2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题26两角和与差的正弦、余弦和正切（Word版附解析）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题26两角和与差的正弦、余弦和正切（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。


专题26两角和与差的正弦、余弦和正切
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：和差公式的直接应用
题型二：三角函数公式的逆用与变形应用
题型三：三角函数公式中变“角”
题型四：三角函数公式中变“名”

培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
【考点预测】
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcos__α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).
【常用结论】
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
【方法技巧】
1.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
2.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
3.常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．
二、【题型归类】
【题型一】和差公式的直接应用
【典例1】已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)
A. B. C. D.
【解析】因为3cos 2α－8cos α＝5，所以3(2cos2α－1)－8cos α＝5，所以6cos2α－8cos α－8＝0，所以3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝2(舍去)或cos α＝－，因为α∈(0，π)，所以sin α＝＝.
故选A.
【典例2】已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B. C. D．－
【解析】因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
因为tan(π－β)＝＝－tan β，
所以tan β＝－，
则tan(α－β)＝＝－.
故选A.
【典例3】已知α∈，sin α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
【解析】(1)因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－，
故sin＝sin cos α＋cos sin α
＝×＋×＝－.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，所以cos＝cos cos 2α＋sin sin 2α＝×＋×＝－.
【题型二】三角函数公式的逆用与变形应用
【典例1】在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
【解析】由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
故选B.
【典例2】已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
【解析】因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
所以sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1　①，
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0　②，
①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
所以sin(α＋β)＝－.
【典例3】已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
【解析】cos2＝＝＋sin 2α＝＋×＝.
故选D.
【题型三】三角函数公式中变“角”
【典例1】(多选)若tan＝2，则(　　)
A．tan α＝ B．tan α＝
C．tan 2α＝ D．tan 2α＝
【解析】tan α＝tan＝
＝＝，tan 2α＝＝.
故选BD.
【典例2】已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则cos 2α＝________．
【解析】因为α，β都是锐角，所以0<α＋β<π，－<α－β<，
又因为cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，
所以sin(α＋β)＝，cos(α－β)＝，
则cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝×－×＝－.
【题型四】三角函数公式中变“名”
【典例1】求值：－sin 10°.
【解析】原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝＝＝.
【典例2】求4sin 20°＋tan 20°的值．
【解析】原式＝4sin 20°＋
＝＝
＝＝.
三、【培优训练】
【训练一】如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)求2α－β的值.
【解析】(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，
因为S△OAM＝|OA|·|OM|sin α＝，
所以sin α＝，又α为锐角，
所以cos α＝.
因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是，
所以sin β＝，cos β＝－，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
(2)因为sin α＝，cos α＝，cos(α－β)＝－，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，
所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－，
因为α为锐角，sin α＝＞，
所以α∈，所以2α∈，
又β∈，所以2α－β∈，
所以2α－β＝－.
【训练二】已知x，y∈，sin(x＋y)＝2sin(x－y)，则x－y的最大值为(　　)
A. B. C. D.
【解析】由sin(x＋y)＝2sin(x－y)得
sin xcos y＋cos xsin y
＝2sin xcos y－2cos xsin y，
则tan x＝3tan y，
所以tan(x－y)＝
＝＝≤，
当且仅当tan y＝时等号成立，
由于f(x)＝tan x在x∈上单调递增，
又x，y∈，
则x－y的最大值为.
【训练三】已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为(　　)
A.＋ B.－
C.＋ D.－
【解析】由tan α－tan β＝3，得－＝3，
即＝3.
∴sin(α－β)＝3cos αcos β.
又知α－β＝，∴cos αcos β＝.
而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，
∴sin αsin β＝－.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝－.
故选D.
【训练四】已知函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．
【解析】(1)f＝sin＝sin＝－.
(2)f＝sin
＝sin＝(sin 2θ－cos 2θ)．
因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝，
cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝，
所以f＝(sin 2θ－cos 2θ)
＝×＝.
【训练五】已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
【解析】(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，
即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.
又2α∈，所以cos 2α＝ ＝，
所以tan 2α＝＝.
(2)因为β∈，所以β－∈，
又sin＝，所以cos＝，
于是sin 2＝2sin·cos＝.
又sin 2＝－cos 2β，
所以cos 2β＝－，
又2β∈，所以sin 2β＝，
又cos2α＝＝，α∈，
所以cos α＝，sin α＝.
所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝×－×
＝－.
【训练六】设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．
【解析】由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，所以α－β＝，
所以即≤α≤π，
所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sin＋sin(α－2α＋π)
＝cos α＋sin α＝sin.
因为≤α≤π，所以≤α＋≤，
所以－1≤sin≤1，即取值范围为[－1，1]．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 若sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
【解析】因为sin θ＝cos(2π－θ)＝cos θ，所以tan θ＝，所以tan 2θ＝＝＝－.
故选C.
2. 的值为(　　)
A． B．
C．－ D．－
【解析】原式＝
＝＝tan(45°＋15°)＝.
故选B.
3. 已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|<，则sin 2θ＝(　　)
A. B.
C. D.
【解析】因为＝3cos(2π＋θ)，所以＝3cos θ.
又|θ|<，故sin θ＝，cos θ＝，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，
故选C.
4. 若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝(　　)
A. B.
C.或 D.或
【解析】因为α，β都是锐角，且cos α＝<，
所以<α<，sin α＝＝，
又sin(α＋β)＝<，
所以<α＋β<π，所以cos(α＋β)＝－＝－.
cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝.
故选A.
5. 已知cos＝，则sin 2α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
【解析】法一：因为cos＝，所以sin 2α＝sin＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝.故选C．
法二：因为cos＝，所以(cos α＋sin α)＝，所以cos α＋sin α＝，平方得1＋sin 2α＝，得sin 2α＝.
故选C．
6. 已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　)
A． B．－
C． D．±
【解析】因为cos＝，
所以cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝
＝cos＝×＝.
故选A．
7. 已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，所以log＝log52＝4.
故选C．
8. 已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan －2，则sin等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
【解析】tan α＋tan ＝2tan αtan －2⇒＝－2⇒tan＝－2，因为α为第二象限角，所以sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cossin －sincos ＝－.
故选C.
【多选题】
9. 下面各式中，正确的是(　　)
A．sin＝sin cos ＋cos
B．cos ＝sin －cos cos
C．cos＝cos cos ＋
D．cos ＝cos －cos
【解析】∵sin＝sin cos ＋cos sin
＝sin cos ＋cos ，∴A正确；
∵cos ＝－cos ＝－cos
＝sin －cos cos ，∴B正确；
∵cos＝cos＝cos cos ＋，∴C正确；
∵cos ＝cos≠cos －cos ，∴D不正确．
故选ABC.
10. 下列四个选项中，化简正确的是(　　 )
A．cos(－15°)＝
B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝
D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
【解析】对于A　方法一　原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝，A错误．
方法二　原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.
对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B正确．
对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，C正确．
对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝，D正确．
故选BCD.
11. 已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)的值域为(－2,2)
D．f(x)的图象关于对称
【解析】∵f(x)＝＝－2sin，
其中cos≠0，
∴≠1，
∴f(x)的值域为(－2,2)；由T＝＝π，得f(x)的最小正周期为π；令2x＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－(k∈Z)，即f(x)的图象关于对称．
故选ACD.
12. 下列结论正确的是(　　)
A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)
B．3sin x＋3cos x＝3sin
C．f(x)＝sin ＋cos 的最大值为2
D．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1
【解析】对于A，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]
＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，
故A正确；
对于B，
3sin x＋3cos x＝6
＝6sin，故B错误；
对于C，f(x)＝sin ＋cos ＝sin，
所以f(x)的最大值为，故C错误；
对于D，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°
＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D正确．
故选AD.
【填空题】
13. sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.
【解析】sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).
14. 已知sin＝，α∈，则cos的值为________.
【解析】由已知得cos α＝，sin α＝－，
所以cos＝cos α＋sin α＝－.
15. tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.
【解析】∵tan 25°－tan 70°
＝tan(25°－70°)(1＋tan 25°tan 70°)
＝tan(－45°)(1＋tan 25°tan 70°)
＝－1－tan 25°tan 70°
∴tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝－1.
16. 已知sin 10°＋mcos 10°＝2cos 140°，则m＝________.
【解析】由题意可得m＝＝
＝＝＝－.
【解答题】
17. 已知α∈，tan α＝，求tan 2α和sin的值．
【解析】因为tan α＝，
所以tan 2α＝＝＝.
且＝，即cos α＝2sin α.
又sin2α＋cos2α＝1，所以5sin2α＝1.
又α∈，所以sin α＝，cos α＝.
所以sin＝sin αcos －cos αsin
＝×－×＝－.
18. 已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cos β的值．
【解析】(1)因为α，β∈，所以－<α－β<.
又因为tan(α－β)＝－<0，
所以－<α－β<0，
即sin(α－β)＝－cos(α－β)，
又sin2 (α－β)＋cos2(α－β)＝1，
解得cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝，
因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)＝×＋×＝.
19. 已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
【解析】(1)tan＝＝＝－3.
(2)＝
＝＝＝1.
20. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
【解析】(1)由角α的终边过点P，得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，得cos α＝－，
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α得
cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
21. 已知A，B均为钝角，且sin A＝，sin B＝，求A＋B的值．
【解析】因为A，B均为钝角，且sin A＝，sin B＝，
所以cos A＝－＝－，
cos B＝－＝－，
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝－×－×＝.又因为 22. 已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cos β的值．
【解析】(1)∵α，β∈，∴－＜α－β＜.
又∵tan(α－β)＝－＜0，
∴－＜α－β＜0.
∴sin(α－β)＝－.
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.
∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.
∴cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.