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专题17 同角三角函数的基本关系和诱导公式5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版）
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这是一份专题17 同角三角函数的基本关系和诱导公式5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版），共47页。试卷主要包含了同角三角函数基本关系，三角函数诱导公式，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、同角三角函数基本关系
1、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：．
（2）商数关系：；
二、三角函数诱导公式
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
注：1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2、“”方程思想知一求二．
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的基本关系式得到关于的方程，再利用倍角公式即可得解.
【详解】因为，又，
所以，则，即，
则，即，所以或（舍去），
所以.
故选：B.
2．（2024·四川巴中·模拟预测）勾股定理，在我国又称为“商高定理”，最早的证明是由东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，他利用了勾股圆方图，此图被称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案（如图所示），若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形内的概率为，则“赵爽弦图”里的直角三角形中最小角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设正方形的边长，较小的角为，则中间小正方形的边长为，由题意可得，显然可得，即可得到，从而求出.
【详解】设正方形的边长，较小的角为，则中间小正方形的边长为，
由题意可得，
显然，所以，所以，
又，所以，
所以，
所以，所以.
故选：D
3．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用已知的三角函数值，利用换元法，结合三角函数的诱导公式，可得答案.
【详解】令，则，
从而
.
故选：A.
4．（2024·山西·模拟预测）已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】注意到，利用同角三角函数的关系求角的正弦，再利用诱导公式求角的正弦、余弦，从而得到的正切.
【详解】因为为锐角，所以且，所以得，
由诱导公式得，.
所以.
故选:D
5．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）已知角为钝角，且角终边上有一点，则角（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的诱导公式及三角函数的定义即可求解.
【详解】点，由诱导公式可化为，
由三角函数的定义知，，
又因为为钝角，，
所以.
故选:B.
6．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，在在角终边上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义求角的三角函数值，再利用诱导公式化简求值.
【详解】因为点在角终边上，则，，
所以,
.
故选：B
7．（2024高三上·四川成都·期中）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若角的终边与角的终边相同，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角函数定义求得，再利用诱导公式化简即可.
【详解】由题意得，
，
故选：C.
8．（2024·全国·模拟预测）已知直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直线一般方程可求得，再利用诱导公式及同角三角函数之间的基本关系可得其结果.
【详解】由直线的方程为，得斜率，
则
；
故选：A．
9．（2024·陕西宝鸡·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用诱导公式对已知条件化简得；再利用同角三角函数基本关系求出；最后利用二倍角公式即可求解.
【详解】.
由可得：.
因为，
所以.
所以.
故选：C.
10．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由诱导公式和同角三角函数关系得到，再利用正切和角公式得到方程，求出，利用余弦二倍角，齐次化求出答案.
【详解】
因为，
所以，
故，
因为，
所以，故，
解得，
所以.
故选：B．
11．（2024·全国·模拟预测）已知圆，过点，作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设切线的方程为，求得圆心到切线的距离，求得的值，得到，结合，即可求解.
【详解】由题意知，圆的圆心为，半径，
且切线，的斜率都存在，
设切线的方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到切线的距离，
解得或，所以，
在四边形中，因为，可得，
所以.
故选：A．
12．（2024·河南郑州·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式，平方关系和商关系即可求解.
【详解】.
故选：D
13．（2024·陕西西安·二模）已知，则（ ）
A．B．C．-D．
【答案】A
【分析】因为，由诱导公式可得选项.
【详解】.
故选：A.
14．（2024·广东深圳·模拟预测）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，借助于诱导公式，即可求得结果．
【详解】，
的值为，
故选：
15．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查诱导公式的基础运用，套用公式即可.
【详解】利用诱导公式可得，
故选：B.
16．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先化简已知得，再求的值.
【详解】由得，
所以在第一、二象限，
所以.
故选：D.
17．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的平方关系可得出关于、的方程组，求出这两个量的值，即可求得的值.
【详解】因为，
由题意可得，解得，
因此，.
故选：B.
18．（2024高一下·湖南长沙·阶段练习）已知，且，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将已知等式两边平方，利用三角函数的基本关系求得的值，结合的范围确定与的正负，再利用完全平方公式及三角函数的基本关系可求得的值.
【详解】因为，两边平方得，
故，所以与导号，
又因为，所以，，
所以.
故选：C.
19．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）已知是三角形的一个内角，且满足，则（ ）
A．2B．1C．3D．
【答案】A
【分析】利用平方关系可求得，可解得，再结合是三角形的一个内角即可得，即可求出.
【详解】将两边同时平方可得，即；
所以
若，解得，这与是三角形的一个内角矛盾，
所以，解得，此时求得.
故选：A.
20．（2024高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意利用任意角的三角函数的定义，结合诱导公式可求得结果.
【详解】因为平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称，
所以，即，
所以，
因为，
所以，
故选：B
21．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件
【答案】D
【分析】根据诱导公式的逆运用以及由三角函数的概念即可判断其充分性，由代入化简计算即可判断其必要性，从而得出结论.
【详解】若，则，
故，即．
又，故或，充分性不成立；
若，即，所以，
所以，所以必要性成立．
故选：D．
22．（2024·陕西榆林·二模）已知，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式和倍角公式化简求值.
【详解】，
由，有，
两边平方得，则，
故.
故选：C.
23．（2024高三上·北京海淀·阶段练习）已知为第二象限的角，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据平方关系求出，再利用诱导公式即可得解.
【详解】因为为第二象限的角，且，
所以，
所以.
故选：A.
24．（2024高一上·山西太原·阶段练习）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据角的范围及正弦值求出余弦值，进而利用诱导求出答案.
【详解】因为，所以，
又，所以，
.
故选：C
25．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合诱导公式与同角三角函数的基本关系运算即可得.
【详解】由题意得，则，
故
.
故选：D.
26．（2024高三上·云南昆明·阶段练习）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由诱导公式可得出，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合同角三角函数的商数关系可求得的值.
【详解】因为，则，
所以，，
联立，解得，
因此，.
故选：B.
27．（2024高三上·四川成都·阶段练习）已知角的终边过点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函数定义，结合诱导公式计算得解.
【详解】由角的终边过点，得，，
所以.
故选：A
28．（2024高三上·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据任意角的三角函数的定义可得，再利用诱导公式、二倍角公式运算求解.
【详解】由题意得，，则，
则
．
故选：A．
29．（2024高三上·安徽·期中）已知是角的终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义可得，进而由商数关系可求.
【详解】因为是角的终边上一点，
所以，
则，
故选：B.
30．（2024高三上·安徽·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】C
【分析】根据终边上的点可求得：，，再结合三角函数诱导公式从而求解.
【详解】因为：（为坐标原点），
所以:由三角函数的定义，得，，
所以：.故C项正确.
故选：C.
31．（2024高一上·江苏常州·阶段练习）若 ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.
【详解】依题，令，则，
，
所以
.
故选：A
32．（2024高三上·重庆永川·期中）已知，，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】由条件化简求得，将所求式子利用三角恒等变换化简再根据同角三角函数关系式转化为正切求得结果.
【详解】由，即，
又，解得，
.
故选：B.
33．（2024高一下·山东潍坊·阶段练习）下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】应用诱导公式以及同角三角函数的基本关系对四个选项验证即可.
【详解】对于A，由诱导公式得，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B.
二、多选题
34．（2024·辽宁·模拟预测）设为第一象限角,,则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】首先由题意得是第一象限角,所以,再利用诱导公式和同角三角函数关系式对选项逐个计算确定正确答案.
【详解】由题意得,
则,
若在第四象限,则,
所以也是第一象限角,即,,A项错误;
,B项正确;
,C项错误;
,D项正确.
故选:BD.
35．（江苏省宜兴中学、泰兴中学、泰州中学2023-2024学年高一上学期12月联合质量检测数学试卷）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得Q点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.
【详解】点的初始位置，锐角，
设时刻两点重合，则，即，
此时点，
即，，
当时，，故A正确；
当时，，即，故C正确；
当时，，即，故D正确；
由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B错误，
故选：ACD.
36．（2024高一下·河南焦作·阶段练习）已知角，是锐角三角形的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据三角形内角和及诱导公式，三角函数单调性一一判定选项即可.
【详解】由题易知，
，，
即A、B、C结论成立.
对于D，由锐角三角形知，，得，
因此，所以错误.
故选：ABC
37．（2024高一下·河北沧州·阶段练习）在△ABC中，下列关系式恒成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A正确；
对于B中由，所以B正确；
对于C中，由
，所以C正确；
对于D中，
，所以D错误．
故选：ABC.
38．（2024高一上·江苏无锡·阶段练习）下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】本题可通过诱导公式将转化为，A正确，然后通过诱导公式将转化为，B正确，最后根据以及同角三角函数关系判断出C错误以及D正确.
【详解】A项：，A正确；
B项：因为，
所以，B正确；
C项：因为，
所以，C错误；
D项：，D正确，
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查诱导公式以及同角三角函数关系的应用，考查的公式有、、、等，考查化归与转化思想，是中档题.
39．（2024高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】对于A、B，由同角三角函数的基本关系进行化简证明即可，对于C、D，由诱导公式进行化简证明即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
40．（2024·全国）若，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
41．（2024高一上·福建莆田·阶段练习）已知，，那么 .
【答案】
【分析】由同角三角函数关系及已知条件求得，代入目标式求值即可.
【详解】由，，则，
所以.
故答案为：
42．（2024高三·全国·对口高考）若，求的值为 .
【答案】/
【分析】由已知求出，再将化为，利用齐次式法求值，即得答案.
【详解】由可得，
因为不适合，故，
所以，
故，
故答案为：
43．（2024高三上·江西南昌·阶段练习）若，则 .
【答案】
【分析】分式上下同除以，化弦为切，代入求值即可.
【详解】，
.
故答案为：.
44．（2024·上海浦东新·模拟预测）已知是关于的方程的两根，则 .
【答案】
【分析】先通过根与系数的关系得到的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得.
【详解】由题意：，所以，
所以，即，解得.
故答案为：.
45．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 ．
【答案】
【分析】
由立方差公式，得.将两边平方，解得，代入即可得解.
【详解】由题知，
因为，两边平方有，
所以，所以.
故答案为：.
46．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）已知，，且为第二象限角，则 .
【答案】/
【分析】由已知可求出的取值范围，由同角三角函数的平方关系求出的值，可求出的值，再利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】因为，，且为第二象限角，
则，解得或，
因为，
整理可得，即，解得（舍）或，
所以，，，
所以，，
因此，.
故答案为：.
47．（2024·全国·模拟预测）若，则的最大值为 ，的最小值为 ．
【答案】 9 1
【分析】借助诱导公式将函数式转化，再利用两点间的距离公式将数转化为形，利用形的直观来求最值.
【详解】因为，
所以
，
此式可看作点到点的距离．
而点的轨迹是圆．
又点到圆心的距离为2，所以的最大值，的最小值．
故答案为：9；1
【点睛】将所给函数式展开必将陷入命题人的圈套，此时要整体把握目标，借助诱导公式将函数式转化，再利用两点间的距离公式将数转化为形，利用形的直观来求最值，既简单又节省时间．本题不仅要求学生具备扎实的基本功，具有整体把握目标的能力，还对学生分析问题和解决问题的能力、逻辑推理能力、运算求解能力等要求较高．
48．（2024·四川绵阳·三模）已知，，则 .
【答案】/
【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解.
【详解】由得，
由可得，故.
故答案为：
49．（2024·山西阳泉·三模）已知，且，则 ．
【答案】/
【分析】整体法诱导公式结合同角三角函数关系求出答案.
【详解】因为，所以，故，
所以.
。
故答案为：
50．（2024·浙江温州·二模）已知，则 .
【答案】
【分析】利用同角三角函数的关系化简为齐次式，再代入，可得答案.
【详解】因为，
所以、.
故答案为：
51．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知，则的值是 ．
【答案】5
【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化简，在将代入即可.
【详解】因为，
所以
，
故答案为：5.
52．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 ．
【答案】
【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，并分析三角函数值的正负即可求解.
【详解】解：已知①，则，
，
，，则，，
②，
联立①②，得，
，
故答案为：.
53．（2024高三上·湖南衡阳·期中）已知，则 ．
【答案】
【分析】平方，结合同角三角函数平方关系即正弦二倍角公式求解.
【详解】两边平方得：
，
解得：.
故答案为：
54．（2024·全国·模拟预测）已知，则 .
【答案】/0.2
【分析】由三角函数的诱导公式化简可得.
【详解】由题可得.
故答案为：
55．（2024高三上·内蒙古包头·阶段练习）若，则 .
【答案】
【分析】以为整体，根据诱导公式运算求解.
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
56．（2024高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）已知，且，则 ．
【答案】/
【分析】设,,则,，从而将所求式子转化成求的值，利用的范围确定的符号.
【详解】设,,那么,从而.
于是.因为,
所以.由,得.
所以,
所以.
故答案为：.
57．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知角的终边与单位圆交于点，则 .
【答案】/-0.5
【分析】根据任意角三角比的定义和诱导公式求解.
【详解】因为角的终边与单位圆交于点，所以
，
故答案为：.
58．（2024高一·全国·课后作业）若角的终边落在直线上，则 ．
【答案】或
【分析】化简得到，考虑角为第一或第三象限角两种情况，计算得到答案.
【详解】因为角的终边落在直线上，所以角为第一或第三象限角，
，
当角为第一象限角时，，；
当角为第三象限角时，，．
故答案为：或.
四、解答题
59．（2024高三·全国·专题练习）已知角的终边落在直线上．求
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】由角的终边落在直线上可得，再根据同角函数的关系求解即可.
【详解】（1）由角的终边落在直线上可得
则原式=；
（2）原式.
60．（2024高一下·安徽·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P，若点位于轴上方且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，，三个直接的关系，可得.
（2）由可得.
【详解】（1）由三角函数的定义，，，
两边平方，得
则，，，
所以，
.
（2）由（1）知，，
.
61．（2024高一上·广东东莞·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的横坐标为.
(1)求的表达式，并求；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义，得到，进而求得的值；
（2）根据题意，求得，进而三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】（1）解：因为点，可得，所以，
根据三角函数的定义，可得，
所以.
（2）解：由，可得，
因为，所以，
当时，即，可得；
当时，即，可得，
综上可得，的值为.
62．（2024高一·全国·课后作业）求证:.
【答案】见解析
【解析】从左边入手，先按多项式展开，再利用“1”的代换，构造完全平方式等于右边得证.
【详解】左边
右边.
所以原等式成立.
【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数基本关系式证明等式问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
63．（2024高二·全国·课后作业）证明：.
【答案】证明见解析
【解析】直接利用商数关系和平方关系，从左边证明等于右边即可.
【详解】左边=，
，
，
=右边.
即原等式成立.
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的运用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
64．（2024高一上·四川广安·期末）已知
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用诱导公式及同角三角函数的关系计算即可.
【详解】（1）因为
，
所以.
（2）由诱导公式可知，即，
又是第三象限角，所以，
所以.
65．（2024高一·全国·课后作业）证明：，．
【答案】证明见解析
【分析】按的奇偶性分类讨论，用诱导公式变形可证．
【详解】证明：当n为偶数时，令，，
左边．
右边，∴左边=右边．
当n为奇数时，令，，
左边
．
右边，∴左边=右边．
综上所述，，成立．
66．（2024高一·全国·专题练习）求证：．
【答案】证明见解析.
【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.
【详解】左边==–tanα=右边，
∴等式成立．
67．（2024高一上·全国·课后作业）（1）求证：；
（2）设，求证.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.
【详解】（1）左边= =右边，所以原等式成立.
（2）方法1：左边= ===右边，所以原等式成立.
方法2：由，得，
所以，等式左边= ===右边，等式成立.
68．（2024高三·全国·对口高考）若，求的值.
【答案】
【分析】由已知可求出，利用诱导公式化简，进而结合齐次式法求值，即得答案.
【详解】由可得，
故
.
69．（2024高三上·河南周口·期中）（1）若，求的值；
（2）设，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由同角关系得，然后化求值为关于的齐次式，再弦化切代入计算；
（2）由诱导公式、同角关系化简后代入计算．
【详解】（1） ，则，，
.
（2）∵
，
∴．
70．（2024高三上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，是坐标原点，角的终边与单位圆的交点坐标为，射线绕点按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点，点的纵坐标关于的函数为
(1)求函数的解析式，并求的值；
(2)若，，求的值
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；
（2）根据（1）中结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.
【详解】（1）因为点在单位圆上，所以由三角函数的定义可得，
又因为，所以，
所以，
.
（2）由可得，即，
由于得，又，所以，
由平方关系得，
所以.
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
（一）
同角求值
（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．
（2）若无象限条件，一般“弦化切”．
题型1：同角求值
1-1．（2024高一上·广东江门·期末）已知 ，求 ，的值.
【答案】为第四象限角时，，；为第二象限角时，，
【分析】借助同角三角函数基本关系计算即可得.
【详解】由，故有，即，
又，故，
即，则，
当时，即为第四象限角时，，
当时，即为第二象限角时，.
1-2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 .
【答案】0
【分析】利用同角的三角函数关系直接求解，注意分类讨论．
【详解】因为且，可知为第二象限角或第三象限角，
由得
（1）当为第二象限角时，，，；
（2）当为第三象限角时，，，；
综上可知：.
故答案为：0.
1-3．（2024高三·全国·对口高考）已知，求值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将平方即可求得答案；
（2）利用立方和公式结合同角的三角函数关系即可求得答案；
（3）结合（1）的结果，将化为，继而化为，即可得到关于的方程，即可求得答案.
【详解】（1）由可得，
即；
（2）
；
（3）由于，故，
即，
由于，故，
故.
1-4．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，是关于的一元二次方程的两根．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用韦达定理以及同角三角函数的平方关系求解即可；
（2）根据已知条件判断出，所以利用即可求解.
【详解】（1）由已知得①，②，
将①两边同时平方得，
则，所以；
（2）∵，，，
∴，，∴，
.
1-5．（2024高三·山西运城·学业考试）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据，分式同除可得.
（2）根据先将转化为，再将分式同除可得.
【详解】（1）
（2）
（二）
诱导求值与变形
（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．
（2）通过等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．
（3）等可利用诱导公式把的三角函数化
题型2：诱导求值与变形
2-1．（2024高三·全国·专题练习）的值为
【答案】/
【分析】根据三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解.
【详解】由三角函数的诱导公式，可得：
.
故答案为：.
2-2．（2024高一下·甘肃天水·期末）化简
【答案】
【分析】应用诱导公式化简后，根据同角三角函数的关系得解.
【详解】原式．
2-3．（2024高三上·福建莆田·期中）已知则 ．
【答案】/
【分析】通过换元，得到，，再利用诱导公式即可求出结果.
【详解】令，则，，
因为，所以，所以，
故答案为：.
2-4．（2024高三·江苏·对口高考）已知，且，则的值是 .
【答案】
【分析】先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得.
【详解】，因为，所以，所以，所以，所以.
故答案为：.
2-5．（2024高三上·山东泰安·期中）已知是第四象限角，且，则 .
【答案】
【分析】利用诱导公式与同角三角函数的基本关系进行求解即可.
【详解】由题意，得，
即
因为是第四象限角，即，
所以，
则，
所以，
故答案为：-2
2-6．（2024高一上·湖南长沙·阶段练习）若、是关于的方程的两个根，则 .
【答案】/
【分析】先根据韦达定理得到，进而求得，，再结合诱导公式化简求值即可.
【详解】由题意得，，则或，
又，即，解得或（舍去），
则，
所以
.
故答案为：.
2-7．（2024高三·全国·专题练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正切函数的诱导公式，结合特殊角的正切值进行求解即可.
【详解】．
故选：C．
（三）
同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
（1）利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
（2）注意角的范围对三角函数符号的影响．
题型3：三角函数式化简求值
3-1．（2024高三上·江苏淮安·阶段练习）已知为第二象限角，且满足，则
【答案】/
【分析】根据为第二象限角得到，利用同角三角函数关系式化简得到
的值，两边平方得到，再由诱导公式化简可得答案.
【详解】因为为第二象限角，所以，
，
所以，两边平方可得，
则.
故答案为：.
3-2．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知，若，则= .
【答案】
【分析】将所求式利用同角的三角函数基本关系式进行三角恒等变换化简即得.
【详解】由知于是，
故
故答案为：.
3-3．（2024高一上·天津和平·期末）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】利用诱导公式化简，再进行弦化切代入即可.
【详解】
因为角的终边经过点，则，则，
故选：C.
3-4．（2024高三·全国·专题练习）已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝ .
【答案】18
【分析】由已知求得sinθ，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值.
【详解】由，可得，
∴
.
故答案为：18.
3-5．（2024高三上·江苏南通·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意结合倍角公式以及齐次式问题分析求解.
【详解】因为，
又因为，即，且，
可得，
则，
所以.
故选：C.
题型4：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
4-1．（2024高一上·江苏淮安·期末）已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式化简，判断，结合计算，即可得答案.
（2）判断，求出其值，化简为，代入求值即可.
【详解】（1）由于，且，
故，且，
则；
（2）由于，
因为，故，则，
所以.
4-2．（2024高一下·山东东营·期中）已知角满足
(1)若角是第三象限角，求的值;
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据同角三角函数关系，求得，即可求得结果；
（2）利用诱导公式化简，根据（1）中所求，即可求得结果.
【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，
消去得，解得或
因为角是第三象限角，所以，，
（2），
当角是第一象限角时，，
当角是第三象限角时，，
4-3．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的值．
【答案】
【分析】根据诱导公式和正余弦齐次式的求法可将所求式子化为关于的式子，代入的值即可得到结果.
【详解】因为，
，
所以，
又，所以.
故答案为：.
4-4．（2024高一上·广东深圳·期末）已知．
(1)求的值．
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用平方关系及商数关系有，即可求值；
（2）应用诱导公式化简，再由商数关系及已知求值.
【详解】（1）；
（2）.
（四）
三角恒等式的证明
三角恒等式的证明中涉及到同角三角函数基本关系，和角公式，差角公式，二角公式，辅助角公式等基本知识点，理解和掌握这些基本知识点是解答该类问题的基础和关键
题型5：三角恒等式的证明
5-1．（2024高一·全国·课后作业）求证：当或3时，.
【答案】证明见解析
【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可.
【详解】当时，左边=；
当时，左边=；
综上，或有原等式恒成立.
5-2．（2024高一·全国·课前预习）求证：＝．
【答案】证明见解析
【分析】运用诱导公式结合同角三角函数的基本关系将等式两边分别化简，进而证明问题.
【详解】左边
.
右边.
∴左边＝右边，故原等式成立．
5-3．（2024高一·全国·课后作业）求证：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）证明见解析
【解析】根据同角三角函数式关系,结合齐次式的化简即可证明.
【详解】（1）证明:根据同角三角函数关系式,化简等式左边可得
而右边
所以原式得证.
（2）证明:根据同角三角函数关系式,可得
而右边
原式得证.
（3）证明:
而右边
原式得证
（4）证明:由同角三角函数关系式可知
而右边
原式得证
【点睛】本题考查了利用同角三角函数关系证明三角函数恒等式,属于基础题.
5-4．（2024高三·全国·专题练习）（1）求证：tan2αsin2α=tan2α-sin2α；
（2）已知tan2α=2tan2β+1，求证：2sin2α=sin2β+1.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）将代入左式，化简即可得到右式.
（2）将，代入条件，通分化简得到，即2cs2α=cs2β，然后由，将余弦化成正弦即可证得结论.
【详解】解析：（1）tan2αsin2α=tan2α（1-cs2α）=tan2α-tan2αcs2α=tan2α-sin2α，则原等式得证.
（2）因为tan2α=2tan2β+1，所以+1=2，即，
从而2cs2α=cs2β，
于是2-2sin2α=1-sin2β，也即2sin2α=sin2β+1，则原等式得证.
一、同角三角函数基本关系
1、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：．
（2）商数关系：；
二、三角函数诱导公式
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
注：1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2、“”方程思想知一求二．
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的基本关系式得到关于的方程，再利用倍角公式即可得解.
【详解】因为，又，
所以，则，即，
则，即，所以或（舍去），
所以.
故选：B.
2．（2024·四川巴中·模拟预测）勾股定理，在我国又称为“商高定理”，最早的证明是由东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，他利用了勾股圆方图，此图被称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案（如图所示），若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形内的概率为，则“赵爽弦图”里的直角三角形中最小角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设正方形的边长，较小的角为，则中间小正方形的边长为，由题意可得，显然可得，即可得到，从而求出.
【详解】设正方形的边长，较小的角为，则中间小正方形的边长为，
由题意可得，
显然，所以，所以，
又，所以，
所以，
所以，所以.
故选：D
3．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用已知的三角函数值，利用换元法，结合三角函数的诱导公式，可得答案.
【详解】令，则，
从而
.
故选：A.
4．（2024·山西·模拟预测）已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】注意到，利用同角三角函数的关系求角的正弦，再利用诱导公式求角的正弦、余弦，从而得到的正切.
【详解】因为为锐角，所以且，所以得，
由诱导公式得，.
所以.
故选:D
5．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）已知角为钝角，且角终边上有一点，则角（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的诱导公式及三角函数的定义即可求解.
【详解】点，由诱导公式可化为，
由三角函数的定义知，，
又因为为钝角，，
所以.
故选:B.
6．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，在在角终边上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义求角的三角函数值，再利用诱导公式化简求值.
【详解】因为点在角终边上，则，，
所以,
.
故选：B
7．（2024高三上·四川成都·期中）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若角的终边与角的终边相同，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角函数定义求得，再利用诱导公式化简即可.
【详解】由题意得，
，
故选：C.
8．（2024·全国·模拟预测）已知直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直线一般方程可求得，再利用诱导公式及同角三角函数之间的基本关系可得其结果.
【详解】由直线的方程为，得斜率，
则
；
故选：A．
9．（2024·陕西宝鸡·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用诱导公式对已知条件化简得；再利用同角三角函数基本关系求出；最后利用二倍角公式即可求解.
【详解】.
由可得：.
因为，
所以.
所以.
故选：C.
10．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由诱导公式和同角三角函数关系得到，再利用正切和角公式得到方程，求出，利用余弦二倍角，齐次化求出答案.
【详解】
因为，
所以，
故，
因为，
所以，故，
解得，
所以.
故选：B．
11．（2024·全国·模拟预测）已知圆，过点，作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设切线的方程为，求得圆心到切线的距离，求得的值，得到，结合，即可求解.
【详解】由题意知，圆的圆心为，半径，
且切线，的斜率都存在，
设切线的方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到切线的距离，
解得或，所以，
在四边形中，因为，可得，
所以.
故选：A．
12．（2024·河南郑州·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式，平方关系和商关系即可求解.
【详解】.
故选：D
13．（2024·陕西西安·二模）已知，则（ ）
A．B．C．-D．
【答案】A
【分析】因为，由诱导公式可得选项.
【详解】.
故选：A.
14．（2024·广东深圳·模拟预测）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，借助于诱导公式，即可求得结果．
【详解】，
的值为，
故选：
15．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查诱导公式的基础运用，套用公式即可.
【详解】利用诱导公式可得，
故选：B.
16．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先化简已知得，再求的值.
【详解】由得，
所以在第一、二象限，
所以.
故选：D.
17．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的平方关系可得出关于、的方程组，求出这两个量的值，即可求得的值.
【详解】因为，
由题意可得，解得，
因此，.
故选：B.
18．（2024高一下·湖南长沙·阶段练习）已知，且，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将已知等式两边平方，利用三角函数的基本关系求得的值，结合的范围确定与的正负，再利用完全平方公式及三角函数的基本关系可求得的值.
【详解】因为，两边平方得，
故，所以与导号，
又因为，所以，，
所以.
故选：C.
19．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）已知是三角形的一个内角，且满足，则（ ）
A．2B．1C．3D．
【答案】A
【分析】利用平方关系可求得，可解得，再结合是三角形的一个内角即可得，即可求出.
【详解】将两边同时平方可得，即；
所以
若，解得，这与是三角形的一个内角矛盾，
所以，解得，此时求得.
故选：A.
20．（2024高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意利用任意角的三角函数的定义，结合诱导公式可求得结果.
【详解】因为平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称，
所以，即，
所以，
因为，
所以，
故选：B
21．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件
【答案】D
【分析】根据诱导公式的逆运用以及由三角函数的概念即可判断其充分性，由代入化简计算即可判断其必要性，从而得出结论.
【详解】若，则，
故，即．
又，故或，充分性不成立；
若，即，所以，
所以，所以必要性成立．
故选：D．
22．（2024·陕西榆林·二模）已知，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式和倍角公式化简求值.
【详解】，
由，有，
两边平方得，则，
故.
故选：C.
23．（2024高三上·北京海淀·阶段练习）已知为第二象限的角，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据平方关系求出，再利用诱导公式即可得解.
【详解】因为为第二象限的角，且，
所以，
所以.
故选：A.
24．（2024高一上·山西太原·阶段练习）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据角的范围及正弦值求出余弦值，进而利用诱导求出答案.
【详解】因为，所以，
又，所以，
.
故选：C
25．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合诱导公式与同角三角函数的基本关系运算即可得.
【详解】由题意得，则，
故
.
故选：D.
26．（2024高三上·云南昆明·阶段练习）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由诱导公式可得出，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合同角三角函数的商数关系可求得的值.
【详解】因为，则，
所以，，
联立，解得，
因此，.
故选：B.
27．（2024高三上·四川成都·阶段练习）已知角的终边过点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函数定义，结合诱导公式计算得解.
【详解】由角的终边过点，得，，
所以.
故选：A
28．（2024高三上·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据任意角的三角函数的定义可得，再利用诱导公式、二倍角公式运算求解.
【详解】由题意得，，则，
则
．
故选：A．
29．（2024高三上·安徽·期中）已知是角的终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义可得，进而由商数关系可求.
【详解】因为是角的终边上一点，
所以，
则，
故选：B.
30．（2024高三上·安徽·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】C
【分析】根据终边上的点可求得：，，再结合三角函数诱导公式从而求解.
【详解】因为：（为坐标原点），
所以:由三角函数的定义，得，，
所以：.故C项正确.
故选：C.
31．（2024高一上·江苏常州·阶段练习）若 ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.
【详解】依题，令，则，
，
所以
.
故选：A
32．（2024高三上·重庆永川·期中）已知，，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】由条件化简求得，将所求式子利用三角恒等变换化简再根据同角三角函数关系式转化为正切求得结果.
【详解】由，即，
又，解得，
.
故选：B.
33．（2024高一下·山东潍坊·阶段练习）下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】应用诱导公式以及同角三角函数的基本关系对四个选项验证即可.
【详解】对于A，由诱导公式得，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B.
二、多选题
34．（2024·辽宁·模拟预测）设为第一象限角,,则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】首先由题意得是第一象限角,所以,再利用诱导公式和同角三角函数关系式对选项逐个计算确定正确答案.
【详解】由题意得,
则,
若在第四象限,则,
所以也是第一象限角,即,,A项错误;
,B项正确;
,C项错误;
,D项正确.
故选:BD.
35．（江苏省宜兴中学、泰兴中学、泰州中学2023-2024学年高一上学期12月联合质量检测数学试卷）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得Q点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.
【详解】点的初始位置，锐角，
设时刻两点重合，则，即，
此时点，
即，，
当时，，故A正确；
当时，，即，故C正确；
当时，，即，故D正确；
由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B错误，
故选：ACD.
36．（2024高一下·河南焦作·阶段练习）已知角，是锐角三角形的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据三角形内角和及诱导公式，三角函数单调性一一判定选项即可.
【详解】由题易知，
，，
即A、B、C结论成立.
对于D，由锐角三角形知，，得，
因此，所以错误.
故选：ABC
37．（2024高一下·河北沧州·阶段练习）在△ABC中，下列关系式恒成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A正确；
对于B中由，所以B正确；
对于C中，由
，所以C正确；
对于D中，
，所以D错误．
故选：ABC.
38．（2024高一上·江苏无锡·阶段练习）下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】本题可通过诱导公式将转化为，A正确，然后通过诱导公式将转化为，B正确，最后根据以及同角三角函数关系判断出C错误以及D正确.
【详解】A项：，A正确；
B项：因为，
所以，B正确；
C项：因为，
所以，C错误；
D项：，D正确，
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查诱导公式以及同角三角函数关系的应用，考查的公式有、、、等，考查化归与转化思想，是中档题.
39．（2024高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】对于A、B，由同角三角函数的基本关系进行化简证明即可，对于C、D，由诱导公式进行化简证明即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
40．（2024·全国）若，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
41．（2024高一上·福建莆田·阶段练习）已知，，那么 .
【答案】
【分析】由同角三角函数关系及已知条件求得，代入目标式求值即可.
【详解】由，，则，
所以.
故答案为：
42．（2024高三·全国·对口高考）若，求的值为 .
【答案】/
【分析】由已知求出，再将化为，利用齐次式法求值，即得答案.
【详解】由可得，
因为不适合，故，
所以，
故，
故答案为：
43．（2024高三上·江西南昌·阶段练习）若，则 .
【答案】
【分析】分式上下同除以，化弦为切，代入求值即可.
【详解】，
.
故答案为：.
44．（2024·上海浦东新·模拟预测）已知是关于的方程的两根，则 .
【答案】
【分析】先通过根与系数的关系得到的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得.
【详解】由题意：，所以，
所以，即，解得.
故答案为：.
45．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 ．
【答案】
【分析】
由立方差公式，得.将两边平方，解得，代入即可得解.
【详解】由题知，
因为，两边平方有，
所以，所以.
故答案为：.
46．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）已知，，且为第二象限角，则 .
【答案】/
【分析】由已知可求出的取值范围，由同角三角函数的平方关系求出的值，可求出的值，再利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】因为，，且为第二象限角，
则，解得或，
因为，
整理可得，即，解得（舍）或，
所以，，，
所以，，
因此，.
故答案为：.
47．（2024·全国·模拟预测）若，则的最大值为 ，的最小值为 ．
【答案】 9 1
【分析】借助诱导公式将函数式转化，再利用两点间的距离公式将数转化为形，利用形的直观来求最值.
【详解】因为，
所以
，
此式可看作点到点的距离．
而点的轨迹是圆．
又点到圆心的距离为2，所以的最大值，的最小值．
故答案为：9；1
【点睛】将所给函数式展开必将陷入命题人的圈套，此时要整体把握目标，借助诱导公式将函数式转化，再利用两点间的距离公式将数转化为形，利用形的直观来求最值，既简单又节省时间．本题不仅要求学生具备扎实的基本功，具有整体把握目标的能力，还对学生分析问题和解决问题的能力、逻辑推理能力、运算求解能力等要求较高．
48．（2024·四川绵阳·三模）已知，，则 .
【答案】/
【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解.
【详解】由得，
由可得，故.
故答案为：
49．（2024·山西阳泉·三模）已知，且，则 ．
【答案】/
【分析】整体法诱导公式结合同角三角函数关系求出答案.
【详解】因为，所以，故，
所以.
。
故答案为：
50．（2024·浙江温州·二模）已知，则 .
【答案】
【分析】利用同角三角函数的关系化简为齐次式，再代入，可得答案.
【详解】因为，
所以、.
故答案为：
51．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知，则的值是 ．
【答案】5
【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化简，在将代入即可.
【详解】因为，
所以
，
故答案为：5.
52．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 ．
【答案】
【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，并分析三角函数值的正负即可求解.
【详解】解：已知①，则，
，
，，则，，
②，
联立①②，得，
，
故答案为：.
53．（2024高三上·湖南衡阳·期中）已知，则 ．
【答案】
【分析】平方，结合同角三角函数平方关系即正弦二倍角公式求解.
【详解】两边平方得：
，
解得：.
故答案为：
54．（2024·全国·模拟预测）已知，则 .
【答案】/0.2
【分析】由三角函数的诱导公式化简可得.
【详解】由题可得.
故答案为：
55．（2024高三上·内蒙古包头·阶段练习）若，则 .
【答案】
【分析】以为整体，根据诱导公式运算求解.
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
56．（2024高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）已知，且，则 ．
【答案】/
【分析】设,,则,，从而将所求式子转化成求的值，利用的范围确定的符号.
【详解】设,,那么,从而.
于是.因为,
所以.由,得.
所以,
所以.
故答案为：.
57．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知角的终边与单位圆交于点，则 .
【答案】/-0.5
【分析】根据任意角三角比的定义和诱导公式求解.
【详解】因为角的终边与单位圆交于点，所以
，
故答案为：.
58．（2024高一·全国·课后作业）若角的终边落在直线上，则 ．
【答案】或
【分析】化简得到，考虑角为第一或第三象限角两种情况，计算得到答案.
【详解】因为角的终边落在直线上，所以角为第一或第三象限角，
，
当角为第一象限角时，，；
当角为第三象限角时，，．
故答案为：或.
四、解答题
59．（2024高三·全国·专题练习）已知角的终边落在直线上．求
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】由角的终边落在直线上可得，再根据同角函数的关系求解即可.
【详解】（1）由角的终边落在直线上可得
则原式=；
（2）原式.
60．（2024高一下·安徽·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P，若点位于轴上方且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，，三个直接的关系，可得.
（2）由可得.
【详解】（1）由三角函数的定义，，，
两边平方，得
则，，，
所以，
.
（2）由（1）知，，
.
61．（2024高一上·广东东莞·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的横坐标为.
(1)求的表达式，并求；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义，得到，进而求得的值；
（2）根据题意，求得，进而三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】（1）解：因为点，可得，所以，
根据三角函数的定义，可得，
所以.
（2）解：由，可得，
因为，所以，
当时，即，可得；
当时，即，可得，
综上可得，的值为.
62．（2024高一·全国·课后作业）求证:.
【答案】见解析
【解析】从左边入手，先按多项式展开，再利用“1”的代换，构造完全平方式等于右边得证.
【详解】左边
右边.
所以原等式成立.
【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数基本关系式证明等式问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
63．（2024高二·全国·课后作业）证明：.
【答案】证明见解析
【解析】直接利用商数关系和平方关系，从左边证明等于右边即可.
【详解】左边=，
，
，
=右边.
即原等式成立.
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的运用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
64．（2024高一上·四川广安·期末）已知
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用诱导公式及同角三角函数的关系计算即可.
【详解】（1）因为
，
所以.
（2）由诱导公式可知，即，
又是第三象限角，所以，
所以.
65．（2024高一·全国·课后作业）证明：，．
【答案】证明见解析
【分析】按的奇偶性分类讨论，用诱导公式变形可证．
【详解】证明：当n为偶数时，令，，
左边．
右边，∴左边=右边．
当n为奇数时，令，，
左边
．
右边，∴左边=右边．
综上所述，，成立．
66．（2024高一·全国·专题练习）求证：．
【答案】证明见解析.
【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.
【详解】左边==–tanα=右边，
∴等式成立．
67．（2024高一上·全国·课后作业）（1）求证：；
（2）设，求证.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.
【详解】（1）左边= =右边，所以原等式成立.
（2）方法1：左边= ===右边，所以原等式成立.
方法2：由，得，
所以，等式左边= ===右边，等式成立.
68．（2024高三·全国·对口高考）若，求的值.
【答案】
【分析】由已知可求出，利用诱导公式化简，进而结合齐次式法求值，即得答案.
【详解】由可得，
故
.
69．（2024高三上·河南周口·期中）（1）若，求的值；
（2）设，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由同角关系得，然后化求值为关于的齐次式，再弦化切代入计算；
（2）由诱导公式、同角关系化简后代入计算．
【详解】（1） ，则，，
.
（2）∵
，
∴．
70．（2024高三上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，是坐标原点，角的终边与单位圆的交点坐标为，射线绕点按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点，点的纵坐标关于的函数为
(1)求函数的解析式，并求的值；
(2)若，，求的值
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；
（2）根据（1）中结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.
【详解】（1）因为点在单位圆上，所以由三角函数的定义可得，
又因为，所以，
所以，
.
（2）由可得，即，
由于得，又，所以，
由平方关系得，
所以.
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
（一）
同角求值
（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．
（2）若无象限条件，一般“弦化切”．
题型1：同角求值
1-1．（2024高一上·广东江门·期末）已知 ，求 ，的值.
【答案】为第四象限角时，，；为第二象限角时，，
【分析】借助同角三角函数基本关系计算即可得.
【详解】由，故有，即，
又，故，
即，则，
当时，即为第四象限角时，，
当时，即为第二象限角时，.
1-2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 .
【答案】0
【分析】利用同角的三角函数关系直接求解，注意分类讨论．
【详解】因为且，可知为第二象限角或第三象限角，
由得
（1）当为第二象限角时，，，；
（2）当为第三象限角时，，，；
综上可知：.
故答案为：0.
1-3．（2024高三·全国·对口高考）已知，求值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将平方即可求得答案；
（2）利用立方和公式结合同角的三角函数关系即可求得答案；
（3）结合（1）的结果，将化为，继而化为，即可得到关于的方程，即可求得答案.
【详解】（1）由可得，
即；
（2）
；
（3）由于，故，
即，
由于，故，
故.
1-4．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，是关于的一元二次方程的两根．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用韦达定理以及同角三角函数的平方关系求解即可；
（2）根据已知条件判断出，所以利用即可求解.
【详解】（1）由已知得①，②，
将①两边同时平方得，
则，所以；
（2）∵，，，
∴，，∴，
.
1-5．（2024高三·山西运城·学业考试）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据，分式同除可得.
（2）根据先将转化为，再将分式同除可得.
【详解】（1）
（2）
（二）
诱导求值与变形
（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．
（2）通过等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．
（3）等可利用诱导公式把的三角函数化
题型2：诱导求值与变形
2-1．（2024高三·全国·专题练习）的值为
【答案】/
【分析】根据三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解.
【详解】由三角函数的诱导公式，可得：
.
故答案为：.
2-2．（2024高一下·甘肃天水·期末）化简
【答案】
【分析】应用诱导公式化简后，根据同角三角函数的关系得解.
【详解】原式．
2-3．（2024高三上·福建莆田·期中）已知则 ．
【答案】/
【分析】通过换元，得到，，再利用诱导公式即可求出结果.
【详解】令，则，，
因为，所以，所以，
故答案为：.
2-4．（2024高三·江苏·对口高考）已知，且，则的值是 .
【答案】
【分析】先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得.
【详解】，因为，所以，所以，所以，所以.
故答案为：.
2-5．（2024高三上·山东泰安·期中）已知是第四象限角，且，则 .
【答案】
【分析】利用诱导公式与同角三角函数的基本关系进行求解即可.
【详解】由题意，得，
即
因为是第四象限角，即，
所以，
则，
所以，
故答案为：-2
2-6．（2024高一上·湖南长沙·阶段练习）若、是关于的方程的两个根，则 .
【答案】/
【分析】先根据韦达定理得到，进而求得，，再结合诱导公式化简求值即可.
【详解】由题意得，，则或，
又，即，解得或（舍去），
则，
所以
.
故答案为：.
2-7．（2024高三·全国·专题练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正切函数的诱导公式，结合特殊角的正切值进行求解即可.
【详解】．
故选：C．
（三）
同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
（1）利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
（2）注意角的范围对三角函数符号的影响．
题型3：三角函数式化简求值
3-1．（2024高三上·江苏淮安·阶段练习）已知为第二象限角，且满足，则
【答案】/
【分析】根据为第二象限角得到，利用同角三角函数关系式化简得到
的值，两边平方得到，再由诱导公式化简可得答案.
【详解】因为为第二象限角，所以，
，
所以，两边平方可得，
则.
故答案为：.
3-2．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知，若，则= .
【答案】
【分析】将所求式利用同角的三角函数基本关系式进行三角恒等变换化简即得.
【详解】由知于是，
故
故答案为：.
3-3．（2024高一上·天津和平·期末）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】利用诱导公式化简，再进行弦化切代入即可.
【详解】
因为角的终边经过点，则，则，
故选：C.
3-4．（2024高三·全国·专题练习）已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝ .
【答案】18
【分析】由已知求得sinθ，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值.
【详解】由，可得，
∴
.
故答案为：18.
3-5．（2024高三上·江苏南通·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意结合倍角公式以及齐次式问题分析求解.
【详解】因为，
又因为，即，且，
可得，
则，
所以.
故选：C.
题型4：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
4-1．（2024高一上·江苏淮安·期末）已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式化简，判断，结合计算，即可得答案.
（2）判断，求出其值，化简为，代入求值即可.
【详解】（1）由于，且，
故，且，
则；
（2）由于，
因为，故，则，
所以.
4-2．（2024高一下·山东东营·期中）已知角满足
(1)若角是第三象限角，求的值;
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据同角三角函数关系，求得，即可求得结果；
（2）利用诱导公式化简，根据（1）中所求，即可求得结果.
【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，
消去得，解得或
因为角是第三象限角，所以，，
（2），
当角是第一象限角时，，
当角是第三象限角时，，
4-3．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的值．
【答案】
【分析】根据诱导公式和正余弦齐次式的求法可将所求式子化为关于的式子，代入的值即可得到结果.
【详解】因为，
，
所以，
又，所以.
故答案为：.
4-4．（2024高一上·广东深圳·期末）已知．
(1)求的值．
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用平方关系及商数关系有，即可求值；
（2）应用诱导公式化简，再由商数关系及已知求值.
【详解】（1）；
（2）.
（四）
三角恒等式的证明
三角恒等式的证明中涉及到同角三角函数基本关系，和角公式，差角公式，二角公式，辅助角公式等基本知识点，理解和掌握这些基本知识点是解答该类问题的基础和关键
题型5：三角恒等式的证明
5-1．（2024高一·全国·课后作业）求证：当或3时，.
【答案】证明见解析
【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可.
【详解】当时，左边=；
当时，左边=；
综上，或有原等式恒成立.
5-2．（2024高一·全国·课前预习）求证：＝．
【答案】证明见解析
【分析】运用诱导公式结合同角三角函数的基本关系将等式两边分别化简，进而证明问题.
【详解】左边
.
右边.
∴左边＝右边，故原等式成立．
5-3．（2024高一·全国·课后作业）求证：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）证明见解析
【解析】根据同角三角函数式关系,结合齐次式的化简即可证明.
【详解】（1）证明:根据同角三角函数关系式,化简等式左边可得
而右边
所以原式得证.
（2）证明:根据同角三角函数关系式,可得
而右边
原式得证.
（3）证明:
而右边
原式得证
（4）证明:由同角三角函数关系式可知
而右边
原式得证
【点睛】本题考查了利用同角三角函数关系证明三角函数恒等式,属于基础题.
5-4．（2024高三·全国·专题练习）（1）求证：tan2αsin2α=tan2α-sin2α；
（2）已知tan2α=2tan2β+1，求证：2sin2α=sin2β+1.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）将代入左式，化简即可得到右式.
（2）将，代入条件，通分化简得到，即2cs2α=cs2β，然后由，将余弦化成正弦即可证得结论.
【详解】解析：（1）tan2αsin2α=tan2α（1-cs2α）=tan2α-tan2αcs2α=tan2α-sin2α，则原等式得证.
（2）因为tan2α=2tan2β+1，所以+1=2，即，
从而2cs2α=cs2β，
于是2-2sin2α=1-sin2β，也即2sin2α=sin2β+1，则原等式得证.
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