第八章立体几何初步单元测高中数学人教A版（2019）必修第二册

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第八章 立体几何初步
第八章 立体几何初步
一、单选题
1．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（    ）
A． B． C． D．4
2．若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形中的长度为（    ）

A． B． C．2 D．
3．如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．记图中圆柱的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．
C． D．
4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①如果，，，，那么；
②如果，，那么 ；
③如果，，，那么 ；
④如果，，，那么.
其中正确命题的个数有（   ）
A．4 个 B．3 个
C．2 个 D．1 个
5．梯形ABCD中，，∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝2，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB以l所在直线为轴旋转一周，则该旋转体的表面积为（    ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为所在棱的中点，则下列结论中正确的序号是（    ）

①三棱锥D1﹣EFG的体积为；②BD1∥平面EFG；③BD1∥EG；④AB1⊥EG.
A．③④ B．①②④ C．②③④ D．①③
7．直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（    ）
A． B． C． D．
8．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若平面AMN，则PA1的最小值是（    ）

A．1 B． C． D．
二、多选题
9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（    ）

A．直线与直线共面 B．直线与直线异面
C．直线与直线共面 D．直线与直线异面
10．高空走钢丝是杂技的一种，渊源于古代百戏的走索，演员手拿一根平衡杆，在一根两头拴住的钢丝上来回走动，并表演各种动作．在表演时，假定演员手中的平衡杆是笔直的，水平地面内一定存在直线与演员手中的平衡杆所在直线（    ）
A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行
11．在长方体中，O为与的交点，若，则（    ）
A．
B．
C．三棱锥的体积为
D．二面角的大小为
12．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（    ）

A．底面边长为6米 B．侧棱与底面所成角的余弦值为
C．侧面积为平方米 D．体积为立方米
三、填空题
13．如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为______．

14．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为___________
15．在正四面体ABCD中，E为BC的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为___________.
16．如图，在正方体中，E为的中点，F为正方体棱的中点，则满足条件直线平面的点F的个数是___________.

四、解答题
17．如图，四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点O，底面，点E是的中点．

(1)求证：∥平面；
(2)若三棱锥的体积为，求的长．
18．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，.

(1)若为侧棱的中点，求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
19．如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点．

(1)证明：平面平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
20．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

(1)求到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求线段BC的长度．
21．在等腰梯形（图1）中，，是底边上的两个点，且.将和分别沿折起，使点重合于点，得到四棱锥（图2）.已知分别是的中点.

(1)证明：平面.
(2)证明：平面.
(3)求二面角的正切值.
22．如图，垂直于⊙所在的平面，为⊙的直径，，，，，点为线段上一动点．

(1)证明：平面AEF⊥平面PBC；
(2)当点F与C点重合，求 PB与平面AEF所成角的正弦值．

一、单选题
23．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（    ）
A． B． C． D．
24．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
25．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ）
A． B． C． D．
26．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
27．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ）

A． B．
C． D．
28．已知正方体，则（    ）
A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为
三、填空题
29．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.
30．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
31．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.

四、解答题
32．如图，四面体中，，E为AC的中点．

(1)证明：平面平面ACD；
(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．




参考答案：
1．C
【分析】由扇形弧长公式求圆锥的母线长，再根据圆锥的母线、高和底面半径的关系求高.
【详解】因为底面半径，
所以母线长，
所以圆锥的高.
故选：C
2．B
【分析】过点作,垂足为，求出直观图中的长度即得解.
【详解】解：过点作,垂足为.
因为，，，；
，所以原四边形中的长度为2.
故选：B

3．B
【分析】根据已知条件得出球的直径恰好与圆柱的高相等，设球的半径为r，进而分别表示出圆柱的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，进而求出.
【详解】由已知条件，设球的半径为r，
可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，
则圆柱的表面积，
体积，
球表面积，
体积，
．
故选：B.
4．D
【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.
【详解】解：对于①如果，，，，那么或与相交，故①错误；
对于②如果，，由线面垂直的性质可知，故②正确；
对于③如果，，，那么或或与相交（不垂直）或与异面（不垂直），故③错误；
对于④如果，，，那么或与相交（不垂直），
当且仅当，，，，那么，故④错误.
故选：D
5．B
【分析】旋转体为圆柱去去掉一个圆锥，计算圆柱的高和圆锥的底面半径和母线长，分别计算各面的面积，得出表面积．
【详解】解：旋转体为圆柱去去掉一个圆锥，
过作于，则，
，，，
圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，圆柱和圆锥的高均为，圆锥的母线为，
几何体的表面积为．
故选：B.

6．B
【分析】利用等积法处理①，用面面平行得到线面平行处理②，用平行的传递性处理③，利用线面垂直得到线线垂直处理④.
【详解】对于①，由等体积法可得：，故正确；

对于②，连接，由面面平行的判定易得平面平面，由平面与平面平行的性质可得平面，故正确；
对于③，如下图，连接，取的中点，连接，则，
若，则，矛盾，故错误；

对于④，由题意，，，可得平面，又平面，可得，故正确．
故选：B．
7．A
【分析】将直三棱柱补全为正方体，根据正方体性质、线面垂直的判定可得面，由线面角的定义找到与平面所成角的平面角，进而求其大小.
【详解】由题意，将直三棱柱补全为如下图示的正方体，为上底面对角线交点，

所以，而面，面，故，
又，面，故面，
则与平面所成角为，若，
所以，，则，故.
故选：A
8．C
【分析】由平面，可以找到点在右侧面的运动轨迹，从而求出的最小值
【详解】
如图所示，取的中点,的中点，连接，
因为分别是棱 的中点，所以，，
又因为,,，
所以平面平面，平面，且点在右侧面，
所以点的轨迹是，且，，
所以当点位于中点处时，最小，
此时，.
故选：C
9．ACD
【分析】作出正方体的直观图，逐项判断可得出合适的选项.
【详解】如图，点与点重合，则与相交，故A正确；

在正方体中，且，故四边形为平行四边形，，
则、共面，故B错误；
因为，故、共面，故C正确；
由图可知，、不在同一个平面，且、既不平行也不相交，
、为异面直线，故D正确.
故选：ACD.
10．AC
【分析】对直线l与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线l垂直；平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交，根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面若直线与平面相交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面；理解判断．
【详解】根据题意可得：
对直线l与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线l垂直，A正确；
平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交
根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面
若直线与平面相交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面
C正确；B、D错误；
故选：AC．
11．BCD
【分析】由题意，根据长方体的结合性质，结合线面垂直判定定理以及二面角的平面角定义和三棱锥的体积公式，可得答案.
【详解】连接．因为，所以，
又易证平面，所以，所以，
所以为二面角的一个平面角．
在中，，
因为在中，，，所以，
所以二面角的大小为．．
故选：BCD．

12．AD
【分析】画出几何体的直观图，结合已知条件求得棱锥的底面边长，逐项求解，即可得到答案.
【详解】对A，如图所示，在正四棱锥中，为正方形的中心，且，设底面边长为，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为，
所以，则，
在直角中，可得，即，解得，
所以正四棱锥的底面边长为，所以A正确；
对B，因为平面，所以为侧棱与底面所成的角，
在直角中，可得，所以B错误；
对C，正四棱锥的侧面积为平方米，所以C错误；
对D，正四棱锥的体积为立方米，所以D正确.

故选：AD.
13．
【分析】根据题意画出该几何体的轴截面，如图，设是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，求出球的半径，从而可求出，进而可求得圆锥的侧面积.
【详解】其中，是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，

由题意可知，解得，
由于圆柱的高为2，，，，
母线，
∴圆锥的侧面积为．
故答案为：
14．
【分析】根据题意，得到为球的直径，求得的长，得到球的半径，进而求得球的体积，得到答案.
【详解】如图所示，取的中点，根据直角三角形的性质，可得，
所以为球的直径，且，
可得球的半径为，所以球的体积为.
故答案为：.

15．##
【分析】取BD的中点F，作出异面直线AE与CD所成的角，再利用三角形计算作答.
【详解】在正四面体ABCD中，取BD的中点F，连接，如图，设，

因E为BC的中点，则，，即有是异面直线AE与CD所成的角或其补角，
而，在等腰中，，
所以异面直线AE与CD所成角的余弦值为.
故答案为：
16．
【分析】为了得到直线平面，只需求得平面平面，即平面内的任意一条直线都与平面平行，进而求得点的个数.
【详解】
分别取的中点，
连接，
，
在正方体中，，，
四边形是平行四边形，
，，
又平面，平面，
平面，同理平面，
又，平面，平面，
平面平面，
平面内的任意一条直线都与平面平行，
则满足条件直线平面的点可以是的任何一个，
点F的个数是个.
故答案为：.
17．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由中位线证得，即可证得∥平面；
（2）取中点F，证得平面，再由结合棱锥的体积公式即可求解.
【详解】（1）证明：连接．

∵点O，E分别为的中点，∴，∵平面平面，∴∥平面；
（2）取中点F，连接．

∵E为中点，∴为的中位线，∴，且．由菱形的性质知，为边长为2的等边三角形．
又平面，∴平面，，点E是的中点，
∴，∴．
18．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）取的中点，通过，即可证明平面；
（2）利用等积法，即求解即可
【详解】（1）取的中点，连接，，
在中，，
在梯形中，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
而平面，平面，
∴平面；

（2）∵，，而
∴平面，
即为三棱锥的高，
因为，，
所以，
又，
所以
19．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）证明出平面，平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）分析可知异面直线与所成角为或其补角，计算出的三边边长，利用余弦定理可求得结果.
【详解】（1）证明：连接，

因为四边形为平行四边形，则且，
、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，则且，
因为且，且，故四边形为平行四边形，
所以，，平面，平面，平面，
同理可证且，所以，四边形为平行四边形，
所以，，平面，平面，平面，
，所以，平面平面.
（2）解：，所以，异面直线与所成角为或其补角，
在中，，，
由余弦定理可得，
所以，异面直线与所成角的余弦值为.
20．(1)到平面的距离为
(2)线段BC的长为2

【分析】（1）利用体积法可求点到平面的距离；
（2）利用面面垂直，线面垂直得线线垂直，最后利用的面积为即可求得线段BC的长．
【详解】（1）解：由直三棱柱的体积为4，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得．
即到平面的距离为；
（2）解：连接交于点

由直三棱柱，
故四边形为正方形，，
又平面平面，平面平面，
平面，，
由直三棱柱知平面，
，又，
平面，，
，，又，
解得，
则线段BC的长为2.
21．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).

【分析】（1）由题可得四边形是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即得；
（2）利用线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；
（3）过点作，由题可得是二面角的平面角，结合条件即得.
【详解】（1）由题意可得，在等腰梯形中，，
在中，因为，
所以，四边形为正方形.
在四棱锥中，连接，因为分别是的中点，

所以，且，
在正方形中，因为是的中点，
所以，且，
所以，且，
∴四边形是平行四边形，，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）知，在中，，因为为的中点，
所以，
在等腰梯形中，，
所以在四棱锥中，，
因为， 平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面；
（3）在中，过点作，垂足为，连接，
由（2）知平面，平面，
所以，
因为，平面，平面，
所以平面，平面，
∴，
故是二面角的平面角，
由（1）知，在四棱锥中，，
设，则，
在中，，
所以，
在中，，
故二面角的正切值为.
22．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由垂直于⊙所在的平面，可得，再由圆的性质可得，则由线面垂直的判定可得平面，则，从而平面，进而由面面垂直的判定可证得结论，
（2）过点作∥交于点，则，设点到平面的距离为，利用可求出，然后由可求得结果.
【详解】（1）证明：因为垂直于⊙所在的平面，即平面，平面，
所以，
又为⊙的直径，所以，
因为，所以平面，
又平面，所以，
因为，
所以平面，
又平面，    
所以平面平面．
（2）因为，，所以，
又，所以，
由，得,

如图，过点作∥交于点，则，可得，
又，所以，
所以，
设点到平面的距离为，
由，可得，
所以
解得，
所以当点移动到点时，与平面所成角的正弦值为
．
23．C
【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．

故选：C．

24．A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．


25．C
【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，
所以，
又，
则，
所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以.
故选：C.

26．C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,

[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是

27．CD
【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.
【详解】
设，因为平面，，则，
，连接交于点，连接，易得，
又平面，平面，则，又，平面，则平面，
又，过作于，易得四边形为矩形，则，
则，，
，则，，，
则，则，，，故A、B错误；C、D正确.
故选：CD.

28．ABD
【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.
【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，
因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；

连接，因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
又平面，所以，故B正确；
连接，设，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
设正方体棱长为，则，，，
所以，直线与平面所成的角为，故C错误；
因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.
故选：ABD
29．
【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.
【详解】∵
∴
∴
∴.
故答案为：.

30．.
【分析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.
【详解】如图：

取的中点为，的中点为，的中点为，
因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，
又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，
因为，所以侧面，
设为侧面与球面的交线上的点，则，
因为球的半径为，，所以，
所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，
因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，
因为，所以，
所以根据弧长公式可得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.
31．
【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.
【详解】正六棱柱体积为
圆柱体积为
所求几何体体积为
故答案为：
【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.
32．(1)证明详见解析
(2)
【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.
（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积.
【详解】（1）由于，是的中点，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）[方法一]：判别几何关系
依题意，，三角形是等边三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以当最短时，三角形的面积最小
过作，垂足为，
在中，，解得，
所以，
所以
过作，垂足为，则，所以平面，且，
所以，
所以.

[方法二]：等体积转换
，，
是边长为2的等边三角形，

连接