2024-2025学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（上）入学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（上）入学数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个实数中，是无理数的是( )
A. 0.15B. 9C. 5D. 227
2.在平面直角坐标系中，点A(2,−3)位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.下列调查中，最适合采用抽样调查的是( )
A. 了解某批次灯泡的使用寿命情况
B. 了解全班同学每天完成书面家庭作业的时间
C. 企业招聘，对应聘人员的面试
D. 在“新冠状肺炎”疫情期间，对出入某小区的人员进行体温检测
4.若m>n，则下列不等式正确的是( )
A. m−4n4C. 4m<4nD. −2m>−2n
5.要求画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是( )
A. B.
C. D.
6.若一个正多边形的一个内角是135度，则这个多边形的边数为( )
A. 6B. 7C. 8D. 10
7.设三角形三边之长分别为3，8，a，则a的值可能为( )
A. 11B. 9C. 5D. 3
8.如图，甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是( )
A. 甲和乙B. 甲和丙C. 乙和丙D. 只有甲
9.在下列条件：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=5：3：2，③∠A=90°−∠B，④∠A=2∠B=3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AB+AD=2AE；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE−2S△BCE=S△ADC；其中正确结论的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l，垂足为点Q，然后沿PQ开挖水渠，其依据是______．
12.把方程5x−2y=3改写成用含x的式子表示y的形式是：______．
13.已知点P(−2,−4)关于x轴对称的点的坐标是______．
14.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是______．
15.如图，已知BD=BC=AD，∠DBC=20°，则∠A= ______．
16.已知不等式组4x−a<0x−3≥−2x+9无解，则a的取值范围是______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：3−8+|2− 5|+ (−3)2−(− 5).
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
解方程：
(1)3(x−1)2=12
(2)5(x+1)3=625
19.(本小题6分)
已知△ABC中，∠ACB>∠ABC．
(1)如图1，用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC，我们可以通过以下步骤作图：
①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA分别于点N，Q；
②以C为圆心，BN的长为半径作弧，交AC于点P；
③以点P为圆心，QN长为半径作弧，交上一段弧于点M．
④做射线CM；
请回答：这种作“∠ACM=∠ABC”的方法的依据是______(填序号)．
①SSS
②SAS
③AAS
④ASA
(2)如图2，当∠ACB=90°时，(1)中的射线CM交AB于点D，已知AC=2，BC=2 3，AB=4，求CD的长．
20.(本小题8分)
“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为______度；
(2)请补全条形统计；
(3)若该中学共有学生1200人，估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AC=BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F．
(1)若点D是AB的中点，求证：∠BDE=12∠C；
(2)若∠ADE=160°，求∠DEF的度数．
22.(本小题9分)
为倡导读书风尚，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进A种图书8本和B种图书5本，共需301元；若同时购进A种图书4本和B种图书3本，共需163元．
(1)求A、B两种图书的单价各是多少元？
(2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且A种图书的数量少于B种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1420元，请问学校共有哪几种购买方案？
23.(本小题9分)
如图(1)，在四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC=∠DAE．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)求证：CA平分∠BCD；
(3)如图(2)，设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC=2AF．
24.(本小题10分)
若不等式(组)只有n个正整数解(n为自然数)，则称这个不等式(组)为n阶不等式(组).我们规定：当n=0时，这个不等式(组)为0阶不等式(组)．
例如：不等式x+1<6只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式.不等式组x+1>22x−3<7只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
(1)x≤2是______阶不等式；x>1x−3<0是______阶不等式组；
(2)若关于x的不等式组2x−4a<02+3x≥x+92是4阶不等式组，求a的取值范围；
(3)关于x的不等式组x≥px25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(a,b)且a、b满足(a−6)2=− b−6过点A作AB⊥x轴于B，过点A作AC⊥y轴于C点，点E，F分别是直线AB，x轴的动点．

(1)如图1，点E，F分别在线段AB，OB上，若CE=CF，求证：∠OCF=∠ACE；
(2)如图2，连接EF，∠ECF=45°，若△BEF的面积为6，求线段EF的长度；
(3)已知，点E，F分别在线段AB和BO的延长线上，连接EF．
①如图3，已知AB=2OF，CF⊥EF，线段EF上存在一点M，使得MF=CF，求点M的坐标；
②在(2)的条件下，如图4，请直接写出线段EF，EA和OF之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B. 9=3，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C. 5是无理数，故本选项符合题意；
D.227是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0)，等有这样规律的数．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特征分别是：第一象限(+,+)，第二象限(−,+)，第三象限(−,−)，第四象限(+,−)．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】
解：点A坐标为(2,−3)，它的横坐标为正，纵坐标为负，故它位于第四象限，
故选：D．
3.【答案】A
【解析】解：A.了解某批次灯泡的使用寿命情况，最适合采用抽样调查；
B.了解全班同学每天完成书面家庭作业的时间，最适合采用全面调查；
C.企业招聘，对应聘人员的面试，最适合采用全面调查；
D.在“新冠状肺炎”疫情期间，对出入某小区的人员进行体温检测，最适合采用全面调查；
故选：A．
根据全面调查与抽样调查的特点判断即可．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵m>n，
∴m−4>n−4；14m>14n；4m>4n，−2m<−2n．
故选：B．
利用不等式的性质对各选项进行判断．
本题考查了不等式的性质：应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题是一道作图题，考查了垂线段的作法，是基础知识要熟练掌握．
【解答】
解：A.是过A点作BC边上的垂线段，故错误；
B.是过D点做AB的垂线段，故错误；
C.是过C点作AB的垂线段，故正确；
D.是过B作AC的垂线段，故错误．
故选C．
6.【答案】C
【解析】解：∵正多边形的每个内角为135°，
∴正多边形的每个外角为180°−135°=45°，
∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数为360°÷45°=8．
故选：C．
先求出正多边形每个外角的度数，然后利用多边形外角和除以外角度数即可得到多边形的边数．
本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是由外角和求正多边形的边数．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，得8−3所以a的取值范围是5故选：B．
已知三角形的三边长，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”列出关于a的不等式，然后解不等式即可．
本题主要考查了三角形的三边关系．要注意构成三角形的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
8.【答案】A
【解析】解：在△ABC和甲的三角形中，两个角及一角对边对应相等，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以甲和△ABC全等；
在△ABC和乙的三角形中，两角及其夹角对应相等，满足三角形全等的判定方法：ASA，
∴乙和△ABC全等；
在△ABC和丙的三角形中，只有一边一角对应相等，不能判定甲与△ABC全等；
综上分析可知，和△ABC全等的是甲和乙，故A正确．
故选：A．
根据三角形全等的判定方法得出甲和乙与△ABC全等，丙与△ABC不全等．
本题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9.【答案】C
【解析】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C=5：3：2，∠A+∠B+∠C=180°，
设∠A=5x，则5x+3x+2x=180°，
解得：x=18°，
∴∠A=18°×5=90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A=90°−∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°−90°=90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵∠A=2∠B=3∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠C=12∠A+13∠A+∠A=180°，
∴∠A=(108011)°，
∴△ABC为钝角三角形．
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，
故选：C．
根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．
本题主要考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握有一个内角为90°的三角形是直角三角形是解决问题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①在AE取点F，使EF=BE，
∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，
∴AB=AD+2BE=AF+2BE，
∴AD=AF，
∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2(AF+EF)=2AE，
故①正确；
②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．
在△ACD与△ACF中，
∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，
∴△ACD≌△ACF，
∴∠ADC=∠AFC．
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B．
又∵∠AFC+∠CFB=180°，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠DAB+∠DCB=360°−(∠ADC+∠B)=180°，故②正确；
③由②知，△ACD≌△ACF，
∴CD=CF，
又∵CF=CB，
∴CD=CB，故③正确；
④
延长AD过C做辅助线CG⊥AG，
易得△ACG≌△ACE，
故AD+DG=AE，
又AB=AD+2BE=AE+BE，即可得DG=BE，
S△ACE=12(AD+DG)·CE=12(AD+BE)·CE=S△ADC+S△BCE ，故④不正确．
故选C．
①在AE取点F，使EF=BE.利用已知条件AB=AD+2BE，可得AD=AF，进而证出2AE=AB+AD；
②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF.先由SAS证明△ACD≌△ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB=∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；
③根据全等三角形的对应边相等得出CD=CF，根据线段垂直平分线的性质性质得出CF=CB，从而CD=CB；
④由于△ACG≌△ACE，可推得DG=BE，进而表示所求三角形面积即可得出结论错误．
本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，四边形的内角和定理，邻补角定义等知识点的应用，正确作辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．
11.【答案】垂线段最短
【解析】解：要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l，垂足为点Q，然后沿PQ开挖水渠，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
根据垂线段的性质，可得答案．
本题考查了垂线段最短，关键是利用垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短．
12.【答案】y=5x−32
【解析】解：5x−2y=3，
移项得：−2y=3−5x，
系数化1得：y=−3−5x2=5x−32．
故答案为：y=5x−32．
要把方程5x−2y=3写成用含x的式子表示y的形式，需要把含有y的项移到等号一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1．
本题考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1即可．
13.【答案】(−2,4)
【解析】解：点P(−2,−4)关于x轴对称的点的坐标是(−2,4)，
故答案为：(−2,4)．
根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解题的关键是了解对称点的坐标特点．
14.【答案】180°
【解析】解：如图可知：
∵∠4是三角形的外角，
∴∠4=∠A+∠2，
同理∠2也是三角形的外角，
∴∠2=∠E+∠C，
在△BDG中，∵∠B+∠D+∠4=180°，
∴∠B+∠D+∠A+∠E+∠C=180°．
故答案为：180°．
由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠4=∠A+∠2，∠2=∠E+∠C，进而利用三角形的内角和定理求解．
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是建立外角和内角的关系．
15.【答案】40°
【解析】解：∵BD=BC=AD，∠DBC=20°，
∴∠BDC=∠C=180°−∠DBC2=80°，∠A=∠DBA，
∵∠A+∠DBA=∠BDC，
∴∠A=40°，
故答案为：40°．
由BD=BC=AD，∠DBC=20°，可求出∠BDC=∠C，而∠A=∠DBA，由∠A+∠DBA=∠BDC，计算求解即可．
本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键．
16.【答案】a≤16
【解析】解：由4x−a<0，得x由x−3≥−2x+9，得x≥4，
∵不等式组4x−a<0x−3≥−2x+9无解，
∴a4≤4，
解得，a≤16．
故答案为：a≤16．
解4x−a<0得x本题考查了解一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
17.【答案】解：原式=−2+ 5−2+3+ 5
=2 5−1．
【解析】对每个部分分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的运算、算术平方根、立方根．
18.【答案】解：(1)3(x−1)2=12，
方程左右两边同除以3得，(x−1)2=4，
方程左右两边同时开平方得，x−1=±2，
解得，x1=3，x2=−1．
(2)5(x+1)3=625，
方程左右两边同除以5得，(x+1)3=125，
方程左右两边同时开立方得，x+1=5，
解得，x=4．
【解析】(1)方程左右两边同除以3，再开平方即可；
(2)方程左右两边同除以5，再开立方即可．
本题主要考查了平方根与立方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的求法．
19.【答案】①
【解析】解：(1)作图是依据是SSS．
故答案为：①；
(2)如图2中，取AB的中点T，连接CT．
∵AC=2，BC=2 3，∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2= 22+(2 3)2=4，
∵AT=TB，
∴CT=AT=TB=2=AC，
∴△ACT是等边三角形，
∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴CD⊥AT，
∴AD=DT=1，
∴CD= AC2−AD2= 22−12= 3．
(1)根据作图步骤判断即可；
(2)如图2中，取AB的中点T，连接CT.证明△ACT是等边三角形，可得结论．
本题考查作图−复杂作图，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】解：(1)60；90 ；
(2)“了解很少”的人数为60−(15+30+5)=10(人)，
补全图形如下：
(3)估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为1200×15+3060=900(人)．
【解析】【分析】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．关键是根据列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．
(1)由基本了解的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角；
(2)由(1)可求得了解很少的人数，继而补全条形统计图；
(3)利用样本估计总体的方法，即可求得答案．
【解答】
解：(1)接受问卷调查的学生共有30÷50%=60人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为360°×1560=90°，
故答案为：60、90．
(2)见答案．
(3)见答案．
21.【答案】(1)证明：连接CD，
∵AC=BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=12∠ACB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BDE=90°
∴∠BCD=∠BDE．
∴∠BDE=12∠ACB；
(2)解：∵∠ADE=160°
∴∠BDE=20°，
∵DE⊥BC，EF⊥AC，
∴∠DEB=∠AFE=90°，
在Rt△BDE中，∠DEB=90°，
∴B=90°−∠BDE=90°−20°=70°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A=70°，
∴∠DEF=360°−∠A−∠ADE−∠AFE=360°−70°−160°−90°=40°．
【解析】(1)连接CD，根据AC=BC，点D是AB的中点，证得CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=12∠ACB，进而证得∠BCD+∠B=90°，根据DE⊥BC证得∠B+∠BDE=90°，从而证得∠BCD=∠BDE得出结论；
(2)先求出∠B的度数，再根据AC=BC求出∠A，再根据垂直的定义求出∠AFE=90°，再利用四边形的内角和为360°解答．
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质并灵活运用．
22.【答案】解：(1)设A种图书单价x元，B种图书单价y元，
根据题意得：8x+5y=3014x+3y=163，
解得：x=22y=25，
答：A种图书单价22元，B种图书单价25元；
(2)设购买A种图书n本，B种图书(60−n)本，
根据题意得：n<60−n22n+25(60−n)≤1420，
解得：803≤n<30，
∵n为正整数，
∴n可取27、28、29，
∴60−n=33或32或31，
共有三种购买方案：
方案一、购买A种图书27本，购买B种图书33本；
方案二、购买A种图书28本，购买B种图书32本；
方案三、购买A种图书29本，购买B种图书31本．
【解析】(1)设A种图书单价x元，B种图书单价y元，由题意：同时购进A种图书8本和B种图书5本，共需301元；同时购进A种图书4本和B种图书3本，共需163元．列出方程组，解方程组即可；
(2)设购买A种图书n本，B种图书(60−n)本，由题意：A种图书的数量少于B种图书的数量，购买总金额不能超过1420元，列出不等式组，求出正整数解即可．
本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是：(1)找准等量关系，列出二元一次方程组；(2)找出不等关系，列出一元一次不等式组．
23.【答案】证明：(1)∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADE+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
∠BAC=∠DAEAB=AD∠ABC=∠ADE，
∴△ABC≌△ADE(ASA)．
(2)∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，∠BCA=∠E，
∴∠ACD=∠E，
∴∠BCA=∠E=∠ACD，即CA平分∠BCD；
(3)如图，过点A作AM⊥CE，垂足为M，

∵AM⊥CD，AF⊥CF，∠BCA=∠ACD，
∴AF=AM，
又∵∠BAC=∠DAE，
∴∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠CAD+∠BAC=∠BAD=90°，
∵AC=AE，∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠AEC=45°，
∵AM⊥CE，
∴∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°，
∴CM=AM=ME，
∴EC=2AM，
又∵AF=AM，
∴EC=2AF．
【解析】(1)根据三角形的判定定理ASA即可证得．
(2)通过三角形全等求得AC=AE，∠BCA=∠E，进而根据等边对等角求得∠ACD=∠E，从而求得∠BCA=∠E=∠ACD，即可证得．
(3)过点A作AM⊥CE，垂足为M，根据角平分线的性质求得AF=AM，然后证得△CAE和△ACM是等腰直角三角形，进而证得EC=2AF．
此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定和性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
24.【答案】2 1
【解析】解：(1)∵x≤2时，正整数解为1，2，
∴x≤2是2阶不等式；
由x>1x−3<0得1∴有1个正整数解，
∴x>1x−3<0是1阶不等式组，
故答案为：2，1；
(2)解不等式组得：1≤x<2a，
由题意得：x有4个正整数解，为：1，2，3，4，
∴4<2a≤5，
解得：2(3)由题意得，m是正整数，且p≤x∴2∴m=10．
(1)根据题目中的定义进行分析；
(2)根据题目中的定义进行分析，可知整数解为1，2，3，4，从而可得出a的范围；
(3)分析题意，可以利用特殊值法，看(m−3)是从第几个整数开始的，从而求解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，不等式的定义，一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，理解题中的新定义是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵(a−6)2=− b−6，
∴(a−6)2+ b−6=0，
∴a=6，b=6，
∴OC=AC=6，
∵AB⊥x轴，A C⊥y轴，∠O=90°，
∴四边形ABOC是正方形，
在Rt△ACE和Rt△OCF中，
OC=ACCE=CF，
∴Rt△ACE≌Rt△OCF(HL)，
∴∠OCF=∠ACE；
(2)解：如图2，在x轴负半轴上截取OH=AE，连接CH，

∵AE=OH，∠A=∠COH，CO=AC，
∴△ACE≌△OCH(SAS)，
∴CH=CE，∠ACE=∠OCH，S△ACE=S△OCH，
∵∠ECF=45°，
∴∠ACE+∠FCO=∠HCO+∠OCF=∠FCE=45°，
又∵CF=CF，
∴△CEF≌△CHF(SAS)，
∴EF=HF，S△CEF=S△CHF，
∵S△BEF=6，S正方形OBAC=6×6=36，
∴S△ACE+S△CEF+S△COF=2S△CFH=30，
∴S△CFH=12⋅HF⋅CO=12×EF×6=15，
∴EF=5．
(3)①如图3，过点M作MH⊥BF于H，

∵AB=2OF，
∴OF=3，
∵CF⊥EF，MH⊥BF，
∴∠CFE=∠FHM=∠COF=90°，
∴∠CFO+∠EFB=90°=∠CFO+∠OCF，
∴∠EFB=∠OCF，
又∵MF=CF，
∴△COF≌△FHM(AAS)，
∴FH=CO=6，FO=HM=3，
∴OH=FH−OF=3，
M(3,−3)；
②AE=FO+EF，理由如下：
如图4，在AB上截取AH=OF，连接CH，

∵AH=OF，∠A=∠COF=90°，AC=CO，
∴△ACH≌△OCF(SAS)，
∴CF=CH，∠OCF=∠ACH，
∴∠FCH=∠OCF+∠OCH=∠ACH+∠OCH=∠ACO=90°，
∵∠FCE=45°，
∴∠ECH=∠FCE=45°，
又∵FC=CH，CE=CE，
∴△FCE≌△HCE(SAS)，
∴EF=EH，
∴AE=AH+EH=FO+EF．
【解析】(1)由(a−6)2=− b−6可得a=6，b=6，再由HL证得Rt△ACE≌Rt△OCF，最后根据全等三角形的性质即可证得结论；
(2)在x轴负半轴上截取OH=AE，连接CH，即可证得△ACE≌△OCH，△CEF≌△CHF，进而可得知面积分别相等和EF=HF，再由面积公式即可求得结论；
(3)①过点M作MH⊥BF于H，由AAS可证△COF≌△FHM，继而可知FH=CO=6，FO=HM=3，即可求解；
②在AB上截取AH=OF，连接CH，由SAS可证△ACH≌△OCF和△FCE≌△HCE，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、二次根式和平方的非负性、三角形的面积公式，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．