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【期中单元知识点归纳】（北师大版）2023-2024学年七年级数学上册 第二章 有理数及其运算 试卷（知识归纳+题型突破）
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第二章 有理数
1.了解具有相反意义的量，正负数的概念；
2.理解有理数、相反数、绝对值、倒数的概念，能正确解题；
3.理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数；
4.理解有理数加法、减法、乘法、除法法则、；
5.理解有理数乘方定义及运算；
6.能掌握加法、减法的运算定律和运算技巧，熟练计算；能掌握乘法的运算定律和运算技巧，熟练计算；
7.通过将减法转化成加法和将除法转化成乘法，初步培养学生数学的归一思想
8.进一步掌握有理数的五则混合运算；
9.理解科学记数法，了解近似数；
10.能运用科学记数法表示较大的数.
知识点1 正数和负数
1. 概念
正数：大于0的数叫做正数。
负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。
注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。
（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）
2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。
知识点2： 有理数
1. 概念
整 数：正整数、0、负整数统称为整数。
分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）
注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。
2.分类：两种
⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类：
正有理数 正整数 正整数
有理数 正分数 整数 0
零 有理数 负整数
负有理数 负整数 分数 正分数
负分数 负分数
知识点3：数轴
1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度
2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。
比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。
3.应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。
（注意不带“+”“—”号）
知识点3 ：相反数
1.概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。
（0的相反数是0）
几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，
若a＋b=0，则a与b互为相反数。
两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。
3.多重符号的化简
多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数
（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）
知识点4:绝对值
1.几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）
2.代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数
0的绝对值是0
3.代数符号意义：
a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0
a = 0， |a|=0
a＜0， |a|=‐
注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。
4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。
5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0
1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
6.比较大小
2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。
两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。
知识点5 ：加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
⑶一个数同0相加，仍得这个数。
知识点6：加法运算定律
（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a
（2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）
知识点7 ：减法法则
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
即a－b=a＋（﹣）b
知识点8：乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数同0相乘，都得0。
（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。
（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。
知识点9 ：除法法则
（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。
知识点10： 倒数
（1）定义： 的两个数互为倒数。
（2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。
注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 .
知识点11：乘法运算定律
（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。
（3） 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。
知识点12：乘方法则运算
（1）正数的任何次幂都是正数
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
（3）0的任何正整数次幂都是0
知识点13：混合运算
（1）先乘方，再乘除，最后加减。
（2）同级运算，从左到右的顺序进行。
（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。
知识点14：科学计数法
1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚
注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1
2.近似数的精确度：两种形式
（1）精确到某位或精确到小数点后某位。
（2）保留几个有效数字
注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示
例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105
3. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。
4. 注：（1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。
（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。
例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。
【题型1 正负数表示的意义】
1．（2023•荔湾区一模）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作（ ）
A．+40元 B．﹣40元 C．+20元 D．20元
2．（2023•滕州市校级开学）在一条东西走向的道路上，若向东走3m记作+3m，那么向西走7m应记作（ ）
A．7m B．﹣7m C．﹣10m D．4m
3．（2022秋•白云区期末）某药品说明书上标明药品保存的温度是（20±2）℃，则该药品保存的温度范围是（ ）
A．20～22℃ B．18～20℃ C．18～22℃ D．20～24℃
4．（2023•上城区开学）如果+5分表示比平均分高5分，那么﹣9分表示（ ）
A．比平均分低9分 B．比平均分高9分
C．和平均分相等 D．无法确定
5．（2022秋•姜堰区期末）2022世界杯足球比赛在卡塔尔举行，本次世界杯揭幕战于当地时间11月20日19时进行，由东道主卡塔尔对阵厄瓜多尔．已知中国北京是在东八区时区，卡塔尔是东三区时区，卡搭尔当地时间比北京时间晚5小时，则揭幕战是北京时间（ ）
A．11月20日14时 B．11月20日19时
C．11月21日19时 D．11月21日0时
6．（2023春•鲁甸县校级期末）一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的有（ ）
A．25.28千克 B．25.18千克 C．24.69千克 D．24.25千克
7．（2023•巧家县校级二模）中老铁路是与中国铁路网直接连通的国际铁路，线路北起中国西南地区的昆明市，南向到达老挝首都万象市，是“一带一路”上最成功的样板工程．从长期看将会使老挝每年的总收入提升21%，若+21%表示提升21%，则﹣10%表示（ ）
A．提升10% B．提升31% C．下降10% D．下降﹣10%
【题型2 有理数的相关概念】
8．（2023春•松北区校级月考）已知下列各数：﹣8，2.57，6，，﹣0.25，，，0，其中非负数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2022秋•太平区校级期末）在﹣2，3.14，，0.1414，0.101001000…中，有理数的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．（2022秋•宝山区校级期末）下列分数中不能化成有限小数的分数是（ ）
A．1 B． C． D．
11．（2023春•闵行区期中）有理数分为（ ）
A．正数和负数 B．素数和合数 C．整数和分数 D．偶数和奇数
12．（2022秋•吉安期末）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如：将0.＝x，则x＝0.3+x，解得x＝，即0.＝，仿此方法，将0.化成分数是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023春•惠阳区校级月考）把下列各数填在相应的大括号内：
+8，0.35，0，﹣1.04，200%，π，，﹣，﹣2020．
整数集合{ }；
正数集合{ }；
正分数集合{ }．
【题型3 利用数轴比较有理数的大小】
14．（2022秋•茌平区校级期末）如图，点A和B表示的数分别为a和b，下列式子中，不正确的是（ ）
A．a＞﹣b B．ab＜0 C．a﹣b＞0 D．a+b＞0
15．（2023•番禺区一模）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（ ）
A．a＜b＜﹣c B．b＜﹣c＜a C．﹣a＜c＜b D．a＜c＜﹣b
16．（2023•白山模拟）把有理数a、b在数轴上表示，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．a﹣b＜0 B．a＞﹣b C．＞1 D．＜﹣1
17．（2022秋•裕华区校级期末）a、b两数在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b用“＜”连接，正确的是（ ）
A．﹣b＜a＜﹣a＜bB．a＜﹣b＜﹣a＜bC．a＜b＜﹣a＜﹣b D．﹣b＜﹣a＜a＜b
18．（2022秋•滨海新区校级期末）已知数a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式：
①abc＞0；
②a+b﹣c＞0；
③bc﹣a＞0；
④|a﹣b|﹣|c+a|+|b﹣c|＝﹣2a，其中正确个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（2022秋•丰都县期末）若m、n是有理数，满足|m|＞|n|，且m＞0，n＜0，则下列选项中，正确的是（ ）
A．n＜﹣m＜m＜﹣nB．﹣m＜n＜﹣n＜mC．﹣n＜﹣m＜n＜m D．﹣m＜﹣n＜n＜m
【题型4 绝对值非负性的运用】
20．（2022秋•封开县期末）若|x﹣2|+|2y﹣6|＝0，则x+y的值为（ ）
A．9 B．5 C．﹣5 D．﹣6
21．（2022秋•垫江县期末）如果|a+2|+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2022的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2022 D．2022
22．（2022秋•泗阳县期中）式子|x﹣2|+1的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
23．（2022秋•海林市期末）已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣2 C．﹣2或﹣10 D．2
24．（2022秋•洛宁县期中）已知|a|＝2，|b|＝3，且在数轴上表示有理数b的点在a的左边，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．﹣1或﹣5 D．1或5
25．（2022秋•依安县期中）如果|m+n|＝|m|+|n|，则（ ）
A．m、n同号
B．m、n异号
C．m、n为任意有理数
D．m、n同号或m、n中至少一个为零
26．（2022秋•利州区校级期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为 ．
【题型5 化简绝对值】
27．（2022秋•营口期中）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式|a|+|a+b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|的值等于（ ）
A．﹣3a B．2c﹣a C．2a﹣2b D．b
28．（2021秋•宣化区期末）若a＜0，b＞0，则|a|+|a﹣b|＝（ ）
A．b﹣2a B．a﹣2b C．2a+b D．﹣2a﹣b
29．（2022秋•鄞州区期中）若abc≠0，则++的值为（ ）
A．±3或±1 B．±3或0或±1 C．±3或0 D．0或±1
30．（2022秋•河池期末）若x＞0，|x﹣2|+|x+4|＝8，则x＝ ．
31．（2023春•松江区期中）如果a＜1，化简：|2﹣a|﹣|a﹣1|＝ ．
32．（2022秋•吉安期末）已知有理数m，n满足mn≠0，则＝ ．
33．（2022秋•莲湖区期末）若x为任意实数，则|x+4|+|x﹣2|的最小值是 ．
34．（2022秋•福清市校级期末）如果|m|＝|﹣3|，那么m＝ ．
35．（2022秋•农安县期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|，化简|c﹣a|+|c﹣b|+|a+b|．
36．（2022秋•富县期中）已知|x|＝2，|y﹣1|＝5，且x＞y，求2（x﹣y）的值．
37．（2022秋•南安市期中）若|a|＝5，|b|＝3，
（1）若ab＞0，求a+b的值；
（2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值．
38．（2022春•龙凤区期末）已知a、b、c三个数在数轴上对应点如图，其中O为原点，化简|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|．
【题型6 有理数的混合运算】
39．（2023•香坊区校级开学）计算：
（1）4+（﹣2）2×5﹣（﹣8）÷4；
（2）．
40．（2023•光泽县校级开学）计算下列各题：
（1）； （2）；
（3）； （4）（﹣3）×2+|﹣4|﹣（﹣2）3．
41．（2022秋•曲阜市期末）计算题
（1）（﹣2）﹣（﹣3）+（+7）﹣（+11）； （2）；
（3）﹣12022+16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|．
42．（2022秋•海门市期末）计算：
（1）﹣2.4﹣（+3.3）﹣（﹣4.4）+（﹣5.7）； （2）；
（3）（﹣3）3+3×[（﹣3）2+2]； （4）．
43．（2022秋•市中区校级期末）计算：
（1）（﹣5）﹣（﹣6）+（﹣7）﹣（﹣4）； （2）（﹣1）2021+（﹣18）×|﹣|﹣4÷（﹣2）．
【题型7 倒数的运用】
44．（2023•泗洪县模拟）﹣2023的倒数是（ ）
A．﹣2023 B．2023 C．﹣ D．
45．（2022秋•梁山县期末）下面各组数中互为倒数的是（ ）
A．3.1和1.3 B．0.5和2 C．0.25和0.52 D．和
46．（2022•包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b﹣4c的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣5 C．﹣1 D．16
47．（2023•九江一模）若m、n互为相反数，p、q互为倒数，则−2023m+−2023n的值是 ．
48．（2022秋•林州市期中）已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．
求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值．
【题型8 科学记数法表示较大的数】
49．（2023•罗山县校级开学）2021年10月16，我国的神舟十三号载人飞船搭载着翟志刚、王亚平、叶光富三名宇航员成功飞天，开启了历时六个月的太空任务．载人飞船在太空的飞行速度可达28440km/h．将28440用科学记数法表示为（ ）
A．2.844×104 B．28.44×103 C．2.844×103 D．0.2844×105
50．（2022秋•管城区校级期末）“中国疫苗，助力全球战疫”．据法国《费加罗报》网站10月15日报道，预计到今年年底，全球新冠疫苗产量将超过120亿剂，其中一半将来自中国制造商，这是欧盟计划在2021年生产的30亿剂新冠疫苗数量的两倍．中国已经向全球100多个国家提供了疫苗，数据120亿剂用科学记数法表示为（ ）
A．0.12×1011剂 B．1.2×1010剂
C．12×109剂 D．120×108剂
【题型9 计算“24”点】
51．（2022秋•源城区校级期末）做数学“24点”游戏时，抽到的数是：﹣2，3，4，﹣6；你列出算式是： （四个数都必须用上，而且每个数只能用一次．可以用加、减、乘、除、乘方运算，也可以加括号，列一个综合算式，使它的结果为24或﹣24）．
52．（2022秋•海城市期中）“24点游戏”指的是将一副扑克牌中任意抽出四张，根据牌面上的数字进行加减乘除混合运算（每张牌只能使用一次），使得运算结果是24或者是﹣24，现抽出的牌所对的数字是4，﹣5，3，﹣1，请你写出刚好凑成24的算式 ．
53．（2022秋•蓬莱区期中）你会玩“24点”游戏吗？共一副扑克牌（去掉“大王”、“小王”）中任意抽4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24．其中J，Q，K分别代表11，12，13．如小明抽到了3，3，7，7，可用算式7×（3+3÷7）得到24；如图是小刚抽到的四张牌，请用算式得到24： ．
54．（2022秋•惠东县期中）有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24．例如1，2，3，4可做如下运算：（1+2+3）×4＝24．
（1）现有4个有理数：﹣6，3，4，10，运用上述规则，写出一个算式，使其结果为24：
（2）现有4个有理数：1，2，4，﹣8，在上述规则的基础上，再多给你一种乘方运算，请你写出一个含乘方的算式，使其结果为24．
【题型10 有理数应用综合】
55．（2023•光泽县校级开学）某校七年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
﹣2.5
1.5
﹣3
0
﹣0.5
1
﹣2
﹣2
﹣1.5
2
回答下面问题：
（1）以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？
（2）若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？
56．（2023•滕州市校级开学）某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下．（单位：km）
+18，﹣9，+7，﹣14，+13，﹣6，﹣8．
（1）B地在A地何方，相距多少km？
（2）若汽车行驶1km耗油aL，求该天耗油多少L？
57．（2023春•文山州期末）某公交车每月的支出费用为5000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：
x（人）
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
…
y（元）
﹣4000
﹣3000
﹣2000
﹣1000
0
1000
2000
…
（1）观察表中数据可知，每月乘客量达到 2500 人及以上时，该公交车才不会亏损；
（2）根据题意及表中数据关系，写出y与x的关系式；
（3）如果某月乘车人数为5500人，那么当月的利润是多少元？
58．（2022秋•望花区期末）“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划在本周每日生产5000个医用口罩，但是由于各种原因，实际每日生产量与计划每日生产量相比情况如下表（增加的口罩数为正数，减少的口罩数为负数）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减（单位：个）
+100
﹣200
+300
﹣150
﹣100
+350
+150
（1）本周产量最多的一日生产了 个口罩；
（2）本周产量最少的一日生产了 个口罩；
（3）请你根据记录求出本周实际共生产多少个口罩？
59．（2022秋•港北区期中）股民李明星星期五买进某公司的股票1000股，每股16.8元，下表是第二周一至周五每日该股票的涨跌情况（单位：元）
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌
+0.4
+0.45
﹣0.1
﹣0.25
﹣0.4
（1）星期三收盘时，每股是多少元？
（2）本周内最高价每股多少元？最低价每股多少元？
（3）若买进股票和卖出股票都要交0.2%的各种费用，现在小明在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
第二章 有理数
1.了解具有相反意义的量，正负数的概念；
2.理解有理数、相反数、绝对值、倒数的概念，能正确解题；
3.理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数；
4.理解有理数加法、减法、乘法、除法法则、；
5.理解有理数乘方定义及运算；
6.能掌握加法、减法的运算定律和运算技巧，熟练计算；能掌握乘法的运算定律和运算技巧，熟练计算；
7.通过将减法转化成加法和将除法转化成乘法，初步培养学生数学的归一思想
8.进一步掌握有理数的五则混合运算；
9.理解科学记数法，了解近似数；
10.能运用科学记数法表示较大的数.
知识点1 正数和负数
1. 概念
正数：大于0的数叫做正数。
负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。
注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。
（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）
2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。
知识点2： 有理数
1. 概念
整 数：正整数、0、负整数统称为整数。
分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）
注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。
2.分类：两种
⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类：
正有理数 正整数 正整数
有理数 正分数 整数 0
零 有理数 负整数
负有理数 负整数 分数 正分数
负分数 负分数
知识点3：数轴
1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度
2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。
比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。
3.应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。
（注意不带“+”“—”号）
知识点3 ：相反数
1.概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。
（0的相反数是0）
几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，
若a＋b=0，则a与b互为相反数。
两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。
3.多重符号的化简
多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数
（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）
知识点4:绝对值
1.几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）
2.代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数
0的绝对值是0
3.代数符号意义：
a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0
a = 0， |a|=0
a＜0， |a|=‐
注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。
4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。
5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0
1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
6.比较大小
2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。
两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。
知识点5 ：加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
⑶一个数同0相加，仍得这个数。
知识点6：加法运算定律
（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a
（2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）
知识点7 ：减法法则
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
即a－b=a＋（﹣）b
知识点8：乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数同0相乘，都得0。
（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。
（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。
知识点9 ：除法法则
（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。
知识点10： 倒数
（1）定义： 的两个数互为倒数。
（2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。
注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 .
知识点11：乘法运算定律
（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。
（3） 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。
知识点12：乘方法则运算
（1）正数的任何次幂都是正数
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
（3）0的任何正整数次幂都是0
知识点13：混合运算
（1）先乘方，再乘除，最后加减。
（2）同级运算，从左到右的顺序进行。
（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。
知识点14：科学计数法
1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚
注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1
2.近似数的精确度：两种形式
（1）精确到某位或精确到小数点后某位。
（2）保留几个有效数字
注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示
例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105
3. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。
4. 注：（1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。
（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。
例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。
【题型1 正负数表示的意义】
1．（2023•荔湾区一模）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作（ ）
A．+40元 B．﹣40元 C．+20元 D．20元
2．（2023•滕州市校级开学）在一条东西走向的道路上，若向东走3m记作+3m，那么向西走7m应记作（ ）
A．7m B．﹣7m C．﹣10m D．4m
3．（2022秋•白云区期末）某药品说明书上标明药品保存的温度是（20±2）℃，则该药品保存的温度范围是（ ）
A．20～22℃ B．18～20℃ C．18～22℃ D．20～24℃
4．（2023•上城区开学）如果+5分表示比平均分高5分，那么﹣9分表示（ ）
A．比平均分低9分 B．比平均分高9分
C．和平均分相等 D．无法确定
5．（2022秋•姜堰区期末）2022世界杯足球比赛在卡塔尔举行，本次世界杯揭幕战于当地时间11月20日19时进行，由东道主卡塔尔对阵厄瓜多尔．已知中国北京是在东八区时区，卡塔尔是东三区时区，卡搭尔当地时间比北京时间晚5小时，则揭幕战是北京时间（ ）
A．11月20日14时 B．11月20日19时
C．11月21日19时 D．11月21日0时
6．（2023春•鲁甸县校级期末）一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的有（ ）
A．25.28千克 B．25.18千克 C．24.69千克 D．24.25千克
7．（2023•巧家县校级二模）中老铁路是与中国铁路网直接连通的国际铁路，线路北起中国西南地区的昆明市，南向到达老挝首都万象市，是“一带一路”上最成功的样板工程．从长期看将会使老挝每年的总收入提升21%，若+21%表示提升21%，则﹣10%表示（ ）
A．提升10% B．提升31% C．下降10% D．下降﹣10%
【题型2 有理数的相关概念】
8．（2023春•松北区校级月考）已知下列各数：﹣8，2.57，6，，﹣0.25，，，0，其中非负数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2022秋•太平区校级期末）在﹣2，3.14，，0.1414，0.101001000…中，有理数的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．（2022秋•宝山区校级期末）下列分数中不能化成有限小数的分数是（ ）
A．1 B． C． D．
11．（2023春•闵行区期中）有理数分为（ ）
A．正数和负数 B．素数和合数 C．整数和分数 D．偶数和奇数
12．（2022秋•吉安期末）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如：将0.＝x，则x＝0.3+x，解得x＝，即0.＝，仿此方法，将0.化成分数是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023春•惠阳区校级月考）把下列各数填在相应的大括号内：
+8，0.35，0，﹣1.04，200%，π，，﹣，﹣2020．
整数集合{ }；
正数集合{ }；
正分数集合{ }．
【题型3 利用数轴比较有理数的大小】
14．（2022秋•茌平区校级期末）如图，点A和B表示的数分别为a和b，下列式子中，不正确的是（ ）
A．a＞﹣b B．ab＜0 C．a﹣b＞0 D．a+b＞0
15．（2023•番禺区一模）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（ ）
A．a＜b＜﹣c B．b＜﹣c＜a C．﹣a＜c＜b D．a＜c＜﹣b
16．（2023•白山模拟）把有理数a、b在数轴上表示，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．a﹣b＜0 B．a＞﹣b C．＞1 D．＜﹣1
17．（2022秋•裕华区校级期末）a、b两数在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b用“＜”连接，正确的是（ ）
A．﹣b＜a＜﹣a＜bB．a＜﹣b＜﹣a＜bC．a＜b＜﹣a＜﹣b D．﹣b＜﹣a＜a＜b
18．（2022秋•滨海新区校级期末）已知数a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式：
①abc＞0；
②a+b﹣c＞0；
③bc﹣a＞0；
④|a﹣b|﹣|c+a|+|b﹣c|＝﹣2a，其中正确个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（2022秋•丰都县期末）若m、n是有理数，满足|m|＞|n|，且m＞0，n＜0，则下列选项中，正确的是（ ）
A．n＜﹣m＜m＜﹣nB．﹣m＜n＜﹣n＜mC．﹣n＜﹣m＜n＜m D．﹣m＜﹣n＜n＜m
【题型4 绝对值非负性的运用】
20．（2022秋•封开县期末）若|x﹣2|+|2y﹣6|＝0，则x+y的值为（ ）
A．9 B．5 C．﹣5 D．﹣6
21．（2022秋•垫江县期末）如果|a+2|+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2022的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2022 D．2022
22．（2022秋•泗阳县期中）式子|x﹣2|+1的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
23．（2022秋•海林市期末）已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣2 C．﹣2或﹣10 D．2
24．（2022秋•洛宁县期中）已知|a|＝2，|b|＝3，且在数轴上表示有理数b的点在a的左边，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．﹣1或﹣5 D．1或5
25．（2022秋•依安县期中）如果|m+n|＝|m|+|n|，则（ ）
A．m、n同号
B．m、n异号
C．m、n为任意有理数
D．m、n同号或m、n中至少一个为零
26．（2022秋•利州区校级期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为 ．
【题型5 化简绝对值】
27．（2022秋•营口期中）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式|a|+|a+b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|的值等于（ ）
A．﹣3a B．2c﹣a C．2a﹣2b D．b
28．（2021秋•宣化区期末）若a＜0，b＞0，则|a|+|a﹣b|＝（ ）
A．b﹣2a B．a﹣2b C．2a+b D．﹣2a﹣b
29．（2022秋•鄞州区期中）若abc≠0，则++的值为（ ）
A．±3或±1 B．±3或0或±1 C．±3或0 D．0或±1
30．（2022秋•河池期末）若x＞0，|x﹣2|+|x+4|＝8，则x＝ ．
31．（2023春•松江区期中）如果a＜1，化简：|2﹣a|﹣|a﹣1|＝ ．
32．（2022秋•吉安期末）已知有理数m，n满足mn≠0，则＝ ．
33．（2022秋•莲湖区期末）若x为任意实数，则|x+4|+|x﹣2|的最小值是 ．
34．（2022秋•福清市校级期末）如果|m|＝|﹣3|，那么m＝ ．
35．（2022秋•农安县期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|，化简|c﹣a|+|c﹣b|+|a+b|．
36．（2022秋•富县期中）已知|x|＝2，|y﹣1|＝5，且x＞y，求2（x﹣y）的值．
37．（2022秋•南安市期中）若|a|＝5，|b|＝3，
（1）若ab＞0，求a+b的值；
（2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值．
38．（2022春•龙凤区期末）已知a、b、c三个数在数轴上对应点如图，其中O为原点，化简|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|．
【题型6 有理数的混合运算】
39．（2023•香坊区校级开学）计算：
（1）4+（﹣2）2×5﹣（﹣8）÷4；
（2）．
40．（2023•光泽县校级开学）计算下列各题：
（1）； （2）；
（3）； （4）（﹣3）×2+|﹣4|﹣（﹣2）3．
41．（2022秋•曲阜市期末）计算题
（1）（﹣2）﹣（﹣3）+（+7）﹣（+11）； （2）；
（3）﹣12022+16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|．
42．（2022秋•海门市期末）计算：
（1）﹣2.4﹣（+3.3）﹣（﹣4.4）+（﹣5.7）； （2）；
（3）（﹣3）3+3×[（﹣3）2+2]； （4）．
43．（2022秋•市中区校级期末）计算：
（1）（﹣5）﹣（﹣6）+（﹣7）﹣（﹣4）； （2）（﹣1）2021+（﹣18）×|﹣|﹣4÷（﹣2）．
【题型7 倒数的运用】
44．（2023•泗洪县模拟）﹣2023的倒数是（ ）
A．﹣2023 B．2023 C．﹣ D．
45．（2022秋•梁山县期末）下面各组数中互为倒数的是（ ）
A．3.1和1.3 B．0.5和2 C．0.25和0.52 D．和
46．（2022•包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b﹣4c的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣5 C．﹣1 D．16
47．（2023•九江一模）若m、n互为相反数，p、q互为倒数，则−2023m+−2023n的值是 ．
48．（2022秋•林州市期中）已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．
求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值．
【题型8 科学记数法表示较大的数】
49．（2023•罗山县校级开学）2021年10月16，我国的神舟十三号载人飞船搭载着翟志刚、王亚平、叶光富三名宇航员成功飞天，开启了历时六个月的太空任务．载人飞船在太空的飞行速度可达28440km/h．将28440用科学记数法表示为（ ）
A．2.844×104 B．28.44×103 C．2.844×103 D．0.2844×105
50．（2022秋•管城区校级期末）“中国疫苗，助力全球战疫”．据法国《费加罗报》网站10月15日报道，预计到今年年底，全球新冠疫苗产量将超过120亿剂，其中一半将来自中国制造商，这是欧盟计划在2021年生产的30亿剂新冠疫苗数量的两倍．中国已经向全球100多个国家提供了疫苗，数据120亿剂用科学记数法表示为（ ）
A．0.12×1011剂 B．1.2×1010剂
C．12×109剂 D．120×108剂
【题型9 计算“24”点】
51．（2022秋•源城区校级期末）做数学“24点”游戏时，抽到的数是：﹣2，3，4，﹣6；你列出算式是： （四个数都必须用上，而且每个数只能用一次．可以用加、减、乘、除、乘方运算，也可以加括号，列一个综合算式，使它的结果为24或﹣24）．
52．（2022秋•海城市期中）“24点游戏”指的是将一副扑克牌中任意抽出四张，根据牌面上的数字进行加减乘除混合运算（每张牌只能使用一次），使得运算结果是24或者是﹣24，现抽出的牌所对的数字是4，﹣5，3，﹣1，请你写出刚好凑成24的算式 ．
53．（2022秋•蓬莱区期中）你会玩“24点”游戏吗？共一副扑克牌（去掉“大王”、“小王”）中任意抽4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24．其中J，Q，K分别代表11，12，13．如小明抽到了3，3，7，7，可用算式7×（3+3÷7）得到24；如图是小刚抽到的四张牌，请用算式得到24： ．
54．（2022秋•惠东县期中）有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24．例如1，2，3，4可做如下运算：（1+2+3）×4＝24．
（1）现有4个有理数：﹣6，3，4，10，运用上述规则，写出一个算式，使其结果为24：
（2）现有4个有理数：1，2，4，﹣8，在上述规则的基础上，再多给你一种乘方运算，请你写出一个含乘方的算式，使其结果为24．
【题型10 有理数应用综合】
55．（2023•光泽县校级开学）某校七年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
﹣2.5
1.5
﹣3
0
﹣0.5
1
﹣2
﹣2
﹣1.5
2
回答下面问题：
（1）以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？
（2）若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？
56．（2023•滕州市校级开学）某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下．（单位：km）
+18，﹣9，+7，﹣14，+13，﹣6，﹣8．
（1）B地在A地何方，相距多少km？
（2）若汽车行驶1km耗油aL，求该天耗油多少L？
57．（2023春•文山州期末）某公交车每月的支出费用为5000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：
x（人）
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
…
y（元）
﹣4000
﹣3000
﹣2000
﹣1000
0
1000
2000
…
（1）观察表中数据可知，每月乘客量达到 2500 人及以上时，该公交车才不会亏损；
（2）根据题意及表中数据关系，写出y与x的关系式；
（3）如果某月乘车人数为5500人，那么当月的利润是多少元？
58．（2022秋•望花区期末）“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划在本周每日生产5000个医用口罩，但是由于各种原因，实际每日生产量与计划每日生产量相比情况如下表（增加的口罩数为正数，减少的口罩数为负数）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减（单位：个）
+100
﹣200
+300
﹣150
﹣100
+350
+150
（1）本周产量最多的一日生产了 个口罩；
（2）本周产量最少的一日生产了 个口罩；
（3）请你根据记录求出本周实际共生产多少个口罩？
59．（2022秋•港北区期中）股民李明星星期五买进某公司的股票1000股，每股16.8元，下表是第二周一至周五每日该股票的涨跌情况（单位：元）
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌
+0.4
+0.45
﹣0.1
﹣0.25
﹣0.4
（1）星期三收盘时，每股是多少元？
（2）本周内最高价每股多少元？最低价每股多少元？
（3）若买进股票和卖出股票都要交0.2%的各种费用，现在小明在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
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