为PO的三等分点（靠近O）,连接EH并延长，与PD的交点即为G，在平面内作出三角形PBD，作,垂足分别为S，T，如图，由题意，,所以，，设，则，又由三角形相似得，,所以，解得：.解得：故答案为：. 关键点点睛：构建空间直角坐标系，利用四点共面有且，再设，应用空间向量线性关系的坐标表示，列方程组求参数.19．， ，图象见解析  （1）将向量平移到同一个平面，再利用平行四边形法则即可计算出结果.（2）直接利用平行四边形法则计算出＋＝，再利用三角形法则，即可计算出结果.【详解】（1）－＝－＝＋＝.（2）＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如图所示. 本题考查空间向量的运算，属于基础题.熟练掌握三角形法则与平行四边形法则是解本题的基础.20．（1）；（2）；（3）  根据空间向量的线性运算法则计算即可.【详解】（1）；（2）；（3）.21．（1）证明见解析；（2）2.  （1）由于，，由BB1⊥平面ABC，△ABC为正三角形，得到，．从而（）（）＝0，由此能证明AB1⊥BC1．（2）可推导出1．||＝||，从而cos，，由此能求出侧棱长．【详解】（1）证明：，．因为BB1⊥平面ABC，所以0，0．又△ABC为正三角形，所以，π，π．因为（）（）• ＝||||•cos，1+1＝0，所以AB1⊥BC1．（2）由（1）知||•||•cos，1．又||||，所以cos，，所以||＝2，即侧棱长为2．22．（1）；（2）；（3）不垂直，理由见解析.  （1）根据长方体的长，宽，高，结合中点坐标公式，即可得出点的坐标；（2）根据空间中两点的距离公式求解即可；（3）由空间中向量的数量积公式，证明即可.【详解】（1）由于为坐标原点，所以由得：点N是AB的中点，点M是的中点，；（2）由两点距离公式得：，；（3）直线与直线不垂直理由：由（1）中各点坐标得：与不垂直，所以直线与直线不垂直 本题主要考查了空间向量的坐标表示，求空间中两点间的距离，数量积的应用，属于中档题.