高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质集体备课教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质集体备课教学设计及反思，共11页。教案主要包含了函数奇偶性的判断，利用函数的奇偶性求参数值等内容，欢迎下载使用。

3．2.2　奇偶性
第1课时　奇偶性的概念
学习目标　1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．


知识点一　函数奇偶性的几何特征
一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．
知识点二　函数奇偶性的定义
1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
知识点三　奇(偶)函数的定义域特征
奇(偶)函数的定义域关于原点对称．

1．奇、偶函数的定义域都关于原点对称．(　√　)
2．函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称．(　×　)
3．对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数．(　×　)
4．不存在既是奇函数又是偶函数的函数．(　×　)

一、函数奇偶性的判断
例1　判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2(x2＋2)；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝＋.
解　(1)f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝是奇函数．
(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.
∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数．
(3)f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
∵定义域不关于原点对称，
∴f(x)＝既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)f(x)＝＋的定义域为{－1,1}．
∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，
∴f(x)＝＋既为奇函数，又为偶函数．
反思感悟　判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
①定义域关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系．
(2)图象法．
跟踪训练1　判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解　(1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝是非奇非偶函数．
(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．
f(－x)＝＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
二、奇、偶函数图象的应用
例2　定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．

(1)画出f(x)的图象；
(2)解不等式xf(x)>0.
考点　函数图象的对称性
题点　中心对称问题
解　(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．

(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
延伸探究　
把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．
解　(1)f(x)的图象如图所示：

(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
反思感悟　可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等．
跟踪训练2　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．

(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
考点　函数图象的对称性
题点　中心对称问题
解　(1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.

分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，
再用光滑曲线连接即得．
(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.
∴使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2 三、利用函数的奇偶性求参数值
例3　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
答案　　0
解析　因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.
答案　0
解析　由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
反思感悟　利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．
跟踪训练3　(1)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
答案　0
解析　方法一　显然x∈R，
由已知得f(－x)＝(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x－a|.
又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2－|x＋a|＝x2－|x－a|，
即|x＋a|＝|x－a|.
又x∈R，所以a＝0.
方法二　由题意知f(－1)＝f(1)，则|a－1|＝|a＋1|，解得a＝0.
(2)已知函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx.若f(2)＝－3，则m的值为________．
答案　
解析　∵f(－2)＝－f(2)＝3，
∴f(－2)＝(－2)2－2m＝3，
∴m＝.

1．下列函数是偶函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝2x2－3
C．y＝ D．y＝x2，x∈(－1,1]
答案　B
2．函数f(x)＝－x的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
答案　C
解析　∵f(x)＝－x是奇函数，
∴f(x)＝－x的图象关于原点对称．
3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　)

考点　函数的奇偶性概念
题点　函数奇偶性概念的理解
答案　B
4．f(x)＝x2＋|x|(　　)
A．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数
C．不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　判断函数的单调性、奇偶性
答案　D
5．若已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ＝，则函数f(x)的解析式为________．
答案　f(x)＝
解析　∵f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴f(0)＝＝0，∴b＝0.
即f(x)＝，
又f ＝，∴＝.
∴a＝1，∴函数f(x)＝.

1．知识清单：
(1)函数奇偶性的概念．
(2)奇函数、偶函数的图象特征．
2．方法归纳：特值法、数形结合法．
3．常见误区：忽略函数的定义域的对称性，只有定义域关于原点对称，才可能具有奇偶性．


1．下列函数中奇函数的个数为(　　)
①f(x)＝x3； ②f(x)＝x5；
③f(x)＝x＋； ④f(x)＝.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点中一定在函数f(x)的图象上的是(　　)
A．(3，－2) B．(3,2) C．(－3，－2) D．(2，－3)
答案　A
解析　f(－3)＝2即点(－3,2)在奇函数的图象上，
∴(－3,2)关于原点的对称点(3，－2)必在f(x)的图象上．
3．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
答案　A
解析　F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)．
∴F(x)为奇函数
4．若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a的值为(　　)
A．0 B．－1 C．1 D．2
答案　C
解析　∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0得a＝1.
5.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　)

A．－2 B．2
C．1 D．0
答案　A
解析　f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)
＝－－＝－2.
6．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
答案　4
解析　f(x)＝x2＋(a－4)x－4a是偶函数，∴a＝4.
7．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
答案　5
解析　因为f(x)是奇函数，
所以f(－3)＝－f(3)＝－6，
所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.
8．若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：
①f(x)＋f(－x)＝0；
②f(x)－f(－x)＝2f(x)；
③f(x)·f(－x)<0；
④＝－1.
其中一定正确的为________．(填序号)
答案　①②
解析　∵f(x)在R上为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．
f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确．
当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．
当x＝0时，分母为0，无意义，故④不正确．
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
考点　函数的奇偶性判定与证明
题点　判断简单函数的奇偶性
解　(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．

(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
解　(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2.

(2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f(1)>f(3)．

11．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝－
答案　B
解析　对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，
所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，
所以在(0，＋∞)上单调递增．
另外，函数y＝x3不是偶函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝－不是偶函数．故选B.
12．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
考点　函数的奇偶性判定与证明
题点　判断抽象函数的奇偶性
答案　A
解析　由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，
由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，
故|g(x)|为偶函数，
∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
13．函数f(x)＝的定义域为________，为______函数(填“奇”或“偶”)．
答案　[－2,0)∪(0,2]　奇
解析　依题意有
解得－2≤x≤2且x≠0，
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]．
∵f(x)＝＝＝－，定义域关于原点对称，
∴f(－x)＝＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
14．函数f(x)＝ax3＋bx＋＋5满足f(－3)＝2，则f(3)的值为________．
答案　8
解析　设g(x)＝f(x)－5＝ax3＋bx＋(x≠0)，
∵g(－x)＝－ax3－bx－＝－g(x)，
∴g(x)是奇函数，
∴g(3)＝－g(－3)＝－[f(－3)－5]
＝－f(－3)＋5＝－2＋5＝3，
又g(3)＝f(3)－5＝3，
∴f(3)＝8.

15．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
考点　函数图象的对称性
题点　中心对称问题
答案　
解析　根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.
16．设函数f(x)＝是奇函数(a，b，c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a，b，c的值．
解　由条件知f(－x)＋f(x)＝0，
∴＋＝0，∴c＝0.
又f(1)＝2，∴a＋1＝2b.
∵f(2)<3，∴<3，∴<3，
解得－1 ∴b＝或1，由于b∈Z，
∴a＝1，b＝1，c＝0.