数学第3章圆锥曲线与方程3.4 曲线与方程教课课件ppt

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(3)代换:用坐标(x,y)来表示上述几何关系;(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式;(5)证明:验证以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.(一般变为确定点的范围即可)
    1.圆锥曲线的统一定义　　平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹.当01时,它表示双曲线;当e=1时,它表示抛物线.　　其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲线的
准线.2.椭圆 + =1(a>b>0)的准线方程为x=± ,椭圆 + =1(a>b>0)的准线方程为y=± .双曲线 - =1(a>0,b>0)的准线方程为x=± ,双曲线 - =1(a>0,b>0)的准线方程为y=± .
1.根据方程研究曲线的性质时,若方程比较复杂,则应对方程进行同解变形,并注意方程的附加条件以及隐含条件,一定要保证其等价性.
1　根据方程研究曲线的性质
2.研究曲线是否经过某个点时,只需验证该点的坐标是否满足曲线的方程,若满足,则点在曲线上,否则,点不在曲线上.3.研究曲线的对称性时,可将方程F(x,y)=0中的x用-x代替,y用-y代替,分析方程是否发生变化,以确定其对称性.4.研究两曲线是否相交时,可将两曲线方程联立,然后判断方程组是否有实数解, 若有实数解,则有交点,否则,没有交点.
典例    (多选)已知曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离的乘积等于常数m2(m>1)的点的轨迹,则下列结论中正确的是 (　     )A.曲线C经过原点B.曲线C关于原点对称C.若点P在曲线C上,则△PF1F2的面积不大于 m2D.直线y=x与曲线C有两个交点
解析    设动点坐标为(x,y),依题意有 · =m2,即[(x+1)2+y2]·[(x-1)2+y2]=m4(m>1),此即为曲线C的方程.将原点坐标(0,0)代入曲线C的方程,等式不能成立,所以曲线C不经过原点,故A选项错误;以-x代替x,-y代替y,方程不变,所以曲线C关于原点对称,故B选项正确;若点P在曲线C上,则△PF1F2的面积S= |PF1||PF2|sin∠F1PF2= m2·sin∠F1PF2≤ m2,即△PF1F2的面积不大于 m2,故C选项正确;由消去y,得4x4+1=m4,即x4= ,由于m>1,所以 >0,因此方程x4= 有两个实数解,即直线y=x与曲线C有两个交点,故D选项正确.
求动点轨迹方程的常用方法(1)直接法:当所求动点满足的条件简单明确时,直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”的基本步骤求解.(2)定义法:若能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可由该曲线的定义直接写出曲线方程,即得动点的轨迹方程.(3)代入法(相关点法):当题目中有多个动点时,将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示,再代入其他动点满足的曲线方程或条件中,整理即得所求动点的轨迹方程.(4)参数法:选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标中的x,y,然后消去参数,即得动点的轨迹方程.
2 求动点的轨迹方程
典例　如图所示,动圆C1:x2+y2=t2,1解析    (1)设A(x0,y0),则矩形ABCD的面积S=4|x0y0|.由 + =1得 =1- ,从而 = =- + ,∴当 = , = 时,Smax=6.从而t2= + =5,∴t= .∴当t= 时,矩形ABCD的面积取得最大值6.(2)由椭圆C2: +y2=1,知A1(-3,0),A2(3,0).由曲线的对称性及A(x0,y0),得B(x0,-y0).设点M的坐标为(x,y).易知直线AA1的方程为y= (x+3)①,直线A2B的方程为y= (x-3)②,由①②得y2= ·(x2-9)③,又点A(x0,y0)在椭圆C2上,故 =1- ④,将④代入③得 -y2=1(x<-3,y<0),因此点M的轨迹方程为 -y2=1(x<-3,y<0).
名师点评    本题(2)的轨迹方程中,求解时要结合几何性质和几何直观细心发掘. 求解中充分运用椭圆与圆的对称性以及方程④的整体代入,避免了烦琐运算,优化了解题过程.
　　解应用题时涉及两个基本步骤,即将实际问题抽象成数学问题和解决这个数学问题,为此要注意以下四点:(1)阅读理解:读懂题意,理解实际背景,领悟其数学实质.(2)数学建模:将应用题的材料陈述转化成数学问题,这就要抽象、归纳其中的数量关系,并把这种关系用数学式子表示出来.(3)数学求解:根据所建立数学关系的知识系统,得出结果.(4)实际还原:将数学结论还原为实际问题.
3 圆锥曲线的实际应用
典例　神舟九号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某时刻,A 接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方向角.
解析    如图所示, 以直线AB为x 轴,线段AB的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(-3, 0),C(-5,2 ).设P(x,y),BC的中点为D.∵|PB|=|PC|,∴点P在线段BC的垂直平分线上.易知kBC=- ,D(-4, ),
∴直线PD的方程为y- = (x+4).①易得|PB|-|PA|=4<6=|AB|,∴点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,且a=2,c=3,∴双曲线方程为 - =1(x≥2).②联立①②,得P点坐标为(8,5 ),∴kPA= = ,因此P在A的北偏东30°方向上.
　通过圆锥曲线的应用发展逻辑推理和数学建模的核心素养　　圆锥曲线在数学、天文、光学、建筑以及实际生活中有广泛的应用,求解此类问题时要善于抓住问题的实质,建立适合的数学模型(椭圆、双曲线、抛物线),从而发展数学建模的核心素养,然后利用圆锥曲线的相关定义、标准方程、性质等知识求解,在求解过程中发展逻辑推理的核心素养.
例题　某同学观看了2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》后引发了他的思考:假定地球(设为质点P,半径忽略不计)借助原子发动机开始“流浪”的轨道是以木星(看作球体,其半径R约为7万千米)的中心F为右焦点的椭圆C.已知地球的近木星点A(轨道上离木星表面最近的点)到木星表面的距离为1万千米,远木星点B(轨道上离木星表面最远的点)到木星表面的距离为25万千米.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若地球在“流浪”的过程中,由A第一次逆时针“流浪”到与轨道中心O的距离为 (a,b分别为椭圆的长半轴长、短半轴长)万千米时,由于木星引力,部分原子发动机突然失去了动力,此时地球向着木星方向开始变轨(如图所示),假定地球变轨后的轨道为一条直线L,称该直线的斜率k为“变轨系数”.当“变轨系数”k 的取值为-2或1时,地球与木星会不会发生碰撞?
解题思路    (1)设出椭圆的标准方程,再根据题意求出a,b,c的值即可.设椭圆C的标准方程为 + =1(a>b>0).由条件得解得故b2=256,因此椭圆C的标准方程为 + =1.(2)由P与轨道中点O的距离和椭圆的方程联立得到的方程组的解得P的坐标,再由点到直线的距离与R的大小关系列出不等式进行判断.设地球由近木星点A第一次逆时针“流浪”到与轨道中心O的距离为万千米时所在位置为P(x0,y0),设x0>0,y0>0.
信息提取以地球“流浪”的轨道为背景建立椭圆模型,受木星引力,地球“流浪”的轨道变轨,为一条直线,从而建立直线模型,最后利用相关知识解决问题.
则 ⇒ ∴P ,则直线L的方程为y- =k ,即kx-y+ - k=0,设木星的中心F到地球的距离为d万千米.由d>R得 >7,化简得425k2+128 k-839<0,
当k=-2时,不等式左边=861-256 >0,故原不等式不成立,此时地球与木星会发生碰撞.当k=1时,不等式左边=128 -414<0,故原不等式成立,此时地球与木星不会发生碰撞.

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