2023-2024学年湖南省长沙市开福区周南实验中学八年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市开福区周南实验中学八年级（上）入学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，直线，直线，被直线所截，若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  在平面直角坐标系中，在第三象限的点是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列调查中，最适合采用全面调查的是(    )

A. 环保部门调查湘江的水质情况
B. 调查五一劳动节期间到网红城市长沙的旅客满意度
C. 调查长沙湘江新区老年人使用手机的时长
D. 调查神舟十六号飞船各零部件是否正常

5.  估计的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

6.  如图，下列推理不正确的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

7.  如果，那么下列各式中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在九章算术中记载了这样一个问题，大意为：“今有只雀、只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果只雀和只燕的总重量为斤，问雀、燕每只各重多少斤？”如果设每只雀重斤，每只燕重斤，则下列方程组正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  已知三角形的三边长为、、，则的取值范围是______ ．

12.  一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______．

13.  把命题“锐角小于它的补角”改写成“如果那么”的形式为______ ．

14.  将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若，则为______度．

15.  下列说法：
两条不相交的直线叫平行线；
两条不相交的线段，在同一平面内必平行；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
若直线，，那么，
其中错误的是______ 只填序号

16.  已知关于，的方程组的解满足不等式，则实数的取值范围为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解方程组：；
解不等式组．

19.  本小题分
在括号内填写理由．
如图，已知，求证：．
证明：______，
 ______
______
又______，
 ______
______
______

20.  本小题分
如图，直线，相交于点，平分．
若，，求的度数；
若平分，，求的度数．

21.  本小题分
今年某市提出城市核心价值观：“包容、尚德、守法、诚信、卓越”，学校德育处为了了解学生对城市核心价值观中哪一项内容感兴趣，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图的统计图．请你结合图中信息解答下列问题：
填空：该校共调查了______ 名学生；
请把条形统计图补充完整；
扇形统计图中“尚德“所对应的圆心角是______ 度；
若该校共有名学生，请你估计全校对“诚信“最感兴趣的人数．
 

22.  本小题分
如图，中，平分，且平分，于，于．
求证：；
如果，，求、的长．

23.  本小题分
第三届中非经贸博览会近期在长沙举办，某饮料店欲在展会上购买，两种咖啡豆已知袋品种咖啡豆的总价与袋品种咖啡豆的总价相等，购买袋品种和袋品种共需元．
求、两个品种咖啡豆的单价各是多少元？
现计划用元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种咖啡豆共袋，且品种的数量不少于品种数量的，求两种咖啡豆共有多少种选购方案？品种咖啡豆选购多少袋时总费用最少？

24.  本小题分
阅读材料并回答下列问题：
当，都是实数，且满足，就称点为“郡麓点”例如：点，令得，，所以不是“郡麓点”；，令得，，所以是“郡麓点”．
请判断点，是否为“郡麓点”：______
若以关于，的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求的值；
若以关于，的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求正整数，的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．

2.【答案】 

【解析】解：如图：

直线，
，
，
．
故选A．
先由两直线平行，内错角相等可得的度数，再由邻补角定义可得结果．
此题主要是考查了平行线性质能够熟练运用平行线的性质得出的度数是解答此题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：、在第二象限，不符合题意；
B、在第四象限，不符合题意；
C、在第三象限，符合题意；
D、在第一象限，不符合题意，
故选：．
写出每个点所在的象限后即可确定正确的选项．
本题主要考查了在第三象限内点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．

4.【答案】 

【解析】解：、环保部门调查湘江的水质情况查，适合抽样调查方式，不符合题意；
B、调查五一劳动节期间到网红城市长沙的旅客满意度，适合抽样调查方式，不符合题意；
C、调查长沙湘江新区老年人使用手机的时长，适合抽样调查方式，不符合题意；
D、调查神舟十六号飞船各零部件是否正常，适合采用全面调查方式，符合题意；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，掌握对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查是关键．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
的值在和之间．
故选：．
先估算出的大小，进而估算的范围．
本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．

6.【答案】 

【解析】解：，
，
故A正确，不符合题意；
，
，
故B不正确，符合题意；
，
，
故C正确，不符合题意；
，
，
故D正确，不符合题意；
故选：．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：、，
，故本选项不合题意；
B、，
，
，故本选项符合题意；
C、，
，故本选项不符合题意；
D、，
，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以，得，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤求出答案即可．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：设每只雀重斤，每只燕重斤，
则方程组为，
故选：．
根据“只雀的质量只燕的质量只燕的质量只雀的质量和只雀的质量只燕的质量”可得方程组．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意找到其蕴含的相等关系．

10.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
不等式组有个整数解，
不等式组的整数解为、、，
则，
故选：．
分别求出每个不等式的解集，结合不等式组整数解的个数可得的取值范围．
本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤，并根据不等式组整数解的情况确定字母的取值范围．

11.【答案】 

【解析】解：根据三角形的三边关系，得
，
即：．
故答案为：．
已知三角形的三边长，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，进行求解．
考查了三角形的三边关系，解答此题的关键是熟知三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

12.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了多边形内角和公式．
根据多边形内角和公式列方程，再解方程即可．
【解答】
解：设多边形边数为，由题意得：
，
解得：，
故答案为：．

13.【答案】如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角 

【解析】解：命题“锐角小于它的补角”改写成“如果那么”的形式为：如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角；
故答案为：如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角．
命题的题设放在如果后面，结论放在那么后面即可．
本题考查了命题与定理的知识，判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．

14.【答案】 

【解析】解：根据翻折的性质可知，，，
又，
，
又，
．
故答案为：．
根据翻折的性质可知，，，再根据平角的度数是，，继而即可求出答案．
此题考查了角的计算，根据翻折变换的性质，得出三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出，是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：在同一平面内，两条不相交的直线叫平行线；故错误；
两条不相交的线段，在同一平面内不一定平行；故错误；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；故正确；
若直线，，那么，故正确；
其中错误的是，
故答案为：．
根据平行线的定义，平行公理即其推论进行判定即可．
本题考查了平行线的定义，平行公理即其推论，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：，
得，即，
，
，
解得：，
故答案为：．
利用加减消元法解二元一次方程组，把和用含有的式子表示出来，再根据列出关于的一元一次不等式组，解之即可．
本题考查解一元一次不等式组和解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组的方法是解决本题的关键．

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：，
，得，
解得，
把代入，得．
故原方程组的解为；
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为：． 

【解析】方程组利用加减消元法求解即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式组，掌握加减消元法和代入消元法是解答的关键；正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答的关键．

19.【答案】已知  同旁内角互补，两直线平行  两直线平行，同位角相等  已知  等量代换  内错角相等，两直线平行  两直线平行，内错角相等 

【解析】证明：已知，
 同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
又已知，
 等量代换
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等．
根据平行线的判定和平行线的性质填空．
本题利用平行线的判定和平行线的性质填空，主要在于训练证明题的解答过程．

20.【答案】解：平分，
，
，，
，
，
；

平分，
，
，
设，
则，
，
解得：，
故的度数为：． 

【解析】利用角平分线的性质结合已知得出的度数，进而得出答案；
利用角平分线的性质结合已知表示出、的度数，进而得出答案．
此题主要考查了角平分线的性质，得出用同一未知数表示出各角度数是解题关键．

21.【答案】； 

【解析】解：名，
所以该校共调查了名学生；

最感兴趣为“诚信”的人数名，
条形统计图补充如下：


，
；

人．
所以该校共有名学生，估计全校对“诚信”最感兴趣的人数为人．
故答案为；．
用最感兴趣为“包容”的人数除以它所占的百分比即可得到调查学生的总数；
用总人数分别减去其他各项的人数得到最感兴趣为“诚信”的人数为名，再补全条形统计图；
计算出“尚德”所占百分比，再用“尚德”所占百分比可得答案；
用乘以最感兴趣为“诚信”所占百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．

22.【答案】解：证明：
接、，
且平分，为的平分线，，，

在和中
，
≌，
．

在和中
，
≌．
．
，
．
，
，
，，
，
，
．
即，． 

【解析】连接、，先由角平分线的性质就可以得出，再证明≌就可以得出结论；
由条件可以得出≌就可以得出，进而就可以求出结论．
本题考查了角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

23.【答案】解：设品种咖啡豆的单价是元，则品种咖啡豆的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
．
答：品种咖啡豆的单价是元，品种咖啡豆的单价是元；
设购买袋品种咖啡豆，则购买袋品种咖啡豆，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
两种咖啡豆共有种选购方案，
方案：购买袋品种咖啡豆，袋品种咖啡豆，总费用为元；
方案：购买袋品种咖啡豆，袋品种咖啡豆，总费用为元；
方案：购买袋品种咖啡豆，袋品种咖啡豆，总费用为元．
，
品种咖啡豆选购袋时总费用最少．
答：两种咖啡豆共有种选购方案，品种咖啡豆选购袋时总费用最少． 

【解析】设品种咖啡豆的单价是元，则品种咖啡豆的单价是元，根据购买袋品种和袋品种共需元，可得出关于的一元一次方程，解之可得出品种咖啡豆的单价，再将其代入中，即可求出品种咖啡豆的单价；
设购买袋品种咖啡豆，则购买袋品种咖啡豆，利用总价单价数量，结合“总价不超过元，且购买品种的数量不少于品种数量的”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，即可得出各选购方案，再求出各选购方案所需总费用，比较后即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

24.【答案】不是“郡麓点“，是“郡麓点”； 

【解析】解：点，令，
解得，
，
不是“郡麓点“，
点，令，
解得，
，
是“郡麓点”；
故答案为：不是“郡麓点“，是“郡麓点”；
方程组的解为，
点是“郡麓点”，
，
，
，
，
解得，
的值为．
方程组的解为，
点是“郡麓点”，
，
，
，
，
解得，
，为正整数，
或或或．
根据“郡麓点”的定义分别判断即可；
先关于，的方程组的解，直接利用“郡麓点“的定义得出关于方程，解方程求出的值进而得出答案．
先关于，的方程组的解，直接利用“郡麓点“的定义得出关于、的二元一次方程求出正整数解即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解、二元一次方程的正整数解求法，点的坐标知识，同时考查了阅读理解能力及运用能力．掌握二元一次方程的正整数解求法是解的关键．