高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.2 等差数列的前n项和课堂教学ppt课件

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1.理解等差数列前n项和公式的推导过程;2.掌握等差数列前n项和公式及性质,并能解决相应问题;3.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系,能够由其中的三个求另外的两个.
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等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=　　　　　或Sn=　　　　　　　. 
名师点睛1.对前n项和公式的几点说明
(1)当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式 .用此公式时,有时要结合等差数列的性质.(2)当已知首项a1,公差d及项数n时,用公式 .
2.等差数列前n项和的性质性质1:等差数列的依次k项之和仍然是等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…成等差数列,且公差为k2d.
性质3:S2n-1=(2n-1)an.
性质5:(1)若等差数列{an}的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,
过关自诊1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=-1,a10=11,则S10=(　　)A.30B.40C.50D.60
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=-5,d=3,则S8=(　　)A.44B.40C.15D.5
等差数列的前n项和公式与函数的关系
因此,由二次函数的性质可以得出结论:当d>0时,Sn有最小值;当d<0时,Sn有最大值.
过关自诊[人教A版教材例题]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=10,公差d=-2,则Sn是否存在最大值?若存在,求Sn的最大值及取得最大值时n的值;若不存在,请说明理由.
探究点一　等差数列的前n项和公式的直接应用
【例1】 [人教A版教材例题]已知数列{an}是等差数列.(1)若a1=7,a50=101,求S50;
整理,得n2-7n-60=0.解得n=12,或n=-5(舍去).所以n=12.
规律方法　等差数列的求解策略等差数列的两个求和公式一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量,通常已知其中三个,可求另外两个,方法就是解方程组.
变式训练1设Sn为等差数列{an}的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9=　　　　. 
探究点二　等差数列前n项和性质的应用
【例2】 (1)等差数列{an}中共有3m项,前2m项的和为100,后2m项的和为200,求中间m项的和.
(方法二)∵数列{an}为等差数列,设Sn为数列{an}的前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,∴2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m),∴4(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m+2(S2m-Sm)=S3m-Sm+S2m.又S2m=100,S3m-Sm=200,
(2)项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.
解 不妨设等差数列{an}共有(2n+1)项,则奇数项有(n+1)项,偶数项有n项,中间项是第(n+1)项,即an+1,
∴2n+1=7.又S奇=(n+1)an+1=44,∴a4=11.故这个数列的中间项为11,项数为7.
规律方法　利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时,先利用已知条件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有时运算量大些).(2)如果利用等差数列前n项和的性质或利用等差数列通项公式的性质,可简化运算,为最优解法.(3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法.
变式训练2(1)[2023陕西西安中学高二期中]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=9,S9=45,则数列{an}的公差为(　　)A.2B.-2C.6D.4
解析 ∵{an}为等差数列,∴S9=9a5=45,∴a5=5,∴数列{an}的公差为a6-a5=4.故选D.
(2)已知等差数列{an}共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(　　)A.5B.4C.3D.2
解析 设数列{an}的首项为a1,公差为d.
(3)[人教A版教材习题改编]在等差数列{an}中,Sn为其前n项的和,若S4=6,S8=20,则S16=　　　　　. 
解析 由题意,知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12仍成等差数列,即6,14,S12-20,S16-S12成等差数列,其公差为14-6=8,所以S12-20=14+8=22,S16-S12=14+8×2=30,解得S12=42,S16=72.
探究点三　等差数列前n项和的最值问题
【例3】 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.
解(方法一)设数列{an}的公差为d.
(方法二)先求出d=-2(同方法一).∵a1=25>0,
∴当n=13时,Sn有最大值169.(方法三)先求出d=-2(同方法一).由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0.又a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,∴a13+a14=0.∵d=-2<0,a1>0,∴a13>0,a14<0.∴n=13时,Sn有最大值169.
(方法四)先求出d=-2(同方法一),则Sn=26n-n2.令y=-x2+26x(x>0),则其图象如图所示,
由S17=S9知,图象的对称轴为直线x= =13,故当n=13时,Sn取得最大值169.
规律方法　解等差数列的前n项和最大(小)值问题的常用方法(1)二次函数法:由于 是关于n的二次式,因此可用二次函数的最值来确定Sn的最值,但要注意这里的n∈N+.(2)图象法:可利用二次函数图象的对称性来确定n的值,使Sn达到最大(或最小).(3)通项法:由于Sn=Sn-1+an,所以当an≥0时,Sn≥Sn-1;当an≤0时,Sn≤Sn-1,因此当a1>0,且d<0时,使an≥0的最大的n的值,使Sn最大;当a1<0,d>0时,满足an≤0的最大的n的值,使Sn最小.
变式训练3在等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使{an}的前n项和Sn最大的n的值为(　　)A.5B.6C.5或6D.6或7
解析 由已知得a3>0,a9<0,因此|a3|=|a9|可化为a3+a9=0,即a6=0,所以S5=S6,故使{an}的前n项和Sn最大,n的值为5或6.
1.[2023湖北宜昌高二期末]已知等差数列{an}中,a5+a9=2,则S13=(　　)A.11B.12C.13D.不确定
2.已知数列{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,其前n项和为Sn,且满足2a4=a3+5,则S9=(　　)A.35B.40C.45D.50
解析 ∵2a4=a3+5,∴2(a5-d)=a5-2d+5,∴a5=5,
3.(多选题)[2023河北石家庄第二十五中学高三开学考试]已知公差d不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+3a2=S6,则(　　)A.a7=0B.a2+a6=a8C.S13=0D.S6=S8
解析 由题意有a1+3a2= ×6,化简整理得a1+6d=0,所以a7=0,选项A正确;a2+a6=2a1+6d=-6d,a8=a1+7d=d,因为d≠0,所以a2+a6≠a8,故选项B不正确;S13= ×13=13a7=0,故选项C正确;因为a7=0,d≠0,所以a7+a8≠0,所以S6≠S8,故D不正确.故选AC.
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 =2,则数列{an}的公差为　　　　.