北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定教案设计

这是一份北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定教案设计，共8页。教案主要包含了cm2等内容，欢迎下载使用。

1．1 菱形的性质与判定


第1课时 菱形的性质





1．经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系．


2．体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力．(重难点)





阅读教材P2～4，完成下列问题：


(一)知识探究


1．有一组________________的平行四边形叫做菱形．


2．菱形具有________________的一切性质．


3．菱形是________图形，它的____________________就是它的对称轴．它有________对称轴，两条对称轴互相垂直．


4．菱形的四条边都相等．


5．菱形的两条对角线________，并且每一条对角线平分一组________．


(二)自学反馈


如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.


(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？


(2)有哪些特殊的三角形？








活动1 小组讨论


例1 已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.


求证：(1)AB＝BC＝CD＝AD；


(2)AC⊥BD.





证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，


∴AB＝CD，AD＝BC(菱形的对边相等)．


又∵AB＝AD，


∴AB＝BC＝CD＝AD.


(2)∵AB＝AD，


∴△ABD是等腰三角形．


又∵四边形ABCD是菱形，


∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分)．


在等腰三角形ABD中，


∵OB＝OD，


∴AO⊥BD，


即AC⊥BD.











例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．





解：∵四边形ABCD是菱形，


∴AB＝AD(菱形的四条边都相等)，


AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，


OB＝OD＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×6＝3(菱形的对角线互相平分)．


在等腰三角形ABD中，


∵∠BAD＝60°，


∴△ABD是等边三角形．


∴AB＝BD＝6.


在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2.


∴OA＝eq \r(AB2－OB2)＝eq \r(62－32)＝3eq \r(3).


∴AC＝2OA＝6eq \r(3).


此题由菱形的性质可知AB＝AD，结合∠BAD＝60°，即可得到△ABD是等边三角形，从而可求AB的长度．再根据菱形的对角线互相垂直，可以得到直角三角形，通过勾股定理可求AO，继而求出AC.


活动2 跟踪训练


1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )


A．AB∥DC B．AC＝BD


C．AC⊥BD D．OA＝OC





2．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形的边长为( )


A．5 B．10


C．6 D．8





3．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为( )


A．3 cm2 B．4 cm2


C.eq \r(3) cm2 D．2eq \r(3) cm2


4．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于________．





5．如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上任意一点，连接AE、CE，请找出图中一对全等三角形为________________．





6．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC交BC的延长线于点E.求证：DE＝eq \f(1,2)BE.





活动3 课堂小结


1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．


2．菱形的四条边相等．


3．菱形的对角线互相垂直．








【预习导学】


(一)知识探究


1．邻边相等 2.平行四边形 3.轴对称 对角线所在的直线 两条 5.互相垂直 对角





(二)自学反馈


(1)相等的线段：AB＝CD＝AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD.


相等的角：∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠CDA，∠AOB＝∠DOC＝∠AOD＝∠BOC＝90°，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠5＝∠6＝∠7＝∠8.(2)等腰三角形：△ABC、△DBC、△ACD、△ABD，


直角三角形：Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA.


【合作探究】


活动2 跟踪训练


1．B 2.A 3.D 4.5 5.△ABD≌△CBD或△ADE≌△CDE或△ABE≌△CBE 6.证明：∵ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA.又∵∠ABC＝60°，∴BC＝AC＝AD.∵DE∥AC，∴四边形ACED为平行四边形．∴CE＝AD＝BC，DE＝AC.∴DE＝CE＝BC.∴DE＝eq \f(1,2)BE.





第2课时 菱形的判定





1．理解并掌握菱形的定义及其两个判定方法．(重点)


2．会用这些判定方法进行有关的论证和计算．(难点)





阅读教材P5～7，完成下列问题．


(一)知识探究


1．有一组________的平行四边形是菱形．


2．对角线________的平行四边形是菱形．


3．________的四边形是菱形．


(二)自学反馈


判断下列说法是否正确：


(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；( )


(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；( )


(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；( )


(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．( )





活动1 小组讨论


例1 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD.求证：▱ABCD是菱形．








证明：∵四边形ABCD是平行四边形，


∴OA＝OC.


又∵AC⊥BD，


∴BD是线段AC的垂直平分线．


∴BA＝BC.


∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)．


有一组邻边相等的四边形是菱形．


例2 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝eq \r(5)，OA＝2，OB＝1.求证：▱ABCD是菱形．





证明：在△AOB中，∵AB＝eq \r(5)，OA＝2，OB＝1，


∴AB2＝AO2＋OB2.


∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．


∴AC⊥BD.


∴▱ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．


对角线互相垂直的平行四边形是菱形．


活动2 跟踪训练


1．如图，在▱ABCD中，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是( )


A．AB＝BC B．AC⊥BD


C．BD平分∠ABC D．AC＝BD





2．如图，已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是( )


A．AD平分∠BAC B．AB＝AC，且BD＝CD


C．AD为中线 D．EF⊥AD





3．将一张矩形纸片对折，如图所示，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形( )





A．三角形 B．不规则的四边形


C．菱形 D．一般平行四边形


4．如图所示，在▱ABCD中，AC⊥BD，E为AB中点，若OE＝3，则▱ABCD的周长是________．





5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE＝DF.求证：


(1)△ADE≌△CDF；


(2)四边形ABCD是菱形．





活动3 课堂小结


菱形常用的判定方法：


1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．


2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．


3．有四条边相等的四边形是菱形．








【预习导学】


(一)知识探究


1．邻边相等 2.互相垂直 3.四边相等


(二)自学反馈


(1)× (2)√ (3)× (4)×


【合作探究】


活动2 跟踪训练


1．D 2.C 3.C 4.24


5．证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C.∵在△AED和△CFD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠AED＝∠CFD，,∠A＝∠C，,DE＝DF，))∴△AED≌△CFD(AAS)．


(2)∵△AED≌△CFD，∴AD＝CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．





第3课时 菱形的性质与判定的运用





1．能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法．(重难点)


2．经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法．





阅读教材P8～9，能灵活运用菱形的性质及判定．


自学反馈


如图所示：在菱形ABCD中，AB＝6.





(1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？


(2)对角线AC与BD有什么位置关系？


(3)若∠ADC＝120°，求AC的长；


(4)求菱形ABCD的面积．








活动1 小组讨论


例 如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长为10 cm.





求：(1)对角线AC的长度；


(2)菱形ABCD的面积．


解：(1)∵四边形ABCD是菱形，


∴AC⊥BD，即∠AED＝90°，


DE＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×10＝5(cm)．


∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：


AE＝eq \r(AD2－DE2)＝eq \r(132－52)＝12(cm)．


∴AC＝2AE＝2×12＝24(cm)．


(2)S菱形ABCD＝S△ABD＋S△CBD


＝2×S△ABD＝2×eq \f(1,2)×BD×AE


＝BD×AE＝10×12＝120(cm2)．


菱形的面积除了以上求法，还可以用对角线相乘除以2.


活动2 跟踪训练


1．如图，菱形ABCD的周长为40 cm，它的一条对角线BD长10 cm，则∠ABC＝________°，AC＝________cm.





2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是________cm2.





3．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.


求证：四边形ADCE是菱形．





活动3 课堂小结


通过本节课的学习你有哪些收获，还存在什么疑问？








【预习导学】


自学反馈


(1)6，6，6.(2)互相垂直平分．(3)6eq \r(3).(4)18eq \r(3).


【合作探究】


活动2 跟踪训练


1．120 10eq \r(3) 2.16


3．证明：∵MN垂直平分AC，∴AD＝DC，AE＝EC.由CE∥AB得∠DAO＝∠ECO，∠ADO＝∠CEO.又AO＝CO，∴△ADO≌△CEO.∴AD＝CE.∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AD＝DC.故四边形ADCE是菱形.