2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题25同角三角函数的基本关系及诱导公式（Word版附解析）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题25同角三角函数的基本关系及诱导公式（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。


专题25同角三角函数的基本关系及诱导公式
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧

题型归类
题型一：“知一求二”问题
题型二：sin α，cos α的齐次式问题
题型三：sin α±cos α，sin αcos α之间的关系
题型四：诱导公式
题型五：基本关系式与诱导公式的综合应用

培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
2.能利用单位圆中的对称性推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
【考点预测】
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cos__α
cos__α
余弦
cos α
－cos__α
cos__α
－cos__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α


口诀
奇变偶不变，符号看象限

【常用结论】
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【方法技巧】
1.利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
4.诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
5.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
6.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形；注意角的范围对三角函数符号的影响．
二、【题型归类】
【题型一】“知一求二”问题
【典例1】已知α是第四象限角，且tan α＝－，则sin α＝(　　)
A．－ B. C. D．－
【解析】因为tan α＝＝－，
所以cos α＝－sin α　①.
sin2α＋cos2α＝1　②，由①②得sin2α＝，又α是第四象限角，所以sin α<0，则sin α＝－，故选A.
【典例2】已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为________．
【解析】由tan α＝－，
得sin α＝－cos α，且sin α>0，cos α<0，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，
所以cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－.
【典例3】已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝ .
【解析】∵cos α＝－<0且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．
①若α是第二象限角，
则sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝＝－.
此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
②若α是第三象限角，
则sin α＝－＝－
＝－，
∴tan α＝＝＝，
此时，13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
综上，13sin α＋5tan α＝0.
【题型二】sin α，cos α的齐次式问题
【典例1】已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋2.
【解析】由已知得tan α＝.
(1)＝＝－.
(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
【典例2】已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .
【解析】方法一　由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，
所以sin θ－cos θ＝＝，
联立解得
所以tan θ＝－.
方法二　因为sin θ＋cos θ＝，
所以sin θcos θ＝－，
由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－.
又sin θcos θ＝－<0，θ∈(0，π)，
所以sin θ>0，cos θ<0.
所以sin θ＝，cos θ＝－.
所以tan θ＝＝－.
方法三　由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，
所以＝－.
齐次化切，得＝－，
即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0，
解得tan θ＝－或tan θ＝－.
又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝>0，sin θcos θ＝－<0，
所以θ∈，所以tan θ＝－.
【典例3】已知tan α＝，则＝ ；sin2α＋sin αcos α＋2＝ .
【解析】已知tan α＝，
所以＝＝－.
sin2α＋sin αcos α＋2
＝＋2
＝＋2
＝＋2＝.
【题型三】sin α±cos α，sin αcos α之间的关系
【典例1】已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝.
(1)求sin α－cos α的值；
(2)求的值．
【解析】(1)由sin α＋cos α＝，
平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，
整理得2sin αcos α＝－.
所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝.
由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，
所以cos α>0，则sin α－cos α<0，
故sin α－cos α＝－.
(2)＝＝
＝＝－.
【典例2】已知tan α＝－，则sin α(sin α－cos α)＝(　　)
A. B.
C. D.
【解析】sin α(sin α－cos α)＝sin2α－sin αcos α＝＝，将tan α＝－代入得原式＝＝.
故选A.
【题型四】诱导公式
【典例1】已知sin＝，则cos的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
【解析】cos＝cos
＝－sin＝－.
故选D.
【典例2】的值为(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【解析】原式＝
＝
＝－·＝－1.
故选B.
【典例3】已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则等于(　　)
A. B．－
C. D．－
【解析】易知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P(2,3)，
故tan α＝，则

＝
＝
＝－
＝－＝－.
故选B.
【题型五】基本关系式与诱导公式的综合应用
【典例1】已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝.
故选C.
【典例2】已知α是第三象限角，且f(α)＝.
①化简f(α)；
②若tan(π－α)＝－2，求f(α)的值；
③若α＝－420°，求f(α)的值．
【解析】①由题可得，
f(α)＝
＝＝－cos α.
②因为tan(π－α)＝－2，所以tan α＝2.
所以sin α＝2cos α.
所以(2cos α)2＋cos2α＝1.所以cos2α＝.
因为α是第三象限角，所以cos α＝－，
所以f(α)＝.
③因为cos (－420°)＝cos 420°＝cos 60°＝，
所以f(α)＝－cos α＝－.
【典例3】已知tan(－2 019π＋θ)＝－2，则2sinsin＝(　　)
A．－2 B．
C． D．
【解析】因为tan(－2 019π＋θ)＝－2，
所以tan θ＝－2.
则2sinsin
＝(sin θ－cos θ)(sin θ＋cos θ)
＝sin2θ－cos2θ＋(－1)sin θcos θ
＝
＝
＝
＝.故选B．
三、【培优训练】
【训练一】已知α为第二象限角，则cos α＋sin α＝________.
【解析】原式＝cos α＋sin α＝cos α＋sin α，
因为α是第二象限角，
所以sin α＞0，cos α＜0，
所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，即原式等于0.
【训练二】如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos2θ的值是________.
【解析】由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ，
∵小正方形的面积是，∴(cos θ－sin θ)2＝，
∵θ为直角三角形中较小的锐角，
∴cos θ＞sin θ ，∴cos θ－sin θ＝，
又∵(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
∴2sin θcos θ＝，∴1＋2sin θcos θ＝，
即(cos θ＋sin θ)2＝，∴cos θ＋sin θ＝，
∴sin2θ－cos2θ＝(cos θ＋sin θ)(sin θ－cos θ)＝－.
【训练三】(多选)已知f(α)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．f(α)的最小值为－
B．f(α)的最小值为－1
C．f(α)的最大值为－1
D．f(α)的最大值为1－
【解析】设t＝sin α＋cos α＝sin，
由0≤α≤，
得≤α＋≤，
则1≤t≤，
又由(sin α＋cos α)2＝t2，
得2sin αcos α＝t2－1，
所以f(α)＝g(t)＝＝t－1－，
又因为函数y＝t－1和y＝－在[1，]上单调递增，
所以g(t)＝t－1－在[1，]上单调递增，
g(t)min＝g(1)＝－1，
g(t)max＝g()＝1－.
【训练四】已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
【解析】(1)原式＝＋
＝＋
＝
＝sin θ＋cos θ.
由已知得sin θ＋cos θ＝，
所以＋＝.
(2)由已知得sin θcos θ＝，
因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，
所以1＋m＝2，
解得m＝.
(3)联立
解得
或
因为θ∈(0,2π)，所以θ＝或.
【训练五】已知sin α＝1－sin，求sin2α＋sin＋1的取值范围．
【解析】因为sin α＝1－sin＝1－cos β，
所以cos β＝1－sin α.因为－1≤cos β≤1，
所以－1≤1－sin α≤1,0≤sin α≤2，
又－1≤sin α≤1，所以sin α∈[0,1]．
所以sin2α＋sin＋1＝sin2α＋cos β＋1＝sin2α－sin α＋2＝2＋.(*)
又sin α∈[0,1]，所以当sin α＝时，(*)式取得最小值；当sin α＝1或sin α＝0时，(*)式取得最大值2，故所求取值范围为.
【训练六】在△ABC中，
(1)求证：cos2＋cos2 ＝1；
(2)若cossintan(C－π)＜0，
求证：△ABC为钝角三角形．
【解析】(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
所以＝－，
所以cos＝cos＝sin ，
所以cos2＋cos2＝1.
(2)若cossintan(C－π)＜0，
所以(－sin A)(－cos B)tan C＜0，
即sin Acos Btan C＜0.
因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，
所以或
所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝(　　)
A. B．－
C. D．－
【解析】∵cos α＝－且α∈(0，π)，∴sin α＝＝，
∴tan α＝＝－.故选D.
2. 已知sin＝，则cos的值是(　　)
A．－ B.
C. D．－
【解析】∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－，故选A.
3. log2的值为(　　)
A．－1 B．－
C. D.
【解析】log2＝log2＝log2＝－.故选B.
4. 若sin＝－，且α∈，π，则sin(π－2α)＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
【解析】∵sin＝cos α＝－，α∈，∴sin α＝，∴sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.故选A.
5. 若＝2，则cos α－3sin α＝(　　)
A．－3 B．3
C．－ D.
【解析】∵＝2，∴cos α＝2sin α－1，又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＋(2sin α－1)2＝1,5sin2α－4sin α＝0，解得sin α＝或sin α＝0(舍去)，
∴cos α－3sin α＝－sin α－1＝－.故选C.
6. 已知sin＝，则cos等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
【解析】　cos＝cos＝sin＝.故选A.
7. 已知sin 2α＝，则tan α＋＝(　　)
A. B.
C．3 D．2
【解析】tan α＋＝＋＝＝＝＝3.故选C.
8. 已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
【解析】因为sin α＋2cos α＝，sin2α＋cos2α＝1，解得或
所以tan α＝3或－.所以tan 2α＝＝＝－或tan 2α＝＝＝－.故选C.
【多选题】
9. 在△ABC中，下列结论正确的是(　　)
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin ＝cos
C．tan(A＋B)＝－tan C
D．cos(A＋B)＝cos C
【解析】在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确．
sin ＝sin＝cos ，B正确．
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，
C正确．
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误．
故选ABC.
10. 已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则(　　)
A.<α<π
B．sin αcos α＝－
C．cos α－sin α＝
D．cos α－sin α＝－
【解析】∵sin α＋cos α＝，
等式两边平方得
(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
解得sin αcos α＝－，故B正确；
∵α∈(0，π)，sin αcos α＝－<0，
∴α∈，故A正确；
cos α－sin α<0，
且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α
＝1－2×＝，
解得cos α－sin α＝－，故D正确．
故选ABD.
11. 已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式＋(k∈Z)的取值可能为(　　)
A．－2 B．－1或1
C．2 D．－2或2或0
【解析】当k为奇数时，原式＝＋＝(－1)＋(－1)＝－2；
当k为偶数时，原式＝＋＝1＋1＝2.
∴原表达式的取值可能为－2或2.
故选AC.
12. 若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有(　　 )
A．tan α＝
B．cos α＝
C．sin α＋cos α＝
D．sin α－cos α＝－
【解析】∵sin α＝，且α为锐角，
∴cos α＝＝＝，故B正确，
∴tan α＝＝＝，故A正确，
∴sin α＋cos α＝＋＝≠，故C错误，
∴sin α－cos α＝－＝≠－，故D错误．
故选AB.
【填空题】
13. 若＝，则tan θ＝________.
【解析】因为＝＝，
所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，
所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.
14. 若tan α＝－2，则cos2α＋2sin 2α＝________.
【解析】原式＝
＝
＝＝＝－.
15. 已知－＜α＜0，sin α＋cos α＝， 则的值为________.
【解析】由题意，因为sin α＋cos α＝，所以1＋2sin αcos α＝，
所以2sin αcos α＝－，
所以(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，
又因为－＜α＜0，所以sin α＜0，cos α＞0，
所以cos α－sin α＝，
所以＝
＝.
16. 已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
【解析】由题意，得cos＝，
∴tan＝.
∴tan＝tan
＝－＝－.
【解答题】
17. (1)已知cos α是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，求的值；
(2)已知sin x＋cos x＝－(0 【解析】(1)因为方程3x2－x－2＝0的根为x1＝1，x2＝－，
又α是第三象限角，所以cos α＝－，
所以sin α＝－，tan α＝.
所以原式＝＝tan2α＝.
(2)∵sin x＋cos x＝－(0 ∴cos x<0，sin x>0，即sin x－cos x>0，
把sin x＋cos x＝－，
两边平方得1＋2sin xcos x＝，
即2sin xcos x＝－，
∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，
即sin x－cos x＝，
联立
解得sin x＝，cos x＝－，
∴cos x－2sin x＝－.
18. 已知角α的终边经过点P(3m，－6m)(m≠0)．
(1)求的值；
(2)若α是第二象限角，求sin2＋sin(π－α)cos α－cos的值．
【解析】(1)∵m≠0，∴cos α≠0，
即
＝
＝.
又∵角α的终边经过点P(3m，－6m)(m≠0)，
∴tan α＝＝－2，
故
＝
＝＝－.
(2)∵α是第二象限角，∴m<0，
则sin α＝
＝
＝，
cos α＝
＝
＝－，
∴sin2＋sin(π－α)cos α－cos
＝cos2α＋sin αcos α＋sin α
＝2＋×＋
＝.
19. 已知f(α)＝.
(1)若cos＝，α是第三象限角，求f(α)的值；
(2)若α＝－，求f(α)的值．
【解析】f(α)＝＝－cos α.
(1)cos＝－sin α＝，
∴sin α＝－.
∵α是第三象限角，
∴cos α＝－＝－.
f(α)＝－cos α＝.
(2)f(α)＝－cos＝－cos＝－.
20. 已知－<α<0，且函数f(α)＝cos－sin α·－1.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，求sin αcos α和sin α－cos α的值．
【解析】(1)f(α)＝sin α－sin α·－1
＝sin α＋sin α·－1＝sin α＋cos α.
(2)方法一　由f(α)＝sin α＋cos α＝，
平方可得sin2α＋2sin α·cos α＋cos2α＝，
即2sin α·cos α＝－.
∴sin α·cos α＝－.
又－<α<0，∴sin α<0，cos α>0，
∴sin α－cos α<0，
∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝，
∴sin α－cos α＝－.
方法二　联立方程
解得或
∵－<α<0，∴
∴sin αcos α＝－，sin α－cos α＝－.
21. 已知α为第三象限角，
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值．
【解析】(1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)因为cos(α－)＝，
所以－sin α＝，
从而sin α＝－.
又α为第三象限角，
所以cos α＝－＝－，
所以f(α)＝－cos α＝.
22. 是否存在α∈，β∈使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
【解析】假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
所以sin2α＝，所以sin α＝±.
因为α∈，所以α＝±.
当α＝时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，所以β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，此时①式不成立，故舍去．
所以存在α＝，β＝满足条件．