高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第3章 圆锥曲线与方程3.4 曲线与方程教学演示ppt课件

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1.能够结合已学过的曲线及其方程的实例,理解曲线与方程的对应关系;2.掌握求曲线的方程的一般方法,进一步体会曲线与方程的关系,感受解析几何的思想方法.
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一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)　　　　 　　　都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.此时,这个方程叫作　　　 　　,这条曲线叫作　　　 　　. 
名师点睛1.方程与曲线的关系
2.定义中的关系:(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性),即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程;(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性),即符合条件的点都在曲线上.3.曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念,曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系,而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)曲线上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解,那么方程f(x,y)=0就是曲线的方程.(　　)(2)如果f(x,y)=0是某曲线C的方程,则曲线上的点的坐标都适合方程.(　　)(3)若曲线C上的点满足方程f(x,y)=0,则坐标不满足方程f(x,y)=0的点不在曲线C上.(　　)
2.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,能否说明f(x,y)=0是曲线C的方程?试举例说明.
提示不能.还要验证曲线C上的点的坐标是否都是方程f(x,y)=0的解.例如曲线C为“坐标平面内到两坐标轴距离相等的点”,方程为“y=x”,以方程的解为坐标的点都在曲线上,但曲线的方程不是y=x,而是y=±x.
探究点一 点与曲线位置关系的理解
分析由曲线与方程的关系知,只要点M的坐标适合曲线的方程,则点M就在方程所表示的曲线上;而若点M为曲线上的点,则点M的坐标一定适合曲线的方程.
解 把点A(-4,3)的坐标代入方程x2+y2=25中,可知点A(-4,3)满足方程,且点A的横坐标满足x≤0,则点A在方程x2+y2=25(x≤0)所表示的曲线上;
规律方法　判断点与曲线位置关系的方法如果曲线C的方程是f(x,y)=0,点P的坐标为(x0,y0).
变式训练1已知直线l:x+y+3=0,曲线C:(x-1)2+(y+3)2=4,若P(1,-1),则点P与l,C的关系是　　 　　　. 
解析 ∵1-1+3≠0,∴P不在l上,即P∉l;又(1-1)2+(-1+3)2=4,∴点P在曲线C上,即P∈C.
探究点二 轨迹方程的求法
角度1直接法求轨迹方程【例2】在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于 ,则动点P的轨迹方程为　　　　 　　　　. 分析 设出点P的坐标,将已知条件转化为斜率之积求解.
规律方法　直接法求轨迹方程将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出关于坐标的关系式,化简即得轨迹方程.其一般步骤如下:
[提醒]求轨迹方程时要注意曲线的完备性:求轨迹方程时要根据图形的特征去掉不满足条件的点(如涉及三角形时,要去掉三点共线的条件;涉及斜率时,分母不能为0等).
变式训练2已知平面上两定点M(0,-2),N(0,2),P为一动点,满足 ,求动点P的轨迹方程.
角度2相关点法(代入法)求轨迹方程【例3】若Q是双曲线x2-y2=2上任一点,F是右焦点,点P在FQ的延长线上,且 ,求点P的轨迹方程.
解 设点Q的坐标为(x0,y0),点P的坐标为(x,y),由题意可知F(2,0).
规律方法　相关点法(代入法)求轨迹方程如果动点M(x,y)依赖于另一动点P(a,b),而P(a,b)又在某已知曲线上,则可先列出关于x,y,a,b的方程组,利用x,y表示出a,b,把a,b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法叫作相关点法或代入法.[提醒]轨迹与轨迹方程的区别:轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,求轨迹不但要求出轨迹方程,而且还要说明方程的形状.
变式训练3已知点A(0,-1),当点B在曲线y=2x2+1上运动时,线段AB的中点M的轨迹方程是　　　　　. 
角度3定义法求轨迹方程【例4】设圆x2+y2+4x-60=0的圆心为A,过点B(2,0)且不垂直于y轴的直线l交圆A于C,D两点,过点B作AC的平行线交AD于点E,求点E的轨迹方程.
解 依题意,圆A:(x+2)2+y2=64的圆心A(-2,0),半径r=8,
∵|CA|=|AD|=8,∴|BE|=|DE|.|AE|+|BE|=|AE|+|DE|=|AD|=8>|AB|.由椭圆定义知,点E的轨迹是分别以A,B为左、右焦点,长轴长为8的椭圆
规律方法　定义法求轨迹方程分析题设几何条件,根据圆锥曲线的定义或特征,判断轨迹是何种类型的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等),再求出该曲线的相关参量,从而得到轨迹方程.[提醒]求轨迹方程时不要忘记建立坐标系求轨迹方程时若已知条件中没有直角坐标系,则首先结合图形特征,建立平面直角坐标系.建系时要遵循垂直性和对称性的原则,即借助图形中互相垂直的直线建系,借助图形的对称性建系.一方面让尽量多的点落在坐标轴上,另一方面能使求出的轨迹方程形式更简洁.
变式训练4在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN= ,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线的标准方程.
解 因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN= ,故设|PN|=3k,|PM|=4k,k∈R且k≠0.则|MN|=5k,由3k+4k+5k=48得k=4.所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.以MN所在的直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.
由|MN|=20得2c=20,c=10,由|PM|-|PN|=4得2a=4,所以a=2,a2=4,所以b2=c2-a2=96.
角度4参数法求轨迹方程【例5】过点A(-1,0),且斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于P,Q两点.若曲线C的焦点F与P,Q,R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR,求点R的轨迹方程.
分析由于点R的运动是由直线l的运动所引起的,而直线l的运动是由斜率引起的,因此求点R的轨迹可以探求点R的横、纵坐标与直线l的斜率k的关系.但是点R与直线l并无直接联系,与l有直接联系的是点P,Q,因此需通过平行四边形将P,Q,R这三点联系起来,找它们之间的关系.
又k∈(-1,0)∪(0,1),∴x>1.∴点R的轨迹方程为y2=4(x+3),x>1.
规律方法　参数法求轨迹方程如果采用直接法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的某个参数t,以此量作为参数(如涉及旋转时,常用角度作为参数;涉及两直线互相垂直时,常用斜率作为参数等),分别建立点P的横、纵坐标x,y与该参数t的函数关系x=f(t),y=g(t),进而通过消参化为轨迹的标准方程F(x,y)=0.
(1)平面上一动点C的坐标为( cs θ,sin θ),则点C的轨迹方程为　 . 
(2)在平面直角坐标系中,点O为原点,点A(1,0),B(2,2).若点C满足 ,其中t∈R,则点C的轨迹方程是　　　　　　　　　　. 
1.知识清单:曲线的方程与方程的曲线.2.方法归纳:根据点的坐标是否满足曲线的方程判断点与曲线的关系,直接法、相关点法(代入法)、定义法、参数法求轨迹方程.3.注意事项:曲线的方程与方程的曲线两个关系缺一不可;求曲线的方程时,若题设条件中无坐标系,则需要恰当建系;求轨迹方程时,要去掉方程中不满足条件的点;轨迹与轨迹方程是两个不同的概念.
1.下列各组方程表示的曲线是同一条曲线的是(　　)
解析 A选项中,y=x包含坐标原点(0,0), =1中不包含坐标原点(0,0),不是同一条曲线;B选项中的方程表示同一条曲线;
2.方程x2-y2=0对应的曲线是(　　)
解析 由方程x2-y2=0可得y=±x,因此曲线表示两条相交直线,故选C.
3.已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足 =x2,则点P的轨迹为(　　)A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
4.若点(2,-3)在曲线2x2-ay2=5上,则实数a的值为　　　　. 
解析 点(2,-3)在曲线2x2-ay2=5上,可得2×22-a×(-3)2=5,解得a= .
5.一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,则AB的中点M的轨迹方程为　　　　　　　　. 
解析 点M的坐标为(x,y),在直角三角形AOB中,