湘教版（2019）选择性必修 第一册3.4 曲线与方程当堂达标检测题

3.4　曲线与方程

A级 必备知识基础练

1.方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是(　　)

2.方程(2x+3y-1)=0所表示的曲线是(　　)

A.一条直线和一条射线

B.两条射线

C.两条线段

D.两条直线

3.已知方程x2+my2=1(m∈R),则下列说法正确的是(　　)

A.当m<0时,方程表示双曲线

B.当m>0时,方程表示椭圆

C.方程不可能表示直线

D.方程可能表示抛物线

4.方程(2-t)x2+(t-1)y2=1表示曲线C,有以下四个结论:

①当t=时,曲线C是圆;②当1<t<2时,曲线C是椭圆;③当t>2时,曲线C是双曲线;④当t=2时,曲线C是抛物线.

其中结论正确的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

5.已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,点M在x轴上,且=0,延长MP到点N,使得||=||,则点N的轨迹方程是　　　　 . 

6.设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过点M向x轴作垂线,垂足为N,点P满足,则点P的轨迹方程为　　　　　　　　　. 

7.已知圆C的方程为x2+(y-5)2=16,直线l的方程为y=3,点P为平面内一动点,PQ是圆C的一条切线(Q为切点),并且点P到直线l的距离恰好等于切线长|PQ|,则点P的轨迹方程为　　　　　　　　. 

8.已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sin B+sin A=sin C,求点C的轨迹方程.

B级 关键能力提升练

9.已知点P是直线x-2y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则点Q的轨迹方程是(　　)

A.x+2y+3=0 

B.x-2y-5=0

C.x-2y-7=0 

D.x-2y+7=0

10.(多选题)关于x,y的方程(m-1)x2+my2=m(m-1)(m∈R)表示的曲线可能是(　　)

A.椭圆 B.双曲线 

C.抛物线 D.直线

11.P是椭圆=1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O为坐标原点,,则动点Q的轨迹方程是　. 

12.已知定点A(0,2),B(0,-2),C(3,2),以C为一个焦点作过A,B两点的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为　. 

13.方程|x+1|+|y-1|=2表示的曲线围成的图形的对称中心的坐标为　　　　　,面积为　　　　　. 

14.△ABC的一边的两个顶点分别为B(-a,0),C(a,0)(a>0),另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程,并且根据m的取值情况讨论其轨迹.

C级 学科素养创新练

15.过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB,求弦AB的中点M的轨迹方程.

3.4　曲线与方程

1.C　方程x2+y2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C.

2.A　由(2x+3y-1)=0,得2x+3y-1=0(x≥3)或=0(x≥3).

2x+3y-1=0(x≥3)为一条射线,x=3为一条直线,则方程(2x+3y-1)=0表示的曲线是一条直线和一条射线.故选A.

3.A　方程x2+my2=1(m∈R),当m<0时,根据双曲线的标准方程可知,方程表示双曲线,故A正确;当m>0时,若m=1,则方程表示圆,故B错误;当m=0时,方程表示x=-1和x=1两条直线,故C错误;因为方程中没有x或y的一次项,故方程不可能表示抛物线,故D错误.

故选A.

4.B　①当t=时,即x2+y2=2,曲线C是圆,①正确;②当1<t<2,且t≠时,2-t>0,t-1>0,曲线C是椭圆,②错误;③当t>2时,2-t<0,t-1>0,曲线C是双曲线,③正确;④当t=2时,2-t=0,t-1=1,即y2=1,曲线C是直线,④错误.故选B.

5.y2=4x　由于||=||,则P为MN的中点.设N(x,y),则M(-x,0),P(0,),由=0,得(-x,-)·(1,-)=0,化简得点N的轨迹方程是y2=4x.

6.x2+y2=2　设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).

由,得x0=x,y0=y.

因为点M(x0,y0)在C上,所以=1.

因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.

7.x2=4y　设点P的坐标为(x,y),则点P到直线y=3的距离为d=|y-3|.

过点P作圆x2+(y-5)2=16的切线,则切线长|PQ|=,

由题意可得|y-3|=,整理可得点P的轨迹方程为x2=4y.

8.解设角A,B,C的对边分别为a,b,c,由sinB+sinA=sinC,可知b+a=c=10,即|AC|+|BC|=10,所以点C的轨迹为椭圆(不包含长轴的两个端点),此椭圆的长半轴长为5,半焦距为4,短半轴长为3,则点C的轨迹方程为=1(x≠±5).

9.D　设P(x0,y0),Q(x,y),则x0-2y0+3=0.

由|PM|=|MQ|,知M是线段PQ的中点,

则

将其代入x0-2y0+3=0,得(-2-x)-2(4-y)+3=0,整理得点Q的轨迹方程是x-2y+7=0.故选D.

10.ABD　对于方程(m-1)x2+my2=m(m-1),

①当m=1时,方程即y2=0,即y=0,表示x轴.②当m=0时,方程即x2=0,即x=0,表示y轴.③当m≠1,且m≠0时,方程即=1,

因为m≠m-1,所以方程不可能是圆;

若m(m-1)<0,方程表示双曲线;

若m(m-1)>0,方程表示椭圆.

综合可得方程不可能是抛物线.故选ABD.

11.=1(a>b>0)　设点Q的坐标为(x,y),,又=2=-2,则=-=-(x,y)=(-,-),即点P的坐标为(-,-).又点P在椭圆上,∴=1,即=1,∴动点Q的轨迹方程为=1(a>b>0).

12.y2-=1(y≤-1)　∵A,B在以C,F为焦点的椭圆上,

∴|AC|+|AF|=|BC|+|BF|,即|AF|-|BF|=|BC|-|AC|==2,则点F的轨迹为以A,B为焦点的双曲线的下支.

设该双曲线的标准方程为=1(y≤-a),则可得a=1,c=2,∴b2=c2-a2=3.

则焦点F的轨迹方程是y2-=1(y≤-1).

13.(-1,1)　8　当x≥-1,y≥1时,方程等价为x+y-2=0,

当x≥-1,y≤1时,方程等价为x-y=0,

当x≤-1,y≥1时,方程等价为x-y+4=0,

当x≤-1,y≤1时,方程等价为x+y+2=0,

则方程|x+1|+|y-1|=2表示的曲线围成的图形如图:

则围成的图形为正方形,图形的对称中心为(-1,1),A(-1,3),B(1,1),C(-1,-1),D(-3,1),

则|BD|=4,|AC|=4,则正方形的面积S=8.

14.解设顶点A的坐标为(x,y),易知x≠±a,y≠0,

则kAB=,kAC=.

由题意,得=m,

即=1(y≠0).

当m>0时,轨迹是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线(两顶点除外);

当m<0,且m≠-1时,轨迹是中心在原点,以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点),其中当-1<m<0时,椭圆的焦点在x轴上;

当m<-1时,椭圆的焦点在y轴上;

当m=-1时,轨迹是圆心在原点,半径为a的圆(除去与x轴的两个交点).

15.解易知OA,OB的斜率存在且不为0,设点M的坐标为(x,y),直线OA的斜率为k(k≠0),则直线OB的斜率为-.

直线OA的方程为y=kx,联立

解得

即A(),

同理可得B(2pk2,-2pk).

由中点坐标公式,得消去k,得点M的轨迹方程为y2=p(x-2p).