人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.3 等比数列5.3.2 等比数列的前 n项和图片课件ppt

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1.理解等比数列的前n项和公式的推导过程;2.掌握等比数列的前n项和公式及性质,并能用其解决有关等比数列的问题;3.熟练掌握等比数列的五个量a1,q,n,an,Sn的关系,并能进行相关的运算.
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等比数列的前n项和公式
一般地,设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则
因为an=a1qn-1,所以q≠1时,等比数列前n项和的公式也可改写为Sn=　　　　　　. 
过关自诊[北师大版教材例题](1)已知等比数列{an}中,a1=2,q=3.求S3;
等比数列前n项和的常用性质
设等比数列{an}的公比为q,首项为a1,前n项和为Sn,则等比数列的性质如下:(1)Sk≠0时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
过关自诊[人教A版教材例题改编]等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若 ,则公比q=　　　　. 
探究点一　等比数列前n项和公式的应用
【例1】 在等比数列{an}中,(1)已知a1=3,q=2,求a6,S6;(2)已知a1=-1,a4=64,求q和S4;
解(1)a6=a1q5=3×25=96.
(2)∵a4=a1q3,∴64=-q3,∴q=-4,
规律方法　等比数列前n项和公式的应用策略在等比数列{an}中,首项a1与公比q是两个最基本的元素,有关等比数列的问题,均可化成关于a1,q的方程或方程组求解.解题过程中,要注意:①选择适当的公式;②利用等比数列的有关性质;③注意在使用等比数列前n项和公式时,要考虑q是否等于1.
变式训练1在等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn.
(3)a6-a4=24,a3a5=64,求S8.
探究点二　等比数列前n项和性质的应用
【例2】 (1)已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的公比q=　　　　　,项数n=　　　　　. 
解析 (方法一)∵n为偶数,∴S偶=q·S奇,
∴2n-1=255,∴n=8,故这个数列的公比为2,项数为8.
(方法二)该等比数列的公比为q,n为偶数,则奇数项和偶数项也分别成等比数列,公比均为q2.
∴q=2,n=8,∴这个数列的公比为2,项数为8.
(2)在等比数列{an}中,若前10项的和S10=10,前20项的和S20=30,则前30项的和S30=　　　　　. 
解析 (方法一)设数列{an}的首项为a1,公比为q,
(方法二)由题可得S10,S20-S10,S30-S20仍成等比数列,又S10=10,S20=30,
变式训练2[北师大版教材习题]一个等比数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为(　　)A.83B.108C.75D.63
解析 记等比数列的前n项和为Sn,由题意知(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),所以S3n=63.
探究点三　特殊数列的求和
【例3】 已知数列{an}为等差数列,数列{bn}是公比为2的等比数列,且满足a1=b1=1,b2+a2=5.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)令cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Sn.
解(1)设数列{an}的公差为d,由已知,得2+1+d=5,解得d=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,数列{bn}的通项公式为bn=2n-1.
(2)cn=an+bn=2n-1+2n-1.分组求和,分别根据等比数列求和公式与等差数列
规律方法　分组求和法适用于某些特殊数列的求和,这些特殊数列的通项可写成几个等比数列或等差数列的和的形式.
变式训练3已知数列{an}的通项公式an=2n+n,求该数列的前n项和Sn.
解Sn=a1+a2+a3+…+an=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(2n+n)=(2+22+23+…+2n)+(1+2+3+…+n)
1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=3(a1+a2),则公比q的值为(　　)
2.已知等比数列{an}的公比q=-2,前6项和S6=21,则a6=(　　)A.-32B.-16C.16D.32
解析 因为q=-2,S6=21,则有S6= =-21a1=21,即a1=-1,所以a6=a1q5=(-1)×(-2)5=32.
3.(多选题)[2023安徽阜阳颍上第一中学高二期末]已知数列{an},其前n项和为Sn,则下列结论正确的是(　　)A.若数列{an}是等差数列,则{an+an+1}是等差数列B.若数列{an}是等比数列,则{an+an+1}是等比数列C.若数列{an}是等差数列,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k是等差数列D.若数列{an}是等比数列,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k是等比数列
解析 对于A,若数列{an}是等差数列,设公差为d,则an+1+an+2-(an+an+1) =an+2-an=2d为常数,因此{an+an+1}是等差数列,A正确;对于C,Sk=a1+a2+…+ak,S2k-Sk=ak+1+ak+2+…+a2k,S3k-S2k =a2k+1+a2k+2+…+a3k,显然有a1+a2k+1=2ak+1,a2+a2k+2=2ak+1,……,ak+a3k=2a2k,所以Sk+(S3k-S2k)=2(S2k-Sk),即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k是等差数列,C正确;对于B,an=(-1)n,则{an}是等比数列,但an+an+1=0,{an+an+1}不是等比数列,B错误;对于D,an=(-1)n,当k=2时,S2=0,S4-S2=0,S6-S4=0,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k不是等比数列,D错误.故选AC.
4.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3= ,则a4的值为　　　　　. 
5.[2023宁夏银川一中高二阶段练习]已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若