人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质教案

1.3　函数的基本性质

一、教材分析：学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。

二、学习目标：

①使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法;

②通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力;

③通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程.

三、教学重点：判断或证明函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间.

四、教学难点：会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．

五、课时安排：1课时

六、教学过程

（一）、自主导学（课堂导入）

1、设计问题,创设情境

⑴观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

①随x的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？

（2）德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850~1909),他以自己为实验对象,共做了163次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据.

　　观察这些数据,可以看出:记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量(时间间隔t)逐渐增大时,你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗?描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的?你能用数学符号来刻画吗?通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?

2、自主探索,尝试解决

记忆量y随时间间隔t的增大而增大;以时间间隔t为x轴,以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图所示.

遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解和记忆.

问题1:如图所示为一次函数y=x、二次函数y=x和y=-x的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?

（问题1）函数y=x的图象从左向右看是上升的;函数y=x的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的;函数y=-x的图象在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是下降的.

问题2:函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义?

（问题2）函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.

问题3:如何理解图象是上升的?

（问题3）按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.

问题4:在数学上规定:函数y=x在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义?

（1）增函数定义

一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x、x,当x<x时,都有f(x)<f(x),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.

3、信息交流,揭示规律

（1）增函数的定义（老师提问让学生思考，加深学生对单调性概念的理解）

问题5:增函数的定义中,把“当x<x时,都有f(x)<f(x)”改为“当x>x时,都有f(x)>f(x)”,这样行吗?

可以.增函数的定义:由于当x<x时,都有f(x)<f(x),即都是相同的不等号“<”,也就是说前面是“<”,后面也是“<”,步调一致;“当x>x时,都有f(x)>f(x)”都是相同的不等号“>”,也就是说前面是“>”,后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为:步调一致增函数.

问题6:增函数的定义中,“当x<x时,都有f(x)<f(x)”反映了函数值有什么变化趋势?函数的图象有什么特点?

（问题6）函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.

教师追问（并板书）：类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义?

（2）减函数的定义

一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x、x,当x<x时,都有f(x)>f(x),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为:步调不一致减函数.

减函数的几何意义:从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势:函数值随着自变量的增大而减小.

问题8:函数y=f(x)在区间D上具有单调性,说明了函数y=f(x)在区间D上的图象有什么变化趋势?

函数y=f(x)在区间D上函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小),几何意义:从左向右看,图象是上升(下降)的.

（二）、合作学习

让学生合作做练习，教师巡视指导然后讲解例题.

【例1】如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

解:函数y=f(x)的单调区间是[-5,2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中函数y=f(x)在区间[-5,2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.

【例2】物理学中的玻意耳定律p=(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之.

证明:设V,V∈(0,+∞)且V<V,

则p=,p=.

p-p=-=.

∵k>0,V<V,V>0,V>0.

∴>0,∴p>p.

根据减函数的定义知p=在(0,+∞)上是减函数.

点评:本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单调性.

定义法判断或证明函数的单调性的步骤是:第一步,在所给的区间上任取两个自变量x和x,通常令x<x;第二步,比较f(x)和f(x)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号;第三步,再归纳结论.定义法的步骤可以总结为:一“取(去)”、二“比”、三“再(赛)”,因此简称为“去比赛”.

【例3】(1)证明函数f(x)=-x+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数;

(2)当函数f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数m的取值范围.

解:(2)设x,x∈(-∞,1],且x<x,则有

f(x)-f(x)=(-+2x+3)-(-+2x+3)

=(-)+2(x-x)

=(x-x)(2-x-x).

∵x,x∈(-∞,1],且x<x,∴x-x<0,x+x<2.

∴2-x-x>0.∴f(x)-f(x)<0.∴f(x)<f(x).

∴函数f(x)=-x+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数.

(3)函数f(x)=-x+2x+3的对称轴是直线x=1,在对称轴的左侧是增函数,那么当区间(-∞,m]位于对称轴的左侧时满足题意,则有m≤1,即实数m的取值范围是(-∞,1].

（三）、当堂检测

1、课本1,3,4题

2,已知函数f(x)是R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x).

(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数;

(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.

解:(1)设x,x∈R,且x<x.则

F(x)-F(x)=[f(x)-f(a-x)]-[f(x)-f(a-x)]

=[f(x)-f(x)]+[f(a-x)-f(a-x)].

又∵函数f(x)是R上的增函数,x<x,∴a-x<a-x.

∴f(x)<f(x),f(a-x)<f(a-x).

∴[f(x)-f(x)]+[f(a-x)-f(a-x)]<0.

∴F(x)<F(x).∴F(x)是R上的增函数.

(2)设点M(x,F(x))是函数F(x)的图象上任意一点,则点M(x,F(x))关于点(,0)的对称点为M'(a-x,-F(x)).

又∵F(a-x)=f(a-x)-f(a-(a-x))

=f(a-x)-f(x)=-[f(x)-f(a-x)]

=-F(x),

∴点M'(a-x,-F(x))也在函数F(x)的图象上,

又∵点M(x,F(x))是函数F(x)的图象上任意一点,

∴函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.

3、(1)写出函数y=x-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?

解:(1)函数y=x-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而函数在此两区间上的单调性相反.

(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?

(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而函数在此两区间上的单调性相反.

(3)由以上你发现了什么结论?试加以证明.

(3)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:

不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间[a,b]上是增函数,区间[a,b]关于直线x=m的对称区间是[2m-b,2m-a].

由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).

设2m-b≤x<x≤2m-a,则b≥2m-x>2m-x≥a,

f(x)-f(x)=f(2m-x)-f(2m-x).

又∵函数y=f(x)在[a,b]上是增函数,

∴f(2m-x)-f(2m-x)>0.

∴f(x)-f(x)>0.∴f(x)>f(x).

∴函数y=f(x)在区间[2m-b,2m-a]上是减函数.

∴当函数y=f(x)在对称轴x=m的一侧一个区间[a,b]上是增函数时,其在[a,b]关于直线x=m的对称区间[2m-b,2m-a]上是减函数,即单调性相反.

因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.

（四）、课堂小结

（教师根据学生具体的的学习接受情况提问并和学生一起做总结概括)

1.本节课你有哪些收获?函数的单调性概念明白了吗?常用的判断、证明方法有哪些?

2.你对自己本节课的表现有何评价?

3.你在与同学的交流中有何感受?

4.你对本节课还有哪些困惑和建议?

七．课外作业

课本习题

八、教学反思：