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2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题28三角函数的图象与性质（Word版附解析）
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这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题28三角函数的图象与性质（Word版附解析），共27页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。
专题28三角函数的图象与性质
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：三角函数的定义域
题型二：三角函数的值域
题型三：三角函数的周期性、奇偶性、对称性
题型四：求三角函数的单调区间
题型五：根据单调性求参数
题型六：利用单调性比较大小及求值域
培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.
【考点预测】
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x x≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
【常用结论】
1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
【方法技巧】
1.三角函数定义域的求法：求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解．
2.三角函数值域的不同求法
①把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
②把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
3.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式．
4.周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
5.已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
6.已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
二、【题型归类】
【题型一】三角函数的定义域
【典例1】函数y＝的定义域为________．
【解析】要使函数有意义，
则
即
故函数的定义域为.
【典例2】函数y＝的定义域为________．
【解析】要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，
如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
【典例3】函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________.
【解析】要使函数有意义，则
即
解得
所以2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)，
所以函数的定义域为
.
【题型二】三角函数的值域
【典例1】f(x)＝sin3xcos x－sin xcos3x的最大值为( )
A. B. C. D.1
【解析】∵f(x)＝sin3xcos x－sin xcos3x＝sin xcos x(sin2x－cos2x)＝－sin 2xcos 2x＝－sin 4x，
∴f(x)＝sin3xcos x－sin xcos3x的最大值为.
故选B.
【典例2】当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________.
【解析】因为x∈，
所以sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x
＝3－sin x－2(1－sin2x)
＝2＋，
所以当sin x＝时， ymin＝，
当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.
即函数的值域为.
【典例3】函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________.
【解析】设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
sin xcos x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数的值域为.
【题型三】三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【典例1】下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
【解析】A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．
故选A.
【典例2】函数f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________．
【解析】若f(x)＝3sin＋1为偶函数，则－＋φ＝kπ＋，k∈Z，
即φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，π)，
∴φ＝.
∴f(x)＝3sin＋1＝3cos 2x＋1，
由2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，
∴f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
【典例3】设函数f(x)＝2sin＋，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)在上的最小值为－
D．f(x)的图象关于点对称
【解析】对于A，f(x)的最小正周期为＝π，
故A错误；
对于B，∵sin＝－≠±1，
故B错误；
对于C，当x∈时，2x－∈，
∴sin∈，
∴2sin＋∈，
∴f(x)在上的最小值为－，故C正确；
对于D，∵f ＝2sin＋＝，
∴f(x)的图象关于点对称，故D错误．
故选C.
【题型四】求三角函数的单调区间
【典例1】函数y＝|cos x|的一个单调递增区间是( )
A．[－，] B．[0，π]
C．[π，] D．[，2π]
【解析】将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．
故选D.
【典例2】设函数f(x)＝sin，x∈，则以下结论正确的是( )
A．函数f(x)在上单调递减
B．函数f(x)在上单调递增
C．函数f(x)在上单调递减
D．函数f(x)在上单调递增
【解析】由x∈得2x－∈，所以f(x)先减后增；由x∈得2x－∈，所以f(x)先增后减；由x∈得2x－∈，所以f(x)单调递减；由x∈得2x－∈，所以f(x)先减后增．
故选C.
【典例3】函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
【解析】f(x)＝sin＝sin
＝－sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
【题型五】根据单调性求参数
【典例1】若函数f(x)＝2·sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为( )
A. B. C. D.
【解析】方法一 因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋1在区间上单调递增，
所以解得ω≤，
所以正数ω的最大值是.故选B.
方法二 易知f(x)＝sin 2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝，所以
解得ω≤.所以正数ω的最大值是.故选B.
故选B.
【典例2】若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是( )
A． B．
C． D．π
【解析】f(x)＝cos x－sin x＝－sin，
当x∈，即x－∈时，
y＝sin单调递增，
则f(x)＝－sin单调递减．
因为函数f(x)在[－a，a]上是减函数，
所以[－a，a]⊆，所以0＜a≤，
所以a的最大值为.
故选A.
【典例3】若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________．
【解析】因为f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，
所以当0≤ωx≤，即0≤x≤时，
y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由已知得＝，解得ω＝.
【题型六】利用单调性比较大小及求值域
【典例1】已知函数f(x)＝2sin，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
因为y＝sin x在上单调递增，且<<，所以c
【典例2】函数f(x)＝3sin在区间上的值域为( )
A. B.
C. D.
【解析】当x∈时，2x－∈，
sin∈，
故3sin∈，
即此时函数f(x)的值域是.
故选B.
【典例3】下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
【解析】因为sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，由正弦函数y＝sin x在0°≤x≤90°上是增函数，得sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，所以sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.故选C.
三、【培优训练】
【训练一】(多选)在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！函数f(x)＝(i∈N*)的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)为周期函数，且最小正周期为π
B．函数f(x)为奇函数
C．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)的导函数f′(x)的最大值为7
【解析】对于A，因为f(x)＝sin x＋＋＋…＋，f(x＋π)＝sin(x＋π)＋＋＋…＋＝－sin x－－－…－＝－f(x)，所以π不是函数y＝f(x)的最小正周期，故A错误；对于B，因为f(－x)＝sin(－x)＋＋＋…＋＝－sin x－－－…－＝－f(x)，且函数y＝f(x)的定义域为R，所以函数y＝f(x)为奇函数，故B正确；对于C，因为f(π－x)＝sin(π－x)＋＋＋…＋＝sin x＋＋＋…＋＝f(x)，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；
对于D，f′(x)＝cos x＋cos 3x＋cos 5x＋…＋cos 13x，因为－1≤cos x≤1，－1≤cos 3x≤1，－1≤cos 5x≤1，…，－1≤cos 13x≤1，所以f′(x)＝cos x＋cos 3x＋cos 5x＋…＋cos 13x≤7，又f′(0)＝7，所以函数y＝f′(x)的最大值为7，故D正确.
故选BCD.
【训练二】如图，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x1，y1)，角β＝α＋的终边与单位圆交于点B(x2，y2)，记f(α)＝y1－y2.若角α为锐角，则f(α)的取值范围是________．
【解析】由题意可知y1＝sin α，y2＝sin β＝sin，所以f(α)＝y1－y2＝sin α－sin＝sin α＋sin α－cos α＝sin α－cos α＝sin.又因为α为锐角，即0＜α＜，所以－＜α－＜，所以－＜sin＜，则－＜f(α)＜，即f(α)的取值范围是.
【训练三】已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．
【解析】(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.
(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋kπ(k∈Z)，
所以当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π.
又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.
所以x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，
所以cos(x1－x2)＝cos＝sin，
又f(x2)＝sin＝，
故cos(x1－x2)＝.
【训练四】已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
【解析】(1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x
＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知，f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，所以－≤2x－≤2m－.
要使得f(x)在区间上的最大值为，
即sin在区间上的最大值为1，
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值为.
【训练五】已知f(x)＝sin2＋sin·cos－.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若函数y＝|f(x)|－m在区间上恰有两个零点x1，x2.
①求m的取值范围；
②求sin(x1＋x2)的值．
【解析】(1)f(x)＝sin2＋sin·cos－
＝＋sin－
＝－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
结合正弦函数的图象与性质，
可得当－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)时，函数单调递增，
∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)①令t＝2x＋，当x∈时，
t∈，sin t∈，
∴y＝∈(如图)．
∴要使y＝|f(x)|－m在区间上恰有两个零点，m的取值范围为
由正弦函数图象性质可知t1＋t2＝π，
即2x1＋＋2x2＋＝π.
∴x1＋x2＝，∴sin(x1＋x2)＝.
【训练六】已知函数f(x)＝2sin＋a＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1，且x∈[－π，π]的x的取值集合.
【解析】(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
(2)因为当x＝时，f(x)取得最大值，
即f＝2sin ＋a＋1＝a＋3＝4.
解得a＝1.
(3)由f(x)＝2sin＋2＝1，
可得sin＝－，
则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，
可解得x＝－，－，，，
所以x的取值集合为.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 下列函数中，周期为2π的奇函数为( )
A．y＝sin cos B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
【解析】y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B，C，D都不正确．
故选A.
2. f(x)＝tan x＋sin x＋1，若f(b)＝2，则f(－b)＝( )
A．0 B．3
C．－1 D．－2
【解析】因为f(b)＝tan b＋sin b＋1＝2，
即tan b＋sin b＝1.
所以f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1
＝－(tan b＋sin b)＋1＝0.
故选A.
3. 下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( )
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在及上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在及上是增函数，在上是减函数
【解析】函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．
故选B.
4. 已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f(x)≤f对于一切x∈R恒成立，则f(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
【解析】因为f(x)≤f对x∈R恒成立，则f为函数f(x)的最大值，即2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，则φ＝2kπ＋(k∈Z)，又φ∈(0，2π)，所以φ＝，所以f(x)＝sin.令2x＋∈(k∈Z)，则x∈(k∈Z)．
故选B.
5. 设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在上单调递减
【解析】函数f(x)＝cos的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误．
故选D.
6. 已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
【解析】函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin.函数f(x)的对称轴为＋＝＋kπ，解得x＝π＋2kπ(k∈Z)；令k＝0得x＝π.函数f(x)的对称中心的横坐标为＋＝kπ，解得x＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1得f(x)的一个对称中心.
故选B.
7. 若函数f(x)＝sin x＋cos x在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，则函数g(x)＝cos x－sin x在区间[a，b]上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．可以取得最大值2 D．可以取得最小值－2
【解析】f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，g(x)＝cos x－sin x＝2cos＝2sin.f(x)在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，不妨令a＋＝，b＋＝，则a＋＋＝π，b＋＋＝2π，故g(x)在[a，b]上既不是增函数，也不是减函数，g(x)在[a，b]上可以取得最小值－2.
故选D.
8. 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，且关于直线x＝对称，则下列结论正确的是( )
A．f(x)在上是减函数
B．若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则一定有f′(x0)≠0
C．f(x)≥1的解集是，k∈Z
D．f(x)图象的一个对称中心是
【解析】由f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以存在m∈Z使得ω＋＝mπ＋，得ω＝＋(m∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝，则f(x)＝2sin.令2nπ＋≤x＋≤2nπ＋，n∈Z，得4nπ＋≤x≤4nπ＋，n∈Z，故A错误；若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则f(x)在x＝x0处取得极值，所以一定有f′(x0)＝0，故B错误；由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ＋，k∈Z，故C错误；因为f＝0，所以是其图象的一个对称中心，故D正确．
选D．
【多选题】
9. 下列函数中，最小正周期为π的是( )
A.y＝cos|2x| B.y＝|cos x|
C.y＝cos D.y＝tan
【解析】A中，y＝cos |2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
B中，由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；
C中，y＝cos的最小正周期
T＝＝π；
D中，y＝tan的最小正周期T＝.
故选ABC.
10. 已知函数f(x)＝sin xcos x＋(1－2sin2x)，则有关函数f(x)的说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于点对称
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)的图象关于直线x＝对称
D.f(x)的最大值为
【解析】由题可知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
当x＝时，2x＋＝π，故函数f(x)的图象关于点对称，故A正确；
函数f(x)的最小正周期T＝＝π，故B正确；
当x＝时，2x＋＝，所以函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误；
函数f(x)的最大值为1，故D错误.
故选AB.
11. 已知函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间单调递增
C.f(x)在[－π，π]有4个零点
D.f(x)的最大值为2
【解析】f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确；当
故选AD.
12. 已知函数f(x)＝2sin xcos x－(sin2x－cos2x)，判断下列给出的四个命题，其中正确的为( )
A.对任意的x∈R，都有f＝－f(x)
B.将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到偶函数g(x)
C.函数y＝f(x)在区间上是减函数
D.“函数y＝f(x)取得最大值”的一个充分条件是“x＝”
【解析】由题意得f(x)＝2sin xcos x－(sin2x－cos2x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
对于A，对任意的x∈R，f
＝2sin＝2sin
＝2sin＝－2sin＝－f(x)，故A正确；
对于B，将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，可得g(x)＝sin＝sin，不是偶函数，故B错误；
对于C，因为x∈，
所以2x＋∈，
因为y＝sin x在上单调递减，
所以f(x)＝2sin
在区间上是减函数，故C正确；
对于D，当x＝时，2x＋＝，
所以f＝2sin ＝2，即函数y＝f(x)在x＝处取得最大值，充分性成立，
所以函数y＝f(x)取得最大值的一个充分条件是x＝，故D正确.
故选ACD.
【填空题】
13. 比较大小：sin________sin.
【解析】因为y＝sin x在上单调递增且－>－>－，故sin>sin.
14. 函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
【解析】∵f(x)＝sin－3cos x
＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴f(t)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(t)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，
∴当t＝1时，f(t)有最小值－4.
综上，f(x)的最小值为－4.
15. 设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
【解析】∵f(x)≤f 对任意的实数x都成立，
∴当x＝时，f(x)取得最大值，
即f ＝cos＝1，
∴ω－＝2kπ，k∈Z，
∴ω＝8k＋，k∈Z.
∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值.
16. 已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是________．(填序号)
①f(x)的周期是；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是，k∈Z.
【解析】函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，
∴x＝不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－
17. 已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
【解析】(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.
18. 已知函数f(x)＝sin.讨论函数f(x)在区间上的单调性并求出其值域．
【解析】令－≤2x－≤，则－≤x≤.
令≤2x－≤π，则≤x≤.
因为－≤x≤，
所以函数f(x)＝sin在区间上单调递增，在区间上单调递减．
当x＝时，f(x)取得最大值为1.
因为f＝－
所以f(x)的值域为.
19. 已知函数f(x)＝2cos2＋2sin·sin.求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心．
【解析】因为f(x)＝2cos2＋2sin·sin
＝cos＋1＋2sinsin
＝cos＋2sincos＋1
＝cos 2x＋sin 2x＋sin＋1
＝sin 2x－cos 2x＋1
＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为＝π，图象的对称中心为，k∈Z.
20. 已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
【解析】(1)因为f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，所以ω＝2.于是，f(x)＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.
21. 已知函数f(x)＝sin(2π－x)sin－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值．
【解析】(1)由题意，
得f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2x＋
＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π；
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
故所求图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，
由函数图象(图略)可知，－≤sin≤1.
即0≤sin＋≤.
故f(x)的最小值为0，最大值为.
22. 已知函数f(x)＝4tan xsincos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
【解析】(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，
函数y＝2sin z在z∈，k∈Z上单调递增．
由≤≤，k∈Z，
得≤x≤，k∈Z.
设A＝，
B＝，
易知A∩B＝.
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
专题28三角函数的图象与性质
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：三角函数的定义域
题型二：三角函数的值域
题型三：三角函数的周期性、奇偶性、对称性
题型四：求三角函数的单调区间
题型五：根据单调性求参数
题型六：利用单调性比较大小及求值域
培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.
【考点预测】
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x x≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
【常用结论】
1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
【方法技巧】
1.三角函数定义域的求法：求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解．
2.三角函数值域的不同求法
①把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
②把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
3.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式．
4.周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
5.已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
6.已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
二、【题型归类】
【题型一】三角函数的定义域
【典例1】函数y＝的定义域为________．
【解析】要使函数有意义，
则
即
故函数的定义域为.
【典例2】函数y＝的定义域为________．
【解析】要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，
如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
【典例3】函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________.
【解析】要使函数有意义，则
即
解得
所以2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)，
所以函数的定义域为
.
【题型二】三角函数的值域
【典例1】f(x)＝sin3xcos x－sin xcos3x的最大值为( )
A. B. C. D.1
【解析】∵f(x)＝sin3xcos x－sin xcos3x＝sin xcos x(sin2x－cos2x)＝－sin 2xcos 2x＝－sin 4x，
∴f(x)＝sin3xcos x－sin xcos3x的最大值为.
故选B.
【典例2】当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________.
【解析】因为x∈，
所以sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x
＝3－sin x－2(1－sin2x)
＝2＋，
所以当sin x＝时， ymin＝，
当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.
即函数的值域为.
【典例3】函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________.
【解析】设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
sin xcos x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数的值域为.
【题型三】三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【典例1】下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
【解析】A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．
故选A.
【典例2】函数f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________．
【解析】若f(x)＝3sin＋1为偶函数，则－＋φ＝kπ＋，k∈Z，
即φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，π)，
∴φ＝.
∴f(x)＝3sin＋1＝3cos 2x＋1，
由2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，
∴f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
【典例3】设函数f(x)＝2sin＋，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)在上的最小值为－
D．f(x)的图象关于点对称
【解析】对于A，f(x)的最小正周期为＝π，
故A错误；
对于B，∵sin＝－≠±1，
故B错误；
对于C，当x∈时，2x－∈，
∴sin∈，
∴2sin＋∈，
∴f(x)在上的最小值为－，故C正确；
对于D，∵f ＝2sin＋＝，
∴f(x)的图象关于点对称，故D错误．
故选C.
【题型四】求三角函数的单调区间
【典例1】函数y＝|cos x|的一个单调递增区间是( )
A．[－，] B．[0，π]
C．[π，] D．[，2π]
【解析】将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．
故选D.
【典例2】设函数f(x)＝sin，x∈，则以下结论正确的是( )
A．函数f(x)在上单调递减
B．函数f(x)在上单调递增
C．函数f(x)在上单调递减
D．函数f(x)在上单调递增
【解析】由x∈得2x－∈，所以f(x)先减后增；由x∈得2x－∈，所以f(x)先增后减；由x∈得2x－∈，所以f(x)单调递减；由x∈得2x－∈，所以f(x)先减后增．
故选C.
【典例3】函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
【解析】f(x)＝sin＝sin
＝－sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
【题型五】根据单调性求参数
【典例1】若函数f(x)＝2·sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为( )
A. B. C. D.
【解析】方法一 因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋1在区间上单调递增，
所以解得ω≤，
所以正数ω的最大值是.故选B.
方法二 易知f(x)＝sin 2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝，所以
解得ω≤.所以正数ω的最大值是.故选B.
故选B.
【典例2】若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是( )
A． B．
C． D．π
【解析】f(x)＝cos x－sin x＝－sin，
当x∈，即x－∈时，
y＝sin单调递增，
则f(x)＝－sin单调递减．
因为函数f(x)在[－a，a]上是减函数，
所以[－a，a]⊆，所以0＜a≤，
所以a的最大值为.
故选A.
【典例3】若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________．
【解析】因为f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，
所以当0≤ωx≤，即0≤x≤时，
y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由已知得＝，解得ω＝.
【题型六】利用单调性比较大小及求值域
【典例1】已知函数f(x)＝2sin，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
因为y＝sin x在上单调递增，且<<，所以c
【典例2】函数f(x)＝3sin在区间上的值域为( )
A. B.
C. D.
【解析】当x∈时，2x－∈，
sin∈，
故3sin∈，
即此时函数f(x)的值域是.
故选B.
【典例3】下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
【解析】因为sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，由正弦函数y＝sin x在0°≤x≤90°上是增函数，得sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，所以sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.故选C.
三、【培优训练】
【训练一】(多选)在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！函数f(x)＝(i∈N*)的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)为周期函数，且最小正周期为π
B．函数f(x)为奇函数
C．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)的导函数f′(x)的最大值为7
【解析】对于A，因为f(x)＝sin x＋＋＋…＋，f(x＋π)＝sin(x＋π)＋＋＋…＋＝－sin x－－－…－＝－f(x)，所以π不是函数y＝f(x)的最小正周期，故A错误；对于B，因为f(－x)＝sin(－x)＋＋＋…＋＝－sin x－－－…－＝－f(x)，且函数y＝f(x)的定义域为R，所以函数y＝f(x)为奇函数，故B正确；对于C，因为f(π－x)＝sin(π－x)＋＋＋…＋＝sin x＋＋＋…＋＝f(x)，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；
对于D，f′(x)＝cos x＋cos 3x＋cos 5x＋…＋cos 13x，因为－1≤cos x≤1，－1≤cos 3x≤1，－1≤cos 5x≤1，…，－1≤cos 13x≤1，所以f′(x)＝cos x＋cos 3x＋cos 5x＋…＋cos 13x≤7，又f′(0)＝7，所以函数y＝f′(x)的最大值为7，故D正确.
故选BCD.
【训练二】如图，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x1，y1)，角β＝α＋的终边与单位圆交于点B(x2，y2)，记f(α)＝y1－y2.若角α为锐角，则f(α)的取值范围是________．
【解析】由题意可知y1＝sin α，y2＝sin β＝sin，所以f(α)＝y1－y2＝sin α－sin＝sin α＋sin α－cos α＝sin α－cos α＝sin.又因为α为锐角，即0＜α＜，所以－＜α－＜，所以－＜sin＜，则－＜f(α)＜，即f(α)的取值范围是.
【训练三】已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．
【解析】(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.
(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋kπ(k∈Z)，
所以当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π.
又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.
所以x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，
所以cos(x1－x2)＝cos＝sin，
又f(x2)＝sin＝，
故cos(x1－x2)＝.
【训练四】已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
【解析】(1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x
＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知，f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，所以－≤2x－≤2m－.
要使得f(x)在区间上的最大值为，
即sin在区间上的最大值为1，
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值为.
【训练五】已知f(x)＝sin2＋sin·cos－.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若函数y＝|f(x)|－m在区间上恰有两个零点x1，x2.
①求m的取值范围；
②求sin(x1＋x2)的值．
【解析】(1)f(x)＝sin2＋sin·cos－
＝＋sin－
＝－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
结合正弦函数的图象与性质，
可得当－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)时，函数单调递增，
∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)①令t＝2x＋，当x∈时，
t∈，sin t∈，
∴y＝∈(如图)．
∴要使y＝|f(x)|－m在区间上恰有两个零点，m的取值范围为
由正弦函数图象性质可知t1＋t2＝π，
即2x1＋＋2x2＋＝π.
∴x1＋x2＝，∴sin(x1＋x2)＝.
【训练六】已知函数f(x)＝2sin＋a＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1，且x∈[－π，π]的x的取值集合.
【解析】(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
(2)因为当x＝时，f(x)取得最大值，
即f＝2sin ＋a＋1＝a＋3＝4.
解得a＝1.
(3)由f(x)＝2sin＋2＝1，
可得sin＝－，
则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，
可解得x＝－，－，，，
所以x的取值集合为.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 下列函数中，周期为2π的奇函数为( )
A．y＝sin cos B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
【解析】y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B，C，D都不正确．
故选A.
2. f(x)＝tan x＋sin x＋1，若f(b)＝2，则f(－b)＝( )
A．0 B．3
C．－1 D．－2
【解析】因为f(b)＝tan b＋sin b＋1＝2，
即tan b＋sin b＝1.
所以f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1
＝－(tan b＋sin b)＋1＝0.
故选A.
3. 下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( )
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在及上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在及上是增函数，在上是减函数
【解析】函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．
故选B.
4. 已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f(x)≤f对于一切x∈R恒成立，则f(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
【解析】因为f(x)≤f对x∈R恒成立，则f为函数f(x)的最大值，即2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，则φ＝2kπ＋(k∈Z)，又φ∈(0，2π)，所以φ＝，所以f(x)＝sin.令2x＋∈(k∈Z)，则x∈(k∈Z)．
故选B.
5. 设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在上单调递减
【解析】函数f(x)＝cos的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误．
故选D.
6. 已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
【解析】函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin.函数f(x)的对称轴为＋＝＋kπ，解得x＝π＋2kπ(k∈Z)；令k＝0得x＝π.函数f(x)的对称中心的横坐标为＋＝kπ，解得x＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1得f(x)的一个对称中心.
故选B.
7. 若函数f(x)＝sin x＋cos x在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，则函数g(x)＝cos x－sin x在区间[a，b]上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．可以取得最大值2 D．可以取得最小值－2
【解析】f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，g(x)＝cos x－sin x＝2cos＝2sin.f(x)在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，不妨令a＋＝，b＋＝，则a＋＋＝π，b＋＋＝2π，故g(x)在[a，b]上既不是增函数，也不是减函数，g(x)在[a，b]上可以取得最小值－2.
故选D.
8. 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，且关于直线x＝对称，则下列结论正确的是( )
A．f(x)在上是减函数
B．若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则一定有f′(x0)≠0
C．f(x)≥1的解集是，k∈Z
D．f(x)图象的一个对称中心是
【解析】由f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以存在m∈Z使得ω＋＝mπ＋，得ω＝＋(m∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝，则f(x)＝2sin.令2nπ＋≤x＋≤2nπ＋，n∈Z，得4nπ＋≤x≤4nπ＋，n∈Z，故A错误；若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则f(x)在x＝x0处取得极值，所以一定有f′(x0)＝0，故B错误；由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ＋，k∈Z，故C错误；因为f＝0，所以是其图象的一个对称中心，故D正确．
选D．
【多选题】
9. 下列函数中，最小正周期为π的是( )
A.y＝cos|2x| B.y＝|cos x|
C.y＝cos D.y＝tan
【解析】A中，y＝cos |2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
B中，由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；
C中，y＝cos的最小正周期
T＝＝π；
D中，y＝tan的最小正周期T＝.
故选ABC.
10. 已知函数f(x)＝sin xcos x＋(1－2sin2x)，则有关函数f(x)的说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于点对称
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)的图象关于直线x＝对称
D.f(x)的最大值为
【解析】由题可知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
当x＝时，2x＋＝π，故函数f(x)的图象关于点对称，故A正确；
函数f(x)的最小正周期T＝＝π，故B正确；
当x＝时，2x＋＝，所以函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误；
函数f(x)的最大值为1，故D错误.
故选AB.
11. 已知函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间单调递增
C.f(x)在[－π，π]有4个零点
D.f(x)的最大值为2
【解析】f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确；当
故选AD.
12. 已知函数f(x)＝2sin xcos x－(sin2x－cos2x)，判断下列给出的四个命题，其中正确的为( )
A.对任意的x∈R，都有f＝－f(x)
B.将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到偶函数g(x)
C.函数y＝f(x)在区间上是减函数
D.“函数y＝f(x)取得最大值”的一个充分条件是“x＝”
【解析】由题意得f(x)＝2sin xcos x－(sin2x－cos2x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
对于A，对任意的x∈R，f
＝2sin＝2sin
＝2sin＝－2sin＝－f(x)，故A正确；
对于B，将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，可得g(x)＝sin＝sin，不是偶函数，故B错误；
对于C，因为x∈，
所以2x＋∈，
因为y＝sin x在上单调递减，
所以f(x)＝2sin
在区间上是减函数，故C正确；
对于D，当x＝时，2x＋＝，
所以f＝2sin ＝2，即函数y＝f(x)在x＝处取得最大值，充分性成立，
所以函数y＝f(x)取得最大值的一个充分条件是x＝，故D正确.
故选ACD.
【填空题】
13. 比较大小：sin________sin.
【解析】因为y＝sin x在上单调递增且－>－>－，故sin>sin.
14. 函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
【解析】∵f(x)＝sin－3cos x
＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴f(t)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(t)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，
∴当t＝1时，f(t)有最小值－4.
综上，f(x)的最小值为－4.
15. 设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
【解析】∵f(x)≤f 对任意的实数x都成立，
∴当x＝时，f(x)取得最大值，
即f ＝cos＝1，
∴ω－＝2kπ，k∈Z，
∴ω＝8k＋，k∈Z.
∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值.
16. 已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是________．(填序号)
①f(x)的周期是；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是，k∈Z.
【解析】函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，
∴x＝不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－
17. 已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
【解析】(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.
18. 已知函数f(x)＝sin.讨论函数f(x)在区间上的单调性并求出其值域．
【解析】令－≤2x－≤，则－≤x≤.
令≤2x－≤π，则≤x≤.
因为－≤x≤，
所以函数f(x)＝sin在区间上单调递增，在区间上单调递减．
当x＝时，f(x)取得最大值为1.
因为f＝－
所以f(x)的值域为.
19. 已知函数f(x)＝2cos2＋2sin·sin.求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心．
【解析】因为f(x)＝2cos2＋2sin·sin
＝cos＋1＋2sinsin
＝cos＋2sincos＋1
＝cos 2x＋sin 2x＋sin＋1
＝sin 2x－cos 2x＋1
＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为＝π，图象的对称中心为，k∈Z.
20. 已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
【解析】(1)因为f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，所以ω＝2.于是，f(x)＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.
21. 已知函数f(x)＝sin(2π－x)sin－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值．
【解析】(1)由题意，
得f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2x＋
＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π；
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
故所求图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，
由函数图象(图略)可知，－≤sin≤1.
即0≤sin＋≤.
故f(x)的最小值为0，最大值为.
22. 已知函数f(x)＝4tan xsincos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
【解析】(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，
函数y＝2sin z在z∈，k∈Z上单调递增．
由≤≤，k∈Z，
得≤x≤，k∈Z.
设A＝，
B＝，
易知A∩B＝.
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
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