高考数学一轮题型归纳(新高考地区专用)考点20同角三角函数的基本关系及诱导公式12种常见考法归类(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮题型归纳(新高考地区专用)考点20同角三角函数的基本关系及诱导公式12种常见考法归类(原卷版+解析)，共47页。试卷主要包含了利用同角三角函数的基本关系求值，利用同角三角函数的基本关系化简，正余弦齐次式的计算，给角求值问题，利用诱导公式化简与求值，同角关系与诱导公式的综合应用，利用互余互补关系求值，利用诱导公式和平方关系求解等内容，欢迎下载使用。

考点一 利用同角三角函数的基本关系求值
（一）已知一个三角函数值求其他三角函数值
（二）利用平方关系求参数
（三）由条件等式求值
考点二 利用同角三角函数的基本关系化简
考点三 正余弦齐次式的计算
考点四 sinα±csα和sinα∙csα之间的关系
考点五 利用同角三角函数的基本关系证明恒等式
考点六 给角求值问题
考点七 利用诱导公式化简与求值
考点八 同角关系与诱导公式的综合应用
考点九 利用互余互补关系求值
考点十 利用诱导公式和平方关系求解
考点十一 利用诱导公式证明三角恒等式
考点十二 新定义题
1. 同角三角函数的基本关系
sin2α＋cs2α＝1.
eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.
2. 同角关系的几种变形
(1)sin2α＝1－cs2α＝(1＋csα)(1－csα)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα).
(2)sinα＝tanαcsαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
(3)sin2α＝eq \f(sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α,tan2α＋1).
(4)cs2α＝eq \f(cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1,tan2α＋1).
3. sinα，csα，tanα三者知一求二问题
这类知一求二问题，注意判断角的范围，另外熟记以下常见勾股数，可以提高解题速度：①32＋42＝52，62＋82＝102，92＋122＝152，…；②52＋122＝132，82＋152＝172，72＋242＝252，…
4. 同角三角函数基本关系式的应用技巧
5. 正余弦齐次式处理技巧
（1）形如asinα＋bcsα和asin2α＋bsinαcsα＋ccs2α的式子分别称为关于sinα，csα的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以csα或cs2α)求解. 如果分母为1，可考虑将1写成sin2α＋cs2α.
（2）已知
①分式齐1次式
=
②分式齐2次式
③齐2次整式
6. 与和有关的公式：
对于已知sinα±csα的求值问题，一般应用三角恒等式，利用整体代入的方法来解，涉及的三角恒等式有：
(sinα＋csα)2－(sinα－csα)2＝4sinαcsα＝2sin2α
注：利用sin2α＋cs2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化；利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α的关系可实现和积转化．
7. 同角三角函数关系式的方程思想
对于sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α这三个式子，知一可求二，转化公式为(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，若令sin α＋cs α＝t，则sin αcs α＝eq \f(t2－1,2)，sin α－cs α＝±eq \r(2－t2)(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．
8. 利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法
(1)化切为弦，减少函数名称．
(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．
(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．
9. 诱导公式
10. 诱导公式的记忆方法
①口诀记忆法：奇变偶不变，符号看象限
“奇变偶不变，符号看象限”精析：
（1）适用范围：（即角中必须出现的整数倍才能使用诱导公式）
（2）奇？偶？（使用诱导公式时先判断是否需要变函数名）
奇：指k是奇数（也即的系数是奇数）如
变：指的是函数名发生改变，
偶：指k是偶数（也即的系数是偶数）如，
不变：函数名不发生变化
三角函数在各个象限的符号
口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
（4）各个角所在的象限（无论具体是什么角，都将其视为锐角）



例：sin（360°＋120°）＝sin120°，sin（270°＋120°）＝－cs120°
（5）确定符号：判断符号时看原函数名，而非变化之后的函数名
（6）实例：诱导公式1-6
（7）补充：，，
，，
特殊：
11. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
（1）“负化正”——用公式一或三来转化；
（2）“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
（3）“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
（4）“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
12. 应用诱导公式要注意：
①三角式的化简通常先用诱导公式，将角统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱；②在运用公式时正确判断符号至关重要；③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视；④正确理解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率.
13. 三角函数式化简的常用方法
（1）合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式,②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
（2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
提醒：注意分类讨论思想的应用.
14. 解决条件求值问题的两技巧
（1）寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.
（2）转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
（3）诱导公式用于角的变换，凡遇到与整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．
（4）通过等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．
（5）等可利用诱导公式把的三角函数化
考点一 利用同角三角函数的基本关系求值
（一）已知一个三角函数值求其他三角函数值
1．（2023春·北京石景山·高三首师大附属苹果园中学校考阶段练习）已知，，则_____.
2．（2023春·四川甘孜·高三校考阶段练习）已知，且是第二象限的角，则______．
3．（2023春·重庆九龙坡·高三重庆市铁路中学校校考阶段练习）已知为第三象限角，，则___________．
4．（2023·四川攀枝花·统考三模）已知为锐角，，角的终边上有一点，则（ ）
A．B．
C．D．
（二）利用平方关系求参数
5．（2023·高三课时练习）已知是第四象限角，则________．
6．（2023秋·上海杨浦·高三复旦附中校考期末）已知、是关于的方程的两个根.
(1)求实数的值，
(2)求的值.
7．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知实数x，y满足，则的最大值为______．
（三）由条件等式求值
8．（2023·高三课时练习）若，且 ，则_____.
9．（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）已知，，则___________
10．（2023·全国·高三专题练习）已知是第三象限角，，则________．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
考点二 利用同角三角函数的基本关系化简
12．（2023·全国·高三专题练习）__________.
13．（2023·全国·高三专题练习）化简得（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．5B．C．2D．4
考点三 正余弦齐次式的计算
15．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________
16．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）曲线在处切线的倾斜角为，则（ ）
A．2B．C．1D．
17．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值是_____________．
18．（2023·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
19．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）已知，则的值是__________．
20．（2023·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知，则______．
22．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若，则____________.
23．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知方程，则（ ）
A．B．C．D．
24．（2023春·江西宜春·高三江西省宜春中学校考阶段练习）已知向量，，若，则的值为______.
考点四 sinα±csα和sinα∙csα之间的关系
25．（2023·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
26．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
27．（2023·全国·高三专题练习）已知，是关于x的一元二次方程的两根，
(1)求的值；
(2)求m的值；
(3)若，求的值.
28．【多选】（2023春·山东·高三校联考阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
29．【多选】（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
考点五 利用同角三角函数的基本关系证明恒等式
30．（2023·高三课时练习）求证：＝.
31．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且满足．
(1)证明：；
(2)求的最大值．
32．（2023春·安徽六安·高三校考阶段练习）求证：= ．
33．（2023·全国·高三专题练习）求证：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
考点六 给角求值问题
34．（2023·北京海淀·校考模拟预测）__________．
35．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）（ ）
A．1B．C．D．
36．（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）已知为等差数列，若，则的值为______.
考点七 利用诱导公式化简与求值
37．（2023春·浙江杭州·高三校考期中）已知，则的化简结果是（ ）
A．B．C．D．
38．（2023·高三课时练习）化简的结果为______.
39．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则______．
40．（2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考期末）已知.
(1)化简；
(2)若，，求的值.
41．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的值．
考点八 同角关系与诱导公式的综合应用
42．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则_________．
43．（2023·四川绵阳·统考三模）已知，，则______.
44．（2023春·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知，则____________.
45．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
46．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）若，，则（ ）
A．B．C．D．
47．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为______.
48．（2023·广东·高三专题练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
考点九 利用互余互补关系求值
49．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）若，则（ ）
A．B．C．D．
50．（2023春·浙江·高三校联考期中）已知，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
51．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考期中）已知是第二象限，且，则（ ）
A．B．C．D．
52．（2023春·河南信阳·高三河南省信阳市第二高级中学校考期中）已知，则的值是__________．
考点十 利用诱导公式和平方关系求解
53．（2023·山西阳泉·统考三模）已知，且，则_______．
54．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
55．（2023春·广西钦州·高三校考阶段练习）若是第四象限角，且,__________．
56．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，则________．
考点十一 利用诱导公式证明三角恒等式
57．【多选】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，下列关系式恒成立的有（ ）
A．B．
C．D．
58．（2023·高三课时练习）求证：．
59．（2023·高三课时练习）求证：=.
考点十二 新定义题
60．【多选】（2023春·辽宁铁岭·高三昌图县第一高级中学校考阶段练习）定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（ ）
A．B．C．D．
61．【多选】（2023秋·江苏·高三南京师大附中校联考期末）在数学发展史上，曾经定义过下列两种函数：称为角的正矢，记作；称为角的余矢，记作.则（ ）
A．
B．函数的最大值为
C．存在一个，使得函数的值为
D．将函数的图像向左平移个单位后，可得到函数的图像
技巧
解读
适合题型
切弦互化
主要利用公式tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq \f(sin θ,cs θ)＝tan θ化成正切
表达式中含有sin θ，cs θ与tan θ
“1”的变换
1＝sin2θ＋cs2θ＝cs2θ(1＋tan2θ)＝(sin θ±cs θ)2∓2sin θcs θ＝taneq \f(π,4)
表达式中需要利用“1”转化
和积转换
利用关系式(sin θ±cs θ)2＝1±2sin θcs θ进行变形、转化
表达式中含有sin θ±cs θ或sin θcs θ
公式一
公式二
公式三
公式四
公式五
公式六
角
α＋2kπ
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
与α终
边关系
相同
关于原
点对称
关于x轴
对称
关于y轴
对称
关于直线
y＝x对称
正弦
sinα
－sinα
－sinα
sinα
csα
csα
余弦
csα
－csα
csα
－csα
sinα
－sinα
正切
tanα
tanα
－tanα
－tanα
记忆
规律
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
奇变偶不变，符号看象限
考点20 同角三角函数的基本关系及诱导公式12种常见考法归类
考点一 利用同角三角函数的基本关系求值
（一）已知一个三角函数值求其他三角函数值
（二）利用平方关系求参数
（三）由条件等式求值
考点二 利用同角三角函数的基本关系化简
考点三 正余弦齐次式的计算
考点四 sinα±csα和sinα∙csα之间的关系
考点五 利用同角三角函数的基本关系证明恒等式
考点六 给角求值问题
考点七 利用诱导公式化简与求值
考点八 同角关系与诱导公式的综合应用
考点九 利用互余互补关系求值
考点十 利用诱导公式和平方关系求解
考点十一 利用诱导公式证明三角恒等式
考点十二 新定义题
1. 同角三角函数的基本关系
sin2α＋cs2α＝1.
eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.
2. 同角关系的几种变形
(1)sin2α＝1－cs2α＝(1＋csα)(1－csα)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα).
(2)sinα＝tanαcsαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
(3)sin2α＝eq \f(sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α,tan2α＋1).
(4)cs2α＝eq \f(cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1,tan2α＋1).
3. sinα，csα，tanα三者知一求二问题
这类知一求二问题，注意判断角的范围，另外熟记以下常见勾股数，可以提高解题速度：①32＋42＝52，62＋82＝102，92＋122＝152，…；②52＋122＝132，82＋152＝172，72＋242＝252，…
4. 同角三角函数基本关系式的应用技巧
5. 正余弦齐次式处理技巧
（1）形如asinα＋bcsα和asin2α＋bsinαcsα＋ccs2α的式子分别称为关于sinα，csα的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以csα或cs2α)求解. 如果分母为1，可考虑将1写成sin2α＋cs2α.
（2）已知
①分式齐1次式
=
②分式齐2次式
③齐2次整式
6. 与和有关的公式：
对于已知sinα±csα的求值问题，一般应用三角恒等式，利用整体代入的方法来解，涉及的三角恒等式有：
(sinα＋csα)2－(sinα－csα)2＝4sinαcsα＝2sin2α
注：利用sin2α＋cs2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化；利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α的关系可实现和积转化．
7. 同角三角函数关系式的方程思想
对于sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α这三个式子，知一可求二，转化公式为(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，若令sin α＋cs α＝t，则sin αcs α＝eq \f(t2－1,2)，sin α－cs α＝±eq \r(2－t2)(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．
8. 利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法
(1)化切为弦，减少函数名称．
(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．
(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．
9. 诱导公式
10. 诱导公式的记忆方法
①口诀记忆法：奇变偶不变，符号看象限
“奇变偶不变，符号看象限”精析：
（1）适用范围：（即角中必须出现的整数倍才能使用诱导公式）
（2）奇？偶？（使用诱导公式时先判断是否需要变函数名）
奇：指k是奇数（也即的系数是奇数）如
变：指的是函数名发生改变，
偶：指k是偶数（也即的系数是偶数）如，
不变：函数名不发生变化
三角函数在各个象限的符号
口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
（4）各个角所在的象限（无论具体是什么角，都将其视为锐角）



例：sin（360°＋120°）＝sin120°，sin（270°＋120°）＝－cs120°
（5）确定符号：判断符号时看原函数名，而非变化之后的函数名
（6）实例：诱导公式1-6
（7）补充：，，
，，
特殊：
11. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
（1）“负化正”——用公式一或三来转化；
（2）“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
（3）“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
（4）“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
12. 应用诱导公式要注意：
①三角式的化简通常先用诱导公式，将角统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱；②在运用公式时正确判断符号至关重要；③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视；④正确理解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率.
13. 三角函数式化简的常用方法
（1）合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式,②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
（2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
提醒：注意分类讨论思想的应用.
14. 解决条件求值问题的两技巧
（1）寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.
（2）转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
（3）诱导公式用于角的变换，凡遇到与整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．
（4）通过等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．
（5）等可利用诱导公式把的三角函数化
考点一 利用同角三角函数的基本关系求值
（一）已知一个三角函数值求其他三角函数值
1．（2023春·北京石景山·高三首师大附属苹果园中学校考阶段练习）已知，，则_____.
【答案】
【分析】根据同角三角函数平方关系及的范围求出答案.
【详解】因为，且，
所以，
因为，所以.
故答案为：
2．（2023春·四川甘孜·高三校考阶段练习）已知，且是第二象限的角，则______．
【答案】
【分析】根据同角的平方关系求得，从而得到结果.
【详解】因为是第二象限的角，则，
所以，
则.
故答案为:
3．（2023春·重庆九龙坡·高三重庆市铁路中学校校考阶段练习）已知为第三象限角，，则___________．
【答案】
【分析】根据同角三角函数的商式关系以及平方和关系，可得答案.
【详解】由，则，，由，则，
由为第三象限角，，，则.
故答案为：.
4．（2023·四川攀枝花·统考三模）已知为锐角，，角的终边上有一点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用三角函数的定义可求得的值，再利用两角和的正切公式可求得的值.
【详解】因为为锐角，，则，所以，，
由三角函数的定义可得，因此，.
故选：A.
（二）利用平方关系求参数
5．（2023·高三课时练习）已知是第四象限角，则________．
【答案】
【分析】由可求得，即可得出所求.
【详解】由，解得或8，
是第四象限角，，
.
故答案为：.
6．（2023秋·上海杨浦·高三复旦附中校考期末）已知、是关于的方程的两个根.
(1)求实数的值，
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）计算，根据韦达定理得到，解得答案；
（2）根据三角恒等变换化简得到原式为，代入数据计算即可.
【详解】（1）、是关于的方程的两个根，
，解得或，则，，
，
解得或（舍），故；
（2）
.
7．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知实数x，y满足，则的最大值为______．
【答案】
【分析】由得，令，可解得，代入，结合三角函数的性质求得答案.
【详解】由得，
令，可解得，则，当时等号成立．
故的最大值为.
故答案为：.
（三）由条件等式求值
8．（2023·高三课时练习）若，且 ，则_____.
【答案】
【分析】根据同角平方和关系可解得，进而根据角的范围可得，进而可求.
【详解】因为，所以
即 ，∴解得或 （舍去）．
， ，因此 ．
故答案为：
9．（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）已知，，则___________
【答案】
【分析】根据同角三角函数的基本关系，求出正弦值，余弦值，再求正切值.
【详解】解：由题意，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
解得或，
∵
∴当时，，不符题意，舍去.
∴，
此时，，
∴，
故答案为：.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知是第三象限角，，则________．
【答案】
【分析】利用二倍角公式可得，再由同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】因为，
整理可得，
解得，或，由于是第三象限角，（舍去）
所以，．
故答案为：．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用倍角公式将条件变形，然后结合列方程组求解.
【详解】,
①,
又②，
由①②得.
故选：D.
考点二 利用同角三角函数的基本关系化简
12．（2023·全国·高三专题练习）__________.
【答案】2
【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.
【详解】因为，
，
，
所以
故答案为：2.
13．（2023·全国·高三专题练习）化简得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用求出，第一个根号分子分母同时乘以，第二个根号分子分母同时乘以，结合平方关系即可得到．
【详解】，
，

故选：A
14．（2023·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．5B．C．2D．4
【答案】A
【分析】先求得，然后根据同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识求得正确答案.
【详解】，
所以，则，
所以
故选：A
考点三 正余弦齐次式的计算
15．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________
【答案】
【分析】根据齐次式，由弦化切即可求值.
【详解】.
故答案为：
16．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）曲线在处切线的倾斜角为，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】C
【分析】根据给定函数，利用导数的几何意义求出，再利用齐次式法计算作答.
【详解】因为，则，因此，
所以.
故选：C
17．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值是_____________．
【答案】
【分析】利用诱导公式、两角差的正切公式和商数关系的齐次式计算求解.
【详解】解：因为，
所以，即，
解得，
所以，
故答案为：
18．（2023·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】正、余弦齐次式的计算求值.
【详解】由，有，
∴.
故选：B
19．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）已知，则的值是__________．
【答案】5
【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化简，在将代入即可.
【详解】因为，
所以
，
故答案为：5.
20．（2023·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知得，从而同号，即，然后由平方关系求得，进而求得，求值式应用二倍角公式和平方关系变形后可得结论．
【详解】因为，所以，所以同号，即，
，，从而，
，所以，
．
故选：C．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知，则______．
【答案】/
【分析】利用二倍角公式并将所求写成齐次式形式，再将弦化为切即可.
【详解】.
故答案为：
22．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若，则____________.
【答案】/
【分析】利用倍角公式，和弦切互化即可求解.
【详解】依题意，
.
故答案为：.
23．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知方程，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可得，用齐次式方法处理后得，将值代入即可得出答案.
【详解】方程，化简得，
则，
分子分母同时除以可得：，
将代入可得，
故选：B.
24．（2023春·江西宜春·高三江西省宜春中学校考阶段练习）已知向量，，若，则的值为______.
【答案】
【分析】根据题目条件可得，代入化简即可.
【详解】已知向量，，若，则有，
∴.
故答案为：
考点四 sinα±csα和sinα∙csα之间的关系
25．（2023·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将题中式子平方即可求出，先计算出的值，再根据同角三角函数关系计算出的值，最后根据公式求出，得出结果.
【详解】因为，
所以．
又，
所以，故
．
所以．
故选：D.
26．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两角和的正弦公式将式子展开，然后平方得到，
然后利用已知条件得到，并求出和的值，代入所求式子即可求解.
【详解】由可得，
则有，平方可得，则，
因为，所以，
则，
所以，所以，
故选：C.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知，是关于x的一元二次方程的两根，
(1)求的值；
(2)求m的值；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用根与系数的关系可求出结果，
（2）利用根与系数的关系列方程组，结合可求出m的值，
（3）先判断出，则，再代值计算即可
【详解】（1）因为，是关于x的一元二次方程的两根，
所以
（2）因为，是关于x的一元二次方程的两根，
所以，，且，
所以，
所以，得，满足，
所以
（3）由（2）可得，，
因为，所以，所以，
所以
28．【多选】（2023春·山东·高三校联考阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】将平方可得，判断角的范围，从而求得，即可求出，，的值，判断A，B，C，利用二倍角正切公式求得，判断D.
【详解】因为①，故，
即，
因为，故，可得，
则，故②，
①②联立解得，，故A正确，B错误；
，C错误；
，D正确，
故选：AD
29．【多选】（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】对两边平方得，结合的范围得到，可判断A；再对平方将代入可求出可判断D；结合同角三角函数平方关系得到正弦和余弦值，进而求出正切值，BC错误.
【详解】，两边平方得：，
解得：①，
故异号，
因为，所以，A正确；
所以，
，
所以②，D正确；
由①②可得，故，故B，C不正确.
故选：AD.
考点五 利用同角三角函数的基本关系证明恒等式
30．（2023·高三课时练习）求证：＝.
【答案】证明见解析
【分析】分子分母同乘以，再利用商数关系和平方关系即可得证.
【详解】证明：∵右边＝
＝
＝
＝＝＝左边，
∴＝.
31．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且满足．
(1)证明：；
(2)求的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）由两角和的余弦公式展开后变形，再由商数关系可证；
（2）由（1）利用平方关系化右侧为关于的二次齐次式，再弦化切，然后利用基本不等式得最大值．
【详解】（1）由已知，
，
∴；
（2），则，，
由（1）得
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是．
32．（2023春·安徽六安·高三校考阶段练习）求证：= ．
【答案】证明见解析
【分析】由同角三角函数的平方关系化简等式左边证明即可
【详解】∵1–2（）2，
由题意，≠0，
∴左边=
=
= =右边．
∴原等式成立．
【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系及二倍角的正弦，熟记公式是关键，考查推理能力，是基础题
33．（2023·全国·高三专题练习）求证：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）证明见解析
【解析】根据同角三角函数式关系,结合齐次式的化简即可证明.
【详解】（1）证明:根据同角三角函数关系式,化简等式左边可得
而右边
所以原式得证.
（2）证明:根据同角三角函数关系式,可得
而右边
原式得证.
（3）证明:
而右边
原式得证
（4）证明:由同角三角函数关系式可知
而右边
原式得证
【点睛】本题考查了利用同角三角函数关系证明三角函数恒等式,属于基础题.
考点六 给角求值问题
34．（2023·北京海淀·校考模拟预测）__________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用诱导公式结合特殊角的三角函数值求解作答.
【详解】.
故答案为：
35．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】结合诱导公式和三角恒等变换公式即可求解.
【详解】因为
所以
故选：C.
36．（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）已知为等差数列，若，则的值为______.
【答案】
【分析】先利用等差数列的性质求出，进而得，再代入所求即可．
【详解】因为为等差数列，且，
由等差数列的性质得，
所以，
故.
故答案为：.
考点七 利用诱导公式化简与求值
37．（2023春·浙江杭州·高三校考期中）已知，则的化简结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式及平方关系化简即可.
【详解】因为，所以，，则，
所以
.
故选：A
38．（2023·高三课时练习）化简的结果为______.
【答案】
【分析】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简即可.
【详解】
.
故答案为：.
39．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则______．
【答案】7
【分析】由已知条件利用同角三角函数关系式求出，从而得出，再利用诱导公式，弦化切即可得结果.
【详解】因为，且，
所以，
所以．
所以
．
故答案为：7.
40．（2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考期末）已知.
(1)化简；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简即可；（2）由条件得到，再由，结合角的范围可得到最终结果.
【详解】（1）
（2）若，则
，
41．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的值．
【答案】
【分析】根据诱导公式和正余弦齐次式的求法可将所求式子化为关于的式子，代入的值即可得到结果.
【详解】因为，
，
所以，
又，所以.
故答案为：.
考点八 同角关系与诱导公式的综合应用
42．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则_________．
【答案】
【分析】先利用诱导公式求出，再通过平方关系求出，最后利用诱导公式化简计算.
【详解】，
，即，
，
.
故答案为：.
43．（2023·四川绵阳·统考三模）已知，，则______.
【答案】/
【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解.
【详解】由得，
由可得，故.
故答案为：
44．（2023春·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知，则____________.
【答案】
【分析】利用诱导公式、二倍角正弦公式和同角三角函数平方关系直接求解即可.
【详解】，，
.
故答案为：.
45．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的平方关系可得出关于、的方程组，求出这两个量的值，即可求得的值.
【详解】因为，
由题意可得，解得，
因此，.
故选：B.
46．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式以及二倍角公式可得，整理可得，然后根据角的范围得出的值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，
所以有，
整理可得，，所以.
因为，所以，
所以，.
故选：C.
47．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为______.
【答案】
【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解.
【详解】由可得，
故答案为：
48．（2023·广东·高三专题练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】切化弦，结合得出，然后根据诱导公式及二倍角公式求解.
【详解】因为，所以，即，
所以，即，
所以，
故选：D．
考点九 利用互余互补关系求值
49．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角的余弦公式及诱导公式计算求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：B
50．（2023春·浙江·高三校联考期中）已知，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过构角，再利用诱导公式即可求出结果.
【详解】因为，
又，所以，
故选：B.
51．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考期中）已知是第二象限，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用平方关系求出，再根据结合诱导公式计算即可.
【详解】由是第二象限，得，则，
又，所以，
所以.
故选：A.
52．（2023春·河南信阳·高三河南省信阳市第二高级中学校考期中）已知，则的值是__________．
【答案】/－0.6
【分析】由二倍角公式求得，然后由诱导公式求解．
【详解】，
．
故答案为：．
考点十 利用诱导公式和平方关系求解
53．（2023·山西阳泉·统考三模）已知，且，则_______．
【答案】/
【分析】整体法诱导公式结合同角三角函数关系求出答案.
【详解】因为，所以，故，
所以.
。
故答案为：
54．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由诱导公式结合同角三角函数的关系求解即可.
【详解】已知，且，则，
则，
则.
故选：C.
55．（2023春·广西钦州·高三校考阶段练习）若是第四象限角，且,__________．
【答案】
【分析】先由条件结合同角关系求出，再由诱导公式可得的值.
【详解】因为是第四象限角，所以，
所以，又，故在第四象限，
，
所以，
所以，
故答案为：
56．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，则________．
【答案】
【分析】先通过条件确定角的范围，进而可求出，再利用，通过诱导公式以及二倍角的正弦公式化简计算.
【详解】，，
，
，
若，则，与矛盾，
故，
，
故答案为：.
考点十一 利用诱导公式证明三角恒等式
57．【多选】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，下列关系式恒成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A正确；
对于B中由，所以B正确；
对于C中，由
，所以C正确；
对于D中，
，所以D错误．
故选：ABC.
58．（2023·高三课时练习）求证：．
【答案】证明见解析.
【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.
【详解】左边==–tanα=右边，
∴等式成立．
59．（2023·高三课时练习）求证：=.
【答案】证明见解析
【分析】左边由诱导公式平方关系化简变形，右边用诱导公式，商数关系化简变形可证．
【详解】左边===，
右边===，
所以等式成立.
考点十二 新定义题
60．【多选】（2023春·辽宁铁岭·高三昌图县第一高级中学校考阶段练习）定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由条件结合诱导公式化简可得，根据“广义互余”的定义结合诱导公式同角关系判断各选项的对错.
【详解】∵，∴，若，则，所以，故A符合条件；
，故B不符合条件；
，即，又，∴，故C符合条件；
，即，又，∴，故D不符合条件.
故选：AC.
61．【多选】（2023秋·江苏·高三南京师大附中校联考期末）在数学发展史上，曾经定义过下列两种函数：称为角的正矢，记作；称为角的余矢，记作.则（ ）
A．
B．函数的最大值为
C．存在一个，使得函数的值为
D．将函数的图像向左平移个单位后，可得到函数的图像
【答案】ABD
【分析】对于A，根据题中给出的新定义，利用诱导公式即可判断；对于B，根据题中给出的新定义，令，表示成的函数，化简函数利用二次函数的性质即可求解；对于C，利用两角差的正弦公式，正弦函数的性质即可判断；对于D，利用函数的图像变换即可判断．
【详解】对于A选项，，故A选项正确；
对于B选项，，
令，则，可得，
可得，故B选项正确；
对于C选项，若，可得，故C选项错误；
对于D选项，将函数的图像向左平移个单位后，可得到函数的图像，故D选项正确．
故选：ABD．
技巧
解读
适合题型
切弦互化
主要利用公式tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq \f(sin θ,cs θ)＝tan θ化成正切
表达式中含有sin θ，cs θ与tan θ
“1”的变换
1＝sin2θ＋cs2θ＝cs2θ(1＋tan2θ)＝(sin θ±cs θ)2∓2sin θcs θ＝taneq \f(π,4)
表达式中需要利用“1”转化
和积转换
利用关系式(sin θ±cs θ)2＝1±2sin θcs θ进行变形、转化
表达式中含有sin θ±cs θ或sin θcs θ
公式一
公式二
公式三
公式四
公式五
公式六
角
α＋2kπ
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
与α终
边关系
相同
关于原
点对称
关于x轴
对称
关于y轴
对称
关于直线
y＝x对称
正弦
sinα
－sinα
－sinα
sinα
csα
csα
余弦
csα
－csα
csα
－csα
sinα
－sinα
正切
tanα
tanα
－tanα
－tanα
记忆
规律
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
奇变偶不变，符号看象限