人教A版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语1-3第1课时并集和交集课件

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第一章1.3　第1课时　并集和交集基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引 学以致用·随堂检测全达标基础落实·必备知识全过关知识点一:并集 所有 或 {x|x∈A,或x∈B} 名师点睛对并集概念的理解(1)两个集合的并集是一个集合.(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存,而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,如“x∈A或x∈B”包括下列三种情况:①x∈A,且x∉B;②x∉A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下图形象地表示.(3)并集的运算性质: 微思考集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={1,2,3,4,5,6},根据并集的定义可知, C=A∪B.集合A中有4个元素,集合B中也有4个元素,集合C中却只有6个元素,而不是8个元素,为什么?提示 集合中元素的互异性,相同的元素只出现一次. 知识点二:交集 所有 且 {x|x∈A,且x∈B} 名师点睛对交集概念的理解(1)对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,关键在于对文字定义中“所有”二字的理解.举例说明:若A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B={2,3},即所有公共的元素组成的集合,而不是{2}或{3}.(2)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合A与集合B没有公共元素时,不能说集合A与集合B没有交集,而是A∩B=⌀.(3)交集的运算性质: 微思考1若集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},A∩B存在吗? 微思考2若两个集合A,B的交集是空集,则两个集合有什么特征?提示 A与B没有公共元素,但A∩B存在,为⌀. 提示 若两个集合A,B的交集是空集,则两个集合至少有一个集合是空集或者两个集合不是空集,但是两个集合没有公共元素.知识点三:并集、交集与子集的联系 微思考以什么方式理解“若A∪B=B,则A⊆B”较直观?提示 用Venn图来表示较直观,如图. 重难探究·能力素养全提升问题1类比实数之间的大小关系、相等关系,得到了集合之间的子集、相等关系等.根据数学研究对象的一般思路,接下来就应该研究运算问题.类比实数的运算,集合之间的运算又可以研究什么?如何研究?问题2对于集合A={1,3,5},B={2,3,4},C={1,2,3,4,5},D={3},分析集合C与集合A,B的关系,类比实数的加法运算,能否推测集合可能的运算?分析集合D与集合A,B的关系,又能推测集合的什么运算?探究点一 集合的并集与交集运算问题3集合运算的关键是正确识别运算符号,选择合适的方法来表示运算.是不是这样呢?【例1】 (1)已知集合A={x|x2-4x+3=0},集合B={x|(x-3)(x+1)=0},求A∩B,A∪B.解∵集合A={x|x2-4x+3=0},∴A={1,3}.∵集合B={x|(x-3)(x+1)=0},∴B={-1,3}.∴A∩B={3},A∪B={-1,1,3}.规律方法　求两个集合交集、并集的方法用列举法表示的数集,可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果.要注意,若集合不是最简形式,需要先化简集合,求并集时,不是单纯的合并元素,相同的元素只能写一次(集合元素的互异性).若是用描述法表示的数集,则可借助数轴分析写出结果.利用数轴时,要注意端点的取舍及实(空)心点的表示.【例2】 在学校大力倡导“一生一体艺”活动的指引下,某班45名学生,每名学生都有一项或两项爱好,归结为艺术与体育两大爱好.假设有艺术爱好者22人,体育爱好者28人,则同时爱好这两项的有(　　)A.4人 B.5人 C.6人 D.7人B解析 由题意可得Venn图,如图所示, 由图可知,同时爱好这两项的有22+28-45=5(人),故选B. 探究点二 已知集合的交集、并集求参数的值或取值范围问题4已知集合求相应集合运算是一种正向思维的体现,但数学研究经常会反其道而行之,逆向而行.据此,你能提出什么问题?【例3】 已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9}.若9∈(A∩B),则实数a的值为　　　　　. 分析 9∈A∩B说明9∈A,通过分类讨论建立关于a的方程求解,注意求出a的值后要代入集合A,B中,看是否满足集合中元素的互异性.5或-3 解析 ∵9∈(A∩B),∴9∈A且9∈B,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合题意;当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意.综上可得a的值为5或-3.延伸探究例3中,将“9∈(A∩B)”改为“A∩B={9}”,其余条件不变,求实数a的值及A∪B.解 ∵A∩B={9},∴9∈A.∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},由于A∩B={-4,9},不符合题意,故a≠5;当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.综上可得a=-3.此时A∪B={-8,-4,-7,4,9}.规律方法　已知两个有限集运算结果求参数值已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要特别注意对求解结果进行检验,以免违背集合中元素的有关特性,尤其是互异性.【例4】 集合A={x|-10},B={x|2-x<0},且A∪B=B,则实数a满足的条件是　　　　. a≥2 解析 由题意得A={x|x>a},B={x|x>2},因为A∪B=B,所以A⊆B.在数轴上分别表示出集合A,B(图略),可知a≥2.123455.(例6对点题)设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.解 (1)集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2},若A∩B={2},则x=2是方程x2+2(a+1)x+a2-5=0的实数根,可得a2+4a+3=0,解得a=-3或a=-1.验证:当a=-3时,B={2},当a=-1时,B={-2,2},均满足A∩B={2}.∴a的值为-1或-3.(2)A={x|x2-3x+2=0}={1,2},∵A∪B=A,∴B⊆A.B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0},对应的Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).①当Δ<0,即a<-3时,B=⌀,满足条件;②当Δ=0,即a=-3时,B={2},满足条件;③当Δ>0,即a>-3时,只有B={1,2}才能满足条件,由一元二次方程根与系数的关系,得1+2=-2(a+1),且1×2=a2-5.∴a=- 且a2=7,矛盾.∴a>-3不满足条件.综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤-3}.12345