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数学湘教版（2019）第3章 圆锥曲线与方程3.4 曲线与方程练习
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这是一份数学湘教版（2019）第3章 圆锥曲线与方程3.4 曲线与方程练习，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.抛物线y=-12x2的焦点坐标是( )
A.0,18B.-18,0C.-12,0D.0,-12
2.方程(2x+3y-1)x-3=0所表示的曲线是( )
A.一条直线和一条射线B.两条射线
C.两条线段D.两条直线
3.过抛物线C:y2=6x的焦点且垂直于x轴的直线被双曲线E:x2a2-y2=1(a>0)所截得的线段的长度为22,则双曲线E的离心率e=( )
A.2B.5+12C.72D.213
4.若F1,F2是双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x216+y225=1的共同焦点,点P是两曲线的一个交点,且△PF1F2为等腰三角形,则该双曲线的渐近线方程是( )
A.y=±22xB.y=±24xC.y=±73xD.y=±377x
5.已知直线x-2y-3=0过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F,且交椭圆于A,B两点.若线段AB的中点为P,直线OP的斜率为-1,则椭圆的方程为( )
A.x245+y236=1B.x236+y227=1
C.x227+y218=1D.x218+y29=1
6.如图,在底面半径和高均为22的圆锥中,AB、CD是底面圆的两条互相垂直的直径,E是母线PB的中点,已知过CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于( )
A.5B.1C.104D.52
7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,B是椭圆C的上顶点,直线x=13c与直线BF2交于点A,若∠AF1F2=π4,则椭圆C的离心率为( )
A.55B.33C.22D.32
8.设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,圆F1与双曲线的渐近线相切,过F2且与圆F1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直,则双曲线的两条渐近线所成的锐角α的正切值为( )
A.815B.3C.43D.1
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知方程x24-t+y2t-1=1表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是( )
A.当1B.当t>4或t<1时,曲线C是双曲线
C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则1D.若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则t>4
10.如图,记椭圆C1:x225+y29=1,C2:y225+x29=1内部重叠区域(阴影部分)的边界为曲线C,P是曲线C上的任意一点,则下列四个结论中正确的是( )
A.P到(-4,0),(4,0),(0,-4),(0,4)四点的距离之和必为定值
B.曲线C关于直线y=x,y=-x均对称
C.曲线C所围区域的面积必小于36
D.曲线C的总长度必大于6π
11.已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的投影,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,则下列结论正确的是( )
A.∠CFD=90°
B.△CMD为等腰直角三角形
C.直线AB的斜率为±3
D.△AOB的面积为4
12.已知l1,l2是双曲线T:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线,直线l经过T的右焦点F,且l∥l1,l交T于点M,交l2于点Q,交y轴于点N,则下列说法正确的是( )
A.△FOQ与△OQN的面积相等
B.若T的焦距为4,则点M到两条渐近线的距离之积的最大值为14
C.若FM=MQ,则T的渐近线方程为y=±x
D.若|FM||FQ|∈12,23,则T的离心率e∈[2,3]
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若双曲线y2-x2b2=1(b>0)的渐近线方程为y=±33x,则焦点到渐近线的距离是 ,焦距为 .
14.已知点F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点A为C的左顶点,C上的点与点F2之间的最小距离为2.过原点O的直线l交C于P,Q两点,直线QF1交AP于点B,且|AB|=|BP|,则椭圆C的标准方程为 .
15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C和C的一条渐近线分别相交于P,Q两点(P,Q在同一象限内),若P为线段QF的中点,且|PF|=33,则双曲线C的标准方程为 .
16.已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)求满足下列条件的曲线的方程:
(1)离心率为34,长轴长为8的椭圆的标准方程;
(2)与椭圆x224+y240=1有相同焦点,且经过点(1,15)的双曲线的标准方程.
18.(12分)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.
(1)求C1的离心率;
(2)设M是C1与C2的公共点,若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.
19.(12分)某团队在O点西侧、东侧20千米处分别设有A,B两站点,测量距离时发现一点P满足|PA|-|PB|=20千米,且以O点为原点,东侧为x轴正半轴,北侧为y轴正半轴建立平面直角坐标系,点P在点O的北偏东60°方向上.
(1)求点P的坐标;
(2)该团队又在O点南侧、北侧15千米处分别设有C,D两站点,测量距离时发现一点Q满足|QA|-|QB|=30千米,|QC|-|QD|=10千米,求|OQ|(精确到1米)和Q点的位置(精确到1°).
20.(12分)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为π3的直线交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,且|AF|=|FC|,|BC|=2,O为坐标原点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)直线l交抛物线C于D,E两点,且D,E两点位于x轴两侧,直线l与x轴交于点M,若OD·OE=4,求S△DFO+S△DOE的最小值.
21.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,右焦点为F,右顶点为A,以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为122.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F的直线l(不与x轴重合)交椭圆C于点M,N,直线MA、NA分别与直线x=9交于点P,Q,记线段PQ的中点为G,求证:|FG|=12|PQ|.
22.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(2,1),离心率为22.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=2x+m,判断直线l和椭圆C的位置关系;
(3)设直线l':y=kx+t(t≠0)与椭圆C相交于A,B两点,若以OA,OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上,求证:平行四边形OAPB的面积为定值.
答案与解析
1.D 由y=-12x2得x2=-2y,则2p=2,即p=1,所以 p2=12.因为抛物线x2=-2y的焦点在y轴的负半轴上,所以其焦点坐标为0,-12.故选D.
2.A 由(2x+3y-1)x-3=0可得2x+3y-1=0或x-3=0.当2x+3y-1=0时,x-3≥0,此时曲线为射线;当x-3=0,即x=3时,(2x+3y-1)·x-3=0恒成立,此时曲线为直线.故曲线为一条直线和一条射线,故选A.
3.D 抛物线C的焦点为32,0.对于方程x2a2-y2=1(a>0),令x=32,可得y=±94a2-1,所以294a2-1=22,所以a=32,又b=1,所以c=34+1=72,所以e=ca=7232=213.
4.B 椭圆的焦点坐标为(0,±3),所以在双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)中,有a2+b2=9.设点P在第一象限,F1为上焦点,则|PF2|=|F1F2|=6,|PF1|=10-|PF2|=4,所以在双曲线中,2a=|PF2|-|PF1|=6-4=2,所以a=1,代入a2+b2=9,得b=22(负值舍去),所以双曲线的渐近线方程为y=±abx=±122x=±24x,故选B.
5.D 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则x12a2+y12b2=1①,x22a2+y22b2=1②,①-②得x12-x22a2+y12-y22b2=0,整理可得y1-y2x1-x2·y0x0=-b2a2,即12×(-1)=-b2a2,即a2=2b2③.对于x-2y-3=0,令y=0,得x=3,因为直线x-2y-3=0过椭圆的右焦点F,所以F(3,0),即c=3,所以a2-b2=c2=9④,由③④可得a2=18,b2=9,故椭圆的方程为x218+y29=1.故选D.
6.A 如图1所示,过点E作EH⊥AB,垂足为H,设F为抛物线的焦点,连接PF.因为E是母线PB的中点,圆锥的底面半径和高均为22,所以|OH|=|EH|=2,所以|OE|=2.
在平面CED内建立平面直角坐标系,如图2所示.设抛物线的方程为y2=2px(p>0),易得点C的坐标为(2,22),代入抛物线方程可得8=2p·2,所以p=2,所以F(1,0),即|EF|=1.易得|PB|=4,所以|PE|=2,所以∠PEO=90°,所以抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为|PE|2+|EF|2=5,故选A.
图1 图2
7.A 如图,由题意知B(0,b),F2(c,0),
所以直线BF2的方程为xc+yb=1.
联立x=13c,xc+yb=1,解得x=13c,y=23b,即A13c,23b.设直线x=13c与x轴交于点M,则|F1M|=43c,|MA|=23b.因为∠AF1F2=π4,所以|F1M|=|MA|,即43c=23b,所以b=2c,所以a2-c2=b2=4c2,即a=5c,所以离心率e=ca=55.
8.C 如图所示,渐近线l的方程为y=-bax,
即bx+ay=0,点F1(-c,0)到l的距离为|AF1|=|-bc|b2+a2=b,所以|OA|=|OF1|2-|AF1|2=c2-b2=a,所以cs∠AOF1=|OA||OF1|=ac.
设BF2与l的交点为C,
因为BF2与圆F1相切,且BF2⊥l,所以C为BF2的中点,易得|OC|=b2,则cs∠COF2=|OC||OF2|=b2c,又cs∠AOF1=cs∠COF2,所以ac=b2c,所以ba=2,所以tan α=2-(-2)1+2×(-2)=43,故选C.
9.BC 当曲线C是椭圆时,4-t>0,t-1>0,4-t≠t-1,解得14或t<1,故B正确;若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则4-t>0,t-1>0,4-t>t-1,解得10,t-1>0,4-t10.BCD 设F1,F2分别是椭圆C1的左、右焦点,F3,F4分别是椭圆C2的上、下焦点,则F1(-4,0),F2(4,0),F3(0,4),F4(0,-4),当|PF1|+|PF2|=10时,|PF3|+|PF4|不是定值,A错误;用(y,x)替换椭圆方程x225+y29=1中的(x,y)得y225+x29=1,反之亦然,因此两个椭圆关于直线y=x对称,同理,它们也关于直线y=-x对称,因此曲线C关于直线y=x,y=-x对称,B正确;由椭圆方程知,曲线C在直线x=±3,y=±3围成的正方形内部,而正方形的面积为(2b)2=36,故曲线C所围区域的面积必小于36,C正确;由椭圆的性质可知,曲线C上的点到原点距离的最小值为3,曲线C在以原点O为圆心,3为半径的圆的外部,而圆的周长为2π×3=6π,因此曲线C的周长必大于6π,D正确.故选BCD.
11.AC 如图,过点M向准线l作垂线,垂足为N,易知F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2).
易知|AF|=|AC|,所以∠AFC=∠ACF,又因为∠OFC=∠ACF,所以∠OFC=∠AFC,所以FC平分∠OFA,同理,FD平分∠OFB,所以∠CFD=90°,故A正确;
假设△CMD为等腰直角三角形,则12|CD|=|MN|,
因为|AF|=3|BF|,所以|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=4|BF|,
所以|MN|=2|BF|,所以|CD|=2|MN|=4|BF|,所以|CD|=|AB|,显然不成立,故B错误;
设直线AB的方程为x=my+1,联立y2=4x,x=my+1,可得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4.因为|AF|=3|BF|,所以y1=-3y2,所以-2y2=4m,-3y22=-4,
所以m2=13,所以1m=±3,所以直线AB的斜率为±3,故C正确;
不妨设m=33,则y1+y2=433,y1y2=-4,所以|y1-y2|=4332+16=833,所以S△AOB=12·|OF|·|y1-y2|=12×1×833=433,故D错误.故选AC.
12.AC 由题可知,F(c,0),不妨记l1:y=bax,l2:y=-bax.由l∥l1可得l的方程为y=ba(x-c),与l2的方程联立可解得xQ=c2,yQ=-bc2a,即点Qc2,-bc2a.对于y=ba(x-c),令x=0,可得y=-bca,即点N0,-bca,所以S△FOQ=12×c×bc2a=bc24a,S△OQN=12×c2×bca=bc24a,所以S△FOQ=S△OQN,A正确;设M(x0,y0),则x02a2-y02b2=1,即b2x02-a2y02=a2b2,所以点M到两条渐近线的距离之积为|bx0-ay0|a2+b2·|bx0+ay0|a2+b2=|b2x02-a2y02|a2+b2=a2b2a2+b2,因为T的焦距为4,所以c=2,所以a2b2a2+b2=a2b24,因为4=a2+b2≥2ab,所以ab≤2,所以a2b2≤4,所以a2b2a2+b2=a2b24≤1,当且仅当a=b=2时取等号,所以点M到两条渐近线的距离之积的最大值为1,B错误;由FM=MQ得M为QF的中点,则x0=c2+c2=3c4,y0=-bc2a2=-bc4a,即点M3c4,-bc4a,代入双曲线T的方程得3c42a2--bc4a2b2=1,即c2a2=2,又c2=a2+b2,所以a2=b2,所以a=b,所以双曲线T的渐近线方程为y=±x,C正确;由y=ba·(x-c)与x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),得xM=c2+a22c,所以|FM||FQ|=xF-xMxF-xQ=c-c2+a22cc-c2=1-1e2∈12,23,得e2∈[2,3],所以e∈[2,3],D错误.故选AC.
13.答案 3;4
解析 易得a=1,渐近线方程为y=±abx=±1bx=±33x,
∴1b=33,即b=3,∴焦点到渐近线的距离d=±cb1+1b2=3.
易得c=a2+b2=1+3=2,则焦距为2c=4.
14.答案 x29+y28=1
解析 如图,连接OB,AQ,因为O,B分别为PQ,PA的中点,所以OB是△PAQ的中位线,所以OB∥AQ,所以△OF1B∽△AF1Q,所以|OB||AQ|=|OF1||AF1|=12,即ca-c=12,所以a=3c.因为C上的点与点F2之间的最小距离为2,所以a-c=2,所以a=3,c=1,所以b=a2-c2=22.故椭圆C的标准方程为x29+y28=1.
15.答案 x23-y2=1
解析 由双曲线方程可得F(c,0),一条渐近线的方程为y=bax.由|PF|=33,可得Pc,33.由P为线段QF的中点可得Qc,233.将Q的坐标代入渐近线的方程,得233=bca,整理得43=(c2-a2)c2a2,即4a2=3c4-3a2c2①.因为点P在双曲线上,所以c2a2-13b2=1,所以3c2(c2-a2)-a2=3a2(c2-a2),整理得3c4-6a2c2-a2+3a4=0②.
由①②可得3c4-7a2c2+4a4=0,因为c>a,所以c2=43a2③.
由②③解得c2=4,a2=3,故b2=1,所以双曲线的方程为x23-y2=1.
16.答案 3x+6y+4=0
解析 由A(2,2)在抛物线y2=2px(p>0)上,得22=2p×2,解得p=1,故抛物线方程为y2=2x.易知过点A(2,2)且与圆(x-2)2+y2=1相切的直线的斜率存在,设其方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,则圆心(2,0)到切线的距离d=|2k-0+2-2k|k2+1=1,解得k=±3.不妨设直线AB:y-2=3(x-2),直线AC:y-2=-3(x-2).
联立y-2=3(x-2),y2=2x,得3x2+(43-14)x+16-83=0,故xAxB=16-833,又xA=2,∴xB=8-433,∴yB=23-63.联立y-2=-3(x-2),y2=2x,得3x2-(43+14)x+16+83=0,故xAxC=16+833,又xA=2,∴xC=8+433,∴yC=-23-63,∴yB+yC=23-63+-23-63=-4.由B,C在抛物线上可知,kBC=yB-yCxB-xC=yB-yC12yB2-12yC2=2yB+yC=2-4=-12,故直线BC的方程为y-23-63=-12x-8-433,即3x+6y+4=0.
17.解析 (1)由题意得2a=8,e=ca=34,解得a=4,c=3,则b=a2-c2=16-9=7.(3分)
若椭圆的焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为x216+y27=1;
若椭圆的焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为y216+x27=1.
综上,椭圆的标准方程为x216+y27=1或y216+x27=1.(5分)
(2)易知椭圆的焦点为(0,4)和(0,-4),所以双曲线的焦点为(0,4)和(0,-4).(6分)
设所求双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),则a2+b2=16①.
由双曲线经过点(1,15),得15a2-1b2=1②.(8分)
联立①②,解得a2=12,b2=4,故双曲线的标准方程为y212-x24=1.(10分)
18.解析 (1)由已知可设C2的方程为y2=4cx(c>0),其中c=a2-b2.
不妨设A,C在第一象限,由题意可得A,B的纵坐标分别为b2a,-b2a,C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.(3分)
由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3×ca=2-2ca2,解得ca=-2(舍去)或ca=12.所以C1的离心率为12.(6分)
(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y23c2=1.
设M(x0,y0),则x024c2+y023c2=1,
又因为y02=4cx0,所以x024c2+4x03c=1.(*)(8分)
易知C2的准线方程为x=-c,所以|MF|=x0+c,
而|MF|=5,所以x0=5-c,(10分)
代入(*)得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.
所以C1的标准方程为x236+y227=1,C2的标准方程为y2=12x.(12分)
19.解析 (1)易知点P在以A,B为焦点的双曲线上,设其标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).(1分)
由题意可得a=10,c=20,所以b2=300,
所以双曲线的标准方程为x2100-y2300=1.(3分)
易得直线OP:y=33x,且P在第一象限.联立x2100-y2300=1,y=33x,所以x=1522,y=562,即点P的坐标为1522,562.(6分)
(2)由|QA|-|QB|=30可知,点Q在以A,B为焦点的双曲线上,设其为C1,标准方程为x2a12-y2b12=1(a1>0,b1>0),易知a1=15,c1=20,所以b12=175,则双曲线C1的方程为x2225-y2175=1.(8分)
由|QC|-|QD|=10可知,点Q在以C,D为焦点的双曲线上,设其为C2,标准方程为y2a22-x2b22=1(a2>0,b2>0),易知a2=5,c2=15,所以b22=200,所以双曲线C2的方程为y225-x2200=1.(10分)
两双曲线方程联立,结合题意可得Q14 40047,2 97547,
所以|OQ|≈19米.设OQ与x轴所成的角为α,则tan α=2 9754714 40047,解得α≈24°,故Q点在O点的北偏东66°方向上.(12分)
20.解析 (1)如图所示,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为A1,过点B作准线的垂线,垂足为B1.设准线与x轴交于点G.
易知∠AFx=∠CBB1=π3,|BC|=2,
∴|BB1|=1,∴|BF|=1,(2分)
∴|AF|=|CF|=|BC|+|BF|=3,
∴|GF|=12|AA1|=12|AF|=32,∴p=32,
∴抛物线C的方程为y2=3x.(4分)
(2)不妨设D(x1,y1),E(x2,y2)(y1>0,y2<0),lDE:x=my+t.
联立x=my+t,y2=3x,得y2-3my-3t=0,
∴y1+y2=3m,y1y2=-3t,(6分)
∴OD·OE=x1x2+y1y2=y123·y223+y1y2=4,
∴y1y2=3(舍去) 或y1y2=-12,
∴-3t=-12,∴t=4,∴M(4,0).(9分)
∴S△DFO+S△DOE=12|OF|·y1+12|OM|·(y1-y2)=3y18+2(y1-y2)=19y18-2y2≥2198y1×(-2y2)=2194×12=257,当且仅当198y1=-2y2,即y1=85719,y2=-572时,等号成立,
∴S△DFO+S△DOE的最小值为257.(12分)
21.解析 (1)由题意得ca=13,a2=b2+c2,2ab=122,解得a=3,c=1,b=22,(2分)
所以椭圆C的方程为x29+y28=1.(4分)
(2)证明:如图,
设直线l的方程为x=ty+1,点M(x1,y1),N(x2,y2),
联立x=ty+1,x29+y28=1,消去x,得(8t2+9)y2+16ty-64=0,
由根与系数的关系得y1+y2=-16t8t2+9,y1y2=-648t2+9.(6分)
设点P(9,m),易得A(3,0),则AM=(x1-3,y1)=(ty1-2,y1),AP=(6,m).
由A,M,P三点共线知AM∥AP,则6y1=m(ty1-2),可得m=6y1ty1-2,即点P9,6y1ty1-2,
同理,点Q9,6y2ty2-2.(9分)
连接FP,FQ,又F(1,0),所以FP=8,6y1ty1-2,FQ=8,6y2ty2-2,
所以FP·FQ=64+36y1y2(ty1-2)(ty2-2)=64+36y1y2t2y1y2-2t(y1+y2)+4
=64+-36×648t2+9-64t28t2+9+32t28t2+9+4=64+-36×64-64t2+32t2+4(8t2+9)=64-64=0,
所以FP⊥FQ.
又因为线段PQ的中点为G,所以|FG|=12|PQ|.(12分)
22.解析 (1)由题意得2a2+1b2=1,ca=22,解得a2=4,b2=2,
所以椭圆C的方程为x24+y22=1.(3分)
(2)由x24+y22=1, y=2x+m,消去y,整理得9x2+8mx+2m2-4=0,
则Δ=64m2-36(2m2-4)=8(18-m2).
当Δ>0时,18-m2>0,解得-32当Δ=0时,18-m2=0,解得m=±32,此时直线与椭圆只有一个交点,即直线l和椭圆C相切;
当Δ<0时,18-m2<0,解得m>32或m<-32,此时直线与椭圆没有交点,即直线l和椭圆C相离.
综上,当m∈(-32,32)时,直线l和椭圆C相交;
当m=±32时,直线l和椭圆C相切;
当m∈(-∞,-32)∪(32,+∞)时,直线l和椭圆C相离.(7分)
(3)证明:联立x24+y22=1,y=kx+t,得(2k2+1)x2+4ktx+2(t2-2)=0,
所以Δ=(4kt)2-8(2k2+1)(t2-2)=8[2(2k2+1)-t2]>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-4kt2k2+1,x1x2=2(t2-2)2k2+1,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t2k2+1.(9分)
因为四边形OAPB是平行四边形,
所以OP=OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=-4kt2k2+1,2t2k2+1,
所以点P的坐标为-4kt2k2+1,2t2k2+1.
又因为点P在椭圆上,
所以4k2t2(2k2+1)2+2t2(2k2+1)2=1,即t2=2k2+12.(10分)
易得|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2
=221+k22(2k2+1)-t22k2+1=231+k22k2+1.
又因为点O到直线l'的距离d=|t|1+k2,
所以S▱OAPB=2S△OAB=|AB|·d=23|t|2k2+1=62k2+12k2+1=6,即平行四边形OAPB的面积为定值.(12分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.抛物线y=-12x2的焦点坐标是( )
A.0,18B.-18,0C.-12,0D.0,-12
2.方程(2x+3y-1)x-3=0所表示的曲线是( )
A.一条直线和一条射线B.两条射线
C.两条线段D.两条直线
3.过抛物线C:y2=6x的焦点且垂直于x轴的直线被双曲线E:x2a2-y2=1(a>0)所截得的线段的长度为22,则双曲线E的离心率e=( )
A.2B.5+12C.72D.213
4.若F1,F2是双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x216+y225=1的共同焦点,点P是两曲线的一个交点,且△PF1F2为等腰三角形,则该双曲线的渐近线方程是( )
A.y=±22xB.y=±24xC.y=±73xD.y=±377x
5.已知直线x-2y-3=0过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F,且交椭圆于A,B两点.若线段AB的中点为P,直线OP的斜率为-1,则椭圆的方程为( )
A.x245+y236=1B.x236+y227=1
C.x227+y218=1D.x218+y29=1
6.如图,在底面半径和高均为22的圆锥中,AB、CD是底面圆的两条互相垂直的直径,E是母线PB的中点,已知过CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于( )
A.5B.1C.104D.52
7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,B是椭圆C的上顶点,直线x=13c与直线BF2交于点A,若∠AF1F2=π4,则椭圆C的离心率为( )
A.55B.33C.22D.32
8.设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,圆F1与双曲线的渐近线相切,过F2且与圆F1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直,则双曲线的两条渐近线所成的锐角α的正切值为( )
A.815B.3C.43D.1
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知方程x24-t+y2t-1=1表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是( )
A.当1
C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则1
10.如图,记椭圆C1:x225+y29=1,C2:y225+x29=1内部重叠区域(阴影部分)的边界为曲线C,P是曲线C上的任意一点,则下列四个结论中正确的是( )
A.P到(-4,0),(4,0),(0,-4),(0,4)四点的距离之和必为定值
B.曲线C关于直线y=x,y=-x均对称
C.曲线C所围区域的面积必小于36
D.曲线C的总长度必大于6π
11.已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的投影,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,则下列结论正确的是( )
A.∠CFD=90°
B.△CMD为等腰直角三角形
C.直线AB的斜率为±3
D.△AOB的面积为4
12.已知l1,l2是双曲线T:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线,直线l经过T的右焦点F,且l∥l1,l交T于点M,交l2于点Q,交y轴于点N,则下列说法正确的是( )
A.△FOQ与△OQN的面积相等
B.若T的焦距为4,则点M到两条渐近线的距离之积的最大值为14
C.若FM=MQ,则T的渐近线方程为y=±x
D.若|FM||FQ|∈12,23,则T的离心率e∈[2,3]
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若双曲线y2-x2b2=1(b>0)的渐近线方程为y=±33x,则焦点到渐近线的距离是 ,焦距为 .
14.已知点F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点A为C的左顶点,C上的点与点F2之间的最小距离为2.过原点O的直线l交C于P,Q两点,直线QF1交AP于点B,且|AB|=|BP|,则椭圆C的标准方程为 .
15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C和C的一条渐近线分别相交于P,Q两点(P,Q在同一象限内),若P为线段QF的中点,且|PF|=33,则双曲线C的标准方程为 .
16.已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)求满足下列条件的曲线的方程:
(1)离心率为34,长轴长为8的椭圆的标准方程;
(2)与椭圆x224+y240=1有相同焦点,且经过点(1,15)的双曲线的标准方程.
18.(12分)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.
(1)求C1的离心率;
(2)设M是C1与C2的公共点,若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.
19.(12分)某团队在O点西侧、东侧20千米处分别设有A,B两站点,测量距离时发现一点P满足|PA|-|PB|=20千米,且以O点为原点,东侧为x轴正半轴,北侧为y轴正半轴建立平面直角坐标系,点P在点O的北偏东60°方向上.
(1)求点P的坐标;
(2)该团队又在O点南侧、北侧15千米处分别设有C,D两站点,测量距离时发现一点Q满足|QA|-|QB|=30千米,|QC|-|QD|=10千米,求|OQ|(精确到1米)和Q点的位置(精确到1°).
20.(12分)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为π3的直线交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,且|AF|=|FC|,|BC|=2,O为坐标原点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)直线l交抛物线C于D,E两点,且D,E两点位于x轴两侧,直线l与x轴交于点M,若OD·OE=4,求S△DFO+S△DOE的最小值.
21.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,右焦点为F,右顶点为A,以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为122.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F的直线l(不与x轴重合)交椭圆C于点M,N,直线MA、NA分别与直线x=9交于点P,Q,记线段PQ的中点为G,求证:|FG|=12|PQ|.
22.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(2,1),离心率为22.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=2x+m,判断直线l和椭圆C的位置关系;
(3)设直线l':y=kx+t(t≠0)与椭圆C相交于A,B两点,若以OA,OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上,求证:平行四边形OAPB的面积为定值.
答案与解析
1.D 由y=-12x2得x2=-2y,则2p=2,即p=1,所以 p2=12.因为抛物线x2=-2y的焦点在y轴的负半轴上,所以其焦点坐标为0,-12.故选D.
2.A 由(2x+3y-1)x-3=0可得2x+3y-1=0或x-3=0.当2x+3y-1=0时,x-3≥0,此时曲线为射线;当x-3=0,即x=3时,(2x+3y-1)·x-3=0恒成立,此时曲线为直线.故曲线为一条直线和一条射线,故选A.
3.D 抛物线C的焦点为32,0.对于方程x2a2-y2=1(a>0),令x=32,可得y=±94a2-1,所以294a2-1=22,所以a=32,又b=1,所以c=34+1=72,所以e=ca=7232=213.
4.B 椭圆的焦点坐标为(0,±3),所以在双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)中,有a2+b2=9.设点P在第一象限,F1为上焦点,则|PF2|=|F1F2|=6,|PF1|=10-|PF2|=4,所以在双曲线中,2a=|PF2|-|PF1|=6-4=2,所以a=1,代入a2+b2=9,得b=22(负值舍去),所以双曲线的渐近线方程为y=±abx=±122x=±24x,故选B.
5.D 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则x12a2+y12b2=1①,x22a2+y22b2=1②,①-②得x12-x22a2+y12-y22b2=0,整理可得y1-y2x1-x2·y0x0=-b2a2,即12×(-1)=-b2a2,即a2=2b2③.对于x-2y-3=0,令y=0,得x=3,因为直线x-2y-3=0过椭圆的右焦点F,所以F(3,0),即c=3,所以a2-b2=c2=9④,由③④可得a2=18,b2=9,故椭圆的方程为x218+y29=1.故选D.
6.A 如图1所示,过点E作EH⊥AB,垂足为H,设F为抛物线的焦点,连接PF.因为E是母线PB的中点,圆锥的底面半径和高均为22,所以|OH|=|EH|=2,所以|OE|=2.
在平面CED内建立平面直角坐标系,如图2所示.设抛物线的方程为y2=2px(p>0),易得点C的坐标为(2,22),代入抛物线方程可得8=2p·2,所以p=2,所以F(1,0),即|EF|=1.易得|PB|=4,所以|PE|=2,所以∠PEO=90°,所以抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为|PE|2+|EF|2=5,故选A.
图1 图2
7.A 如图,由题意知B(0,b),F2(c,0),
所以直线BF2的方程为xc+yb=1.
联立x=13c,xc+yb=1,解得x=13c,y=23b,即A13c,23b.设直线x=13c与x轴交于点M,则|F1M|=43c,|MA|=23b.因为∠AF1F2=π4,所以|F1M|=|MA|,即43c=23b,所以b=2c,所以a2-c2=b2=4c2,即a=5c,所以离心率e=ca=55.
8.C 如图所示,渐近线l的方程为y=-bax,
即bx+ay=0,点F1(-c,0)到l的距离为|AF1|=|-bc|b2+a2=b,所以|OA|=|OF1|2-|AF1|2=c2-b2=a,所以cs∠AOF1=|OA||OF1|=ac.
设BF2与l的交点为C,
因为BF2与圆F1相切,且BF2⊥l,所以C为BF2的中点,易得|OC|=b2,则cs∠COF2=|OC||OF2|=b2c,又cs∠AOF1=cs∠COF2,所以ac=b2c,所以ba=2,所以tan α=2-(-2)1+2×(-2)=43,故选C.
9.BC 当曲线C是椭圆时,4-t>0,t-1>0,4-t≠t-1,解得1
11.AC 如图,过点M向准线l作垂线,垂足为N,易知F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2).
易知|AF|=|AC|,所以∠AFC=∠ACF,又因为∠OFC=∠ACF,所以∠OFC=∠AFC,所以FC平分∠OFA,同理,FD平分∠OFB,所以∠CFD=90°,故A正确;
假设△CMD为等腰直角三角形,则12|CD|=|MN|,
因为|AF|=3|BF|,所以|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=4|BF|,
所以|MN|=2|BF|,所以|CD|=2|MN|=4|BF|,所以|CD|=|AB|,显然不成立,故B错误;
设直线AB的方程为x=my+1,联立y2=4x,x=my+1,可得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4.因为|AF|=3|BF|,所以y1=-3y2,所以-2y2=4m,-3y22=-4,
所以m2=13,所以1m=±3,所以直线AB的斜率为±3,故C正确;
不妨设m=33,则y1+y2=433,y1y2=-4,所以|y1-y2|=4332+16=833,所以S△AOB=12·|OF|·|y1-y2|=12×1×833=433,故D错误.故选AC.
12.AC 由题可知,F(c,0),不妨记l1:y=bax,l2:y=-bax.由l∥l1可得l的方程为y=ba(x-c),与l2的方程联立可解得xQ=c2,yQ=-bc2a,即点Qc2,-bc2a.对于y=ba(x-c),令x=0,可得y=-bca,即点N0,-bca,所以S△FOQ=12×c×bc2a=bc24a,S△OQN=12×c2×bca=bc24a,所以S△FOQ=S△OQN,A正确;设M(x0,y0),则x02a2-y02b2=1,即b2x02-a2y02=a2b2,所以点M到两条渐近线的距离之积为|bx0-ay0|a2+b2·|bx0+ay0|a2+b2=|b2x02-a2y02|a2+b2=a2b2a2+b2,因为T的焦距为4,所以c=2,所以a2b2a2+b2=a2b24,因为4=a2+b2≥2ab,所以ab≤2,所以a2b2≤4,所以a2b2a2+b2=a2b24≤1,当且仅当a=b=2时取等号,所以点M到两条渐近线的距离之积的最大值为1,B错误;由FM=MQ得M为QF的中点,则x0=c2+c2=3c4,y0=-bc2a2=-bc4a,即点M3c4,-bc4a,代入双曲线T的方程得3c42a2--bc4a2b2=1,即c2a2=2,又c2=a2+b2,所以a2=b2,所以a=b,所以双曲线T的渐近线方程为y=±x,C正确;由y=ba·(x-c)与x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),得xM=c2+a22c,所以|FM||FQ|=xF-xMxF-xQ=c-c2+a22cc-c2=1-1e2∈12,23,得e2∈[2,3],所以e∈[2,3],D错误.故选AC.
13.答案 3;4
解析 易得a=1,渐近线方程为y=±abx=±1bx=±33x,
∴1b=33,即b=3,∴焦点到渐近线的距离d=±cb1+1b2=3.
易得c=a2+b2=1+3=2,则焦距为2c=4.
14.答案 x29+y28=1
解析 如图,连接OB,AQ,因为O,B分别为PQ,PA的中点,所以OB是△PAQ的中位线,所以OB∥AQ,所以△OF1B∽△AF1Q,所以|OB||AQ|=|OF1||AF1|=12,即ca-c=12,所以a=3c.因为C上的点与点F2之间的最小距离为2,所以a-c=2,所以a=3,c=1,所以b=a2-c2=22.故椭圆C的标准方程为x29+y28=1.
15.答案 x23-y2=1
解析 由双曲线方程可得F(c,0),一条渐近线的方程为y=bax.由|PF|=33,可得Pc,33.由P为线段QF的中点可得Qc,233.将Q的坐标代入渐近线的方程,得233=bca,整理得43=(c2-a2)c2a2,即4a2=3c4-3a2c2①.因为点P在双曲线上,所以c2a2-13b2=1,所以3c2(c2-a2)-a2=3a2(c2-a2),整理得3c4-6a2c2-a2+3a4=0②.
由①②可得3c4-7a2c2+4a4=0,因为c>a,所以c2=43a2③.
由②③解得c2=4,a2=3,故b2=1,所以双曲线的方程为x23-y2=1.
16.答案 3x+6y+4=0
解析 由A(2,2)在抛物线y2=2px(p>0)上,得22=2p×2,解得p=1,故抛物线方程为y2=2x.易知过点A(2,2)且与圆(x-2)2+y2=1相切的直线的斜率存在,设其方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,则圆心(2,0)到切线的距离d=|2k-0+2-2k|k2+1=1,解得k=±3.不妨设直线AB:y-2=3(x-2),直线AC:y-2=-3(x-2).
联立y-2=3(x-2),y2=2x,得3x2+(43-14)x+16-83=0,故xAxB=16-833,又xA=2,∴xB=8-433,∴yB=23-63.联立y-2=-3(x-2),y2=2x,得3x2-(43+14)x+16+83=0,故xAxC=16+833,又xA=2,∴xC=8+433,∴yC=-23-63,∴yB+yC=23-63+-23-63=-4.由B,C在抛物线上可知,kBC=yB-yCxB-xC=yB-yC12yB2-12yC2=2yB+yC=2-4=-12,故直线BC的方程为y-23-63=-12x-8-433,即3x+6y+4=0.
17.解析 (1)由题意得2a=8,e=ca=34,解得a=4,c=3,则b=a2-c2=16-9=7.(3分)
若椭圆的焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为x216+y27=1;
若椭圆的焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为y216+x27=1.
综上,椭圆的标准方程为x216+y27=1或y216+x27=1.(5分)
(2)易知椭圆的焦点为(0,4)和(0,-4),所以双曲线的焦点为(0,4)和(0,-4).(6分)
设所求双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),则a2+b2=16①.
由双曲线经过点(1,15),得15a2-1b2=1②.(8分)
联立①②,解得a2=12,b2=4,故双曲线的标准方程为y212-x24=1.(10分)
18.解析 (1)由已知可设C2的方程为y2=4cx(c>0),其中c=a2-b2.
不妨设A,C在第一象限,由题意可得A,B的纵坐标分别为b2a,-b2a,C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.(3分)
由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3×ca=2-2ca2,解得ca=-2(舍去)或ca=12.所以C1的离心率为12.(6分)
(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y23c2=1.
设M(x0,y0),则x024c2+y023c2=1,
又因为y02=4cx0,所以x024c2+4x03c=1.(*)(8分)
易知C2的准线方程为x=-c,所以|MF|=x0+c,
而|MF|=5,所以x0=5-c,(10分)
代入(*)得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.
所以C1的标准方程为x236+y227=1,C2的标准方程为y2=12x.(12分)
19.解析 (1)易知点P在以A,B为焦点的双曲线上,设其标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).(1分)
由题意可得a=10,c=20,所以b2=300,
所以双曲线的标准方程为x2100-y2300=1.(3分)
易得直线OP:y=33x,且P在第一象限.联立x2100-y2300=1,y=33x,所以x=1522,y=562,即点P的坐标为1522,562.(6分)
(2)由|QA|-|QB|=30可知,点Q在以A,B为焦点的双曲线上,设其为C1,标准方程为x2a12-y2b12=1(a1>0,b1>0),易知a1=15,c1=20,所以b12=175,则双曲线C1的方程为x2225-y2175=1.(8分)
由|QC|-|QD|=10可知,点Q在以C,D为焦点的双曲线上,设其为C2,标准方程为y2a22-x2b22=1(a2>0,b2>0),易知a2=5,c2=15,所以b22=200,所以双曲线C2的方程为y225-x2200=1.(10分)
两双曲线方程联立,结合题意可得Q14 40047,2 97547,
所以|OQ|≈19米.设OQ与x轴所成的角为α,则tan α=2 9754714 40047,解得α≈24°,故Q点在O点的北偏东66°方向上.(12分)
20.解析 (1)如图所示,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为A1,过点B作准线的垂线,垂足为B1.设准线与x轴交于点G.
易知∠AFx=∠CBB1=π3,|BC|=2,
∴|BB1|=1,∴|BF|=1,(2分)
∴|AF|=|CF|=|BC|+|BF|=3,
∴|GF|=12|AA1|=12|AF|=32,∴p=32,
∴抛物线C的方程为y2=3x.(4分)
(2)不妨设D(x1,y1),E(x2,y2)(y1>0,y2<0),lDE:x=my+t.
联立x=my+t,y2=3x,得y2-3my-3t=0,
∴y1+y2=3m,y1y2=-3t,(6分)
∴OD·OE=x1x2+y1y2=y123·y223+y1y2=4,
∴y1y2=3(舍去) 或y1y2=-12,
∴-3t=-12,∴t=4,∴M(4,0).(9分)
∴S△DFO+S△DOE=12|OF|·y1+12|OM|·(y1-y2)=3y18+2(y1-y2)=19y18-2y2≥2198y1×(-2y2)=2194×12=257,当且仅当198y1=-2y2,即y1=85719,y2=-572时,等号成立,
∴S△DFO+S△DOE的最小值为257.(12分)
21.解析 (1)由题意得ca=13,a2=b2+c2,2ab=122,解得a=3,c=1,b=22,(2分)
所以椭圆C的方程为x29+y28=1.(4分)
(2)证明:如图,
设直线l的方程为x=ty+1,点M(x1,y1),N(x2,y2),
联立x=ty+1,x29+y28=1,消去x,得(8t2+9)y2+16ty-64=0,
由根与系数的关系得y1+y2=-16t8t2+9,y1y2=-648t2+9.(6分)
设点P(9,m),易得A(3,0),则AM=(x1-3,y1)=(ty1-2,y1),AP=(6,m).
由A,M,P三点共线知AM∥AP,则6y1=m(ty1-2),可得m=6y1ty1-2,即点P9,6y1ty1-2,
同理,点Q9,6y2ty2-2.(9分)
连接FP,FQ,又F(1,0),所以FP=8,6y1ty1-2,FQ=8,6y2ty2-2,
所以FP·FQ=64+36y1y2(ty1-2)(ty2-2)=64+36y1y2t2y1y2-2t(y1+y2)+4
=64+-36×648t2+9-64t28t2+9+32t28t2+9+4=64+-36×64-64t2+32t2+4(8t2+9)=64-64=0,
所以FP⊥FQ.
又因为线段PQ的中点为G,所以|FG|=12|PQ|.(12分)
22.解析 (1)由题意得2a2+1b2=1,ca=22,解得a2=4,b2=2,
所以椭圆C的方程为x24+y22=1.(3分)
(2)由x24+y22=1, y=2x+m,消去y,整理得9x2+8mx+2m2-4=0,
则Δ=64m2-36(2m2-4)=8(18-m2).
当Δ>0时,18-m2>0,解得-32
当Δ<0时,18-m2<0,解得m>32或m<-32,此时直线与椭圆没有交点,即直线l和椭圆C相离.
综上,当m∈(-32,32)时,直线l和椭圆C相交;
当m=±32时,直线l和椭圆C相切;
当m∈(-∞,-32)∪(32,+∞)时,直线l和椭圆C相离.(7分)
(3)证明:联立x24+y22=1,y=kx+t,得(2k2+1)x2+4ktx+2(t2-2)=0,
所以Δ=(4kt)2-8(2k2+1)(t2-2)=8[2(2k2+1)-t2]>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-4kt2k2+1,x1x2=2(t2-2)2k2+1,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t2k2+1.(9分)
因为四边形OAPB是平行四边形,
所以OP=OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=-4kt2k2+1,2t2k2+1,
所以点P的坐标为-4kt2k2+1,2t2k2+1.
又因为点P在椭圆上,
所以4k2t2(2k2+1)2+2t2(2k2+1)2=1,即t2=2k2+12.(10分)
易得|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2
=221+k22(2k2+1)-t22k2+1=231+k22k2+1.
又因为点O到直线l'的距离d=|t|1+k2,
所以S▱OAPB=2S△OAB=|AB|·d=23|t|2k2+1=62k2+12k2+1=6,即平行四边形OAPB的面积为定值.(12分)
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