数学选择性必修 第一册3.4 曲线与方程课文配套ppt课件

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第3章 圆锥曲线与方程
3.4　曲线与方程
课标要求
1.进一步理解曲线的方程和方程的曲线的概念，掌握求曲线的方程和由方程研究曲线性质的方法.2.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的步骤.3.掌握求轨迹方程的几种常用方法.
素养要求
通过求曲线的方程、根据方程研究曲线的性质及求动点的轨迹方程，发展学生的数学抽象、直观想象和数学运算素养.
课前预习教材必备知识探究
内容索引
课堂研析题型关键能力提升
课后分层精练核心素养达成
内容索引
内容索引
ＫＥＱＩＡＮＹＵＸＩＪＩＡＯＣＡＩＢＩＢＥＩＺＨＩＳＨＩＴＡＮＪＩＵ
课前预习教材 必备知识探究
1
1.曲线的方程与方程的曲线的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.此时，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线.
温馨提醒　曲线的方程的定义中，(1)与(2)缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一组实数解而言的.
2.求动点M轨迹方程的一般步骤(1)设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)；(2)写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来；(3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程.
1.思考辨析，判断正误(1)若曲线C上的点满足方程f(x，y)＝0，则坐标不满足方程f(x，y)＝0的点不在曲线C上.( )(2)方程x＋y－2＝0是以A(2，0)，B(0，2)为端点的线段的方程.( )(3)化简方程“|x|＝|y|”为“y＝x”是恒等变形.( )
√
×
×
D
2.曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是(　　)
解析　(4，4)适合方程y＝x且满足1≤x≤5.
B
3.若“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，那么(　　)A.方程f(x，y)＝0的曲线是CB.方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC.f(x，y)＝0是曲线C的方程D.以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 解析　“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点不一定在曲线C上”，故ACD错，只有B正确.
4.到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________________________.
4x＋3y－10＝0或4x＋3y＝0
ＫＥＴＡＮＧＹＡＮＸＩＴＩＸＩＮＧ ＧＵＡＮＪＩＡＮＮＥＮＧＬＩＴＩＳＨＥＮＧ
课堂研析题型 关键能力提升
2
例1 (1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么(　　)A.曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0B.凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在C上C.不在C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0D.不在C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0
C
解析　点的坐标适合曲线方程是点在曲线上的充要条件.
(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.解　①与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.②第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
解　不正确.
这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解.
(2)过点A(2，0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2.
解　不正确.直线l上的点的坐标都是方程|x|＝2的解.然而，坐标满足|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是直线l的方程，直线l的方程为x＝2.
训练2 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围.解　∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，∴a2＋a2＋2a＋k＝0，
题型三　求曲线的方程
角度1　定义法例3 已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程. 解　如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，连接CP，则CP⊥OQ.
角度2　直接法例4 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程. 解　设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|，
化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
角度3　相关点法例5 动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程. 解　设P(x，y)，M(x0，y0)，因为P为MB的中点，
所以(2x－3)2＋4y2＝1.所以点P的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
训练3 如图，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝2a(a>0)，|CD|＝2b(b>0)，动点P满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程.
解　如图，以O为坐标原点，直线AB，CD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)，C(0，－b)，D(0，b)，
设P的坐标为(x，y)，由题意知，|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，
课堂小结
1.曲线的方程和方程的曲线满足的两个条件(1)曲线上点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上；(3)点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程.
2.求曲线的方程需要注意的问题(1)坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同.(2)一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等.(3)方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式.如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，或找回属于轨迹而遗漏的点.(4)“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状.
ＫＥＨＯＵＦＥＮＣＥＮＧＪＩＮＧＬＩＡＮＨＥＸＩＮＳＵＹＡＮＧＤＡＣＨＥＮＧ
课后分层精练 核心素养达成
3
1.方程x2＋xy＝x表示的曲线是(　　)A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析　由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线.故选C.
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
B
3.(多选)若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条曲线的交点在方程x2＋y2＝9所表示的曲线上，则k＝(　　) A.3 B.0 C.－3 D.一切实数 解析　两曲线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，所以k＝±3.
AC
4.已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是(　　) A.x2＋y2＝2 B.x2＋y2＝4 C.x2＋y2＝2(x≠±2) D.x2＋y2＝4(x≠±2)解析　设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得，x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).
D
5.与点A(－1，0)和点B(1，0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是(　　)
B
整理得x2＋y2＝1，又kPA，kPB存在，所以x≠±1.所以所求轨迹方程为x2＋y2＝1(x≠±1).
6.点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________. 解析　由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝5.
5

解析　①是正确的；
①
③不正确.如点(－1，1)满足方程x2－y2＝0，但它不在C上；
8.若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程是________.
y＝4x2
即2y＋1＝8x2＋1，即y＝4x2为所求的轨迹方程.
所以原方程表示圆心在坐标原点，半径为2的圆和斜率为－1，纵截距为1的直线在圆x2＋y2＝4的外面的部分，如图所示.
10.等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别为A(4，2)，B(－2，0)，A为顶点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程. 解　设点C的坐标为(x，y)， ∵△ABC为等腰三角形，且A为顶点，∴|AB|＝|AC|.
∴(x－4)2＋(y－2)2＝40.又∵点C不能与B重合，也不能使A，B，C三点共线.∴x≠－2且x≠10.∴点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝40(x≠－2且x≠10).
CD
二、能力提升
所以方程表示四个点，所以C正确，把原点代入知D正确.
解析　由于点B与点A(－1，1)关于原点O对称，所以B(1，－1).设P(x，y)(x≠±1)，
(1，－1)
x2－3y2＝－2(x≠±1)
整理得x2－3y2＝－2(x≠±1)，即为动点P的轨迹方程.
14.方程|x－1|＋|y－1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________.
2
三、创新拓展