2022-2023学年湖南省长沙市开福区长雅中学八年级（上）入学数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市开福区长雅中学八年级（上）入学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1.    下列语句正确的是(    )

A. 的平方根是 B. 是的平方根
C. 是的负立方根 D. 的平方根是

2.    在实数、、、、、、、、相邻两个之间的依次增加个中，无理数的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.    要调查下列问题，适合采用全面调查普查的是(    )

A. 中央电视台开学第一课的收视率 B. 某城市居民月份人均网上购物的次数
C. 即将发射的气象卫星的零部件质量 D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程

4.    已知，下列关系式中一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    在平面直角坐标系内有一点，已知点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    九章算术中有这样一个数学问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

7.    如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于点上，则“炮”位于点(    )

A.
B.
C.
D.

8.    若是的中线，下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图所示，小李用直尺和圆规作的平分线，则得出的依据是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，以下六个结论：
    ；
    ；
    ；
    ；
    ；
    平分．
    其中结论正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

11. 已知，满足，则的值是______．
12. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在第______ 象限．
13. 方程是关于、的二元一次方程，则______．
14. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的边数是______．
15. 如果一个等腰三角形的两边长分别是、，那么它的周长是______．
16. 若关于的不等式组有且只有两个整数解，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：．
18. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
     
19. 为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间，开设了书法、健美操、乒乓球和朗诵四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图：
    
    请根据以上的信息，回答下列问题：
    抽取的学生有______ 人， ______ ， ______ ；
    补全条形统计图；
    若该校有学生人，估计参加书法社团活动的学生人数．
20. 为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了、两种型号家用净水器共台，型号家用净水器进价是元台，型号家用净水器进价是元台，购进两种型号的家用净水器共用去元．
    求、两种型号家用净水器各购进了多少台；
    为使每台型号家用净水器的毛利润是型号的倍，且保证售完这台家用净水器的毛利润不低于元，求每台型号家用净水器的售价至少是多少元．注：毛利润售价进价
21. 按要求画图及填空：
    在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点及的顶点都在格点上．
    点的坐标为______．
    将先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，画出．
    计算的面积．
    
     

22. 如图，，，，，与交于点．
    求证：；
    求的度数．

23. 如图所示，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点．
    判断与的数量关系，并说明理由；
    若，判断与的位置关系，并说明理由．

24. 若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“友好代数式”例如：关于的代数式，当时，代数式在时有最大值，最大值为；在时有最小值，最小值为，此时最值，均在含端点这个范围内，则称代数式是的“友好代数式“．
    若关于的代数式，当时，取得的最大值为______；最小值为______；代数式______填“是“或“不是”的“友好代数式”；
    以下关于的代数式，是的“友好代数式”的是______；
    ；：；
    若关于的代数式是的“友好代数式”，则的值是______；
    若关于的代数式是的“友好代数式”，求的最大值和最小值．
25. 在平面直角坐标系中，已知点，与坐标原点在同一直线上，且，其中，满足．
    求点，的坐标；
    如图，若点，分别是轴正半轴和轴正半轴上的点，点的纵坐标不等于，点在第一象限内，且，，，求证：；
    如图，作轴于点，轴于点，在延长线上取一点，使，连接交于点，恰好有，点是上一点，且，连接，求证：．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，的平方根是，故A错误；
B、是的平方根，故B正确；
C、是的立方根，故C错误；
D、 的平方根是，故D错误．
故选：．
依据立方根、平方根定义和性质回答即可．
本题主要考查的是立方根、平方根的定义，熟练掌握立方根和平方根的定义是解题的关键
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
故在实数、、、、、、、、相邻两个之间的依次增加个中，无理数有、、相邻两个之间的依次增加个，共个．
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】
解：、调查中央电视台开学第一课的收视率，适合抽查，故本选项不合题意；
B、调查某城市居民月份人均网上购物的次数，适合抽查，故本选项不合题意；
C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量，适合采用全面调查普查，故本选项符合题意；
D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，适合抽查，故本选项不合题意．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：，，错误，例如：，则；
B、若，则，故本选项错误；
C、若，则，故本选项错误；
D、若，则，故本选项正确；
故选：．
根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案．
此题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

5.【答案】 

【解析】解：到轴的距离为，到轴的距离为，
的纵坐标可能为，横坐标可能为，
的坐标为或或或．
故选：．
先根据到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到具体坐标即可求解．
本题考查点的坐标的确定，用到的知识点为：点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值．
 

6.【答案】 

【解析】解：依题意，得：．
故选：．
根据“五只雀，六只燕共重一斤，且四只雀、一只燕的重量和一只雀、五只燕的重量一样重”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示：则“炮”位于点．
故选：．
根据“帅”位于点上，可得原点位置进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：是的中线不能得出，故本选项错误，符合题意；
是的中线，则有，平分，，故B、、D正确，不符合题意．
故选：．
对于选项A，根据，得到的是等腰三角形；对于选项B、、，由是的中线，即可得到结论．答案显而易见．
此题考查三角形的中线，关键是根据三角形的中线的定义解答即可．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查作图基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．利用三角形全等的判定证明．
【解答】
解：由题意，，，
≌，
，
显然运用的判定方法是边边边，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
故正确；
≌，
，
，
，
，
，
故正确；
，
，
故正确；
，，
，
，
平分，
故正确；
综上所述，正确的结论有个．
故选：．
根据题意推出≌，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质、垂直的定义、角平分线的定义求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明≌是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，而，，
，，
解得，，
．
故答案为：．
根据绝对值和偶次方的非负数的性质求出、的值，再代入计算即可．
本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为时，则其中的每一项都必须等于是解题的关键．
 

12.【答案】一 

【解析】解：由在第二象限，得
，．
解得，，
点在第一象限，
故答案为：一．
根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式，根据不等式的性质，可得答案．
本题考查了点的坐标，熟记各象限内点的坐标符号是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得：且，
．
故答案为：．
根据二元一次方程的定义计算即可．
本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程，注意前面的系数不等于．
 

14.【答案】 

【解析】解：多边形外角和是度，正多边形的一个外角是，

即该正多边形的边数是．
根据多边形外角和是度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数．
主要考查了多边形外角和是度和正多边形的性质正多边形的各个内角相等，各个外角也相等．
 

15.【答案】 

【解析】解：等腰三角形有两边分别是和，
此题有两种情况：
为底边，那么就是腰，则等腰三角形的周长为，
底边，那么是腰，，所以不能围成三角形．
该等腰三角形的周长为，
故答案为：．
解决本题要注意分为两种情况：为底或为底，还要考虑到各种情况是否满足三角形的三边关系来进行解答．
本题考查了等腰三角形性质；解题时涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于的不等式组．先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据不等式组有两个整数解得出关于的不等式组，求出即可．
【解答】
解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
不等式组只有两个整数解，即，，
，
解得：，
故答案为．  

17.【答案】解：原式

． 

【解析】利用实数的乘方法则，立方根的意义，绝对值的意义和算术平方根的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，实数的乘方法则，立方根的意义，绝对值的意义和算术平方根的意义，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
 

19.【答案】    ；
参加朗诵社团活动的学生人数为人，
补全条形统计图如图：
；
估计参加书法社团活动的学生人数为人．
答：估计参加书法社团活动的学生人数为人． 

【解析】解：抽取的学生有人，
，
，
，
，
故答案为：，，；
参加朗诵社团活动的学生人数为人，
补全条形统计图如图：
；
估计参加书法社团活动的学生人数为人．
答：估计参加书法社团活动的学生人数为人．
由参加乒乓球社团活动的学生人数及其所占百分比可得抽取的总人数，用乘以参加健美操社团活动的学生人数所占比例即可得，根据参加书法社团活动的学生人数和抽取的总人数求出参加书法社团活动的学生所占比例可得的值；
先根据参加四个社团活动的学生数之和等于总人数求出参加朗诵社团活动的学生人数，再补全条形统计图；
用总人数乘以样本中参加书法社团活动的学生人数对应的百分比可得答案．
本题主要考查读条形统计图与扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

20.【答案】解：设种型号家用净水器购进了台，种型号家用净水器购进了台，
由题意得，
解得．
答：种型号家用净水器购进了台，种型号家用净水器购进了台．
设每台型号家用净水器的毛利润是元，则每台型号家用净水器的毛利润是元，
由题意得，
解得，
元．
答：每台型号家用净水器的售价至少是元． 

【解析】此题考查一元一次不等式组的实际运用，二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键．
设种型号家用净水器购进了台，种型号家用净水器购进了台，根据“购进了、两种型号家用净水器共台，购进两种型号的家用净水器共用去元．”列出方程组解答即可；
设每台型号家用净水器的毛利润是元，则每台型号家用净水器的毛利润是元，根据保证售完这台家用净水器的毛利润不低于元，列出不等式解答即可．
 

21.【答案】；
如图，即为所求作；

． 

【解析】解：如图，．
故答案为：．
见答案．
根据点的位置写出坐标即可．
根据平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
利用分割法求面积即可．
本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，正确作出图形是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
如图，，
，
≌，
，
，
，
．
 

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角定理，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
先证明，再证明≌便可得；
由全等三角形得，由，推出，可得．
 

23.【答案】解：，理由如下：
，
，，
点为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
即；
，理由如下：
由知≌，
，，
，
，
即，
在与中，
，
≌，
，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌；
由全等三角形的性质可得，，由中垂线的性质可得，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】    不是     

【解析】解：
，
，
的最大为最小值为，
            显然的取值范围不在得范围之内，故它不是友好代数式．
      中时，：时，．
，
            显然不在范围内，故不是友好代数式．
中，时有最大值为，时有最小值为，
．
            显然刚好在范围内，故是友好代数式
中，时有最小值，或时有最大值．
．
             显然不在范围内，故不是友好代数式．
     在中，
           当时，时有最大值为，时有最小值为，
             所以，
             当时，时有最大值为，时，有最小值，
             所以，
              当时，或时有最大值为，时，有最小值，
             所以，
  而当时，，但是每增加，增加，此时的范围就不在变化的范围之 内．也就不一定为的“友好代数式”了．
综上所述对于代数式是的“友好代数式”，问题的解答，正确答案为的值是．
         ，
，
，
     当时，时，有最大值为，
                    或时有最小值为，
所以可得不等式组，解得，，
所以．
时，时，有最小值为，
或时的有大值为，
所以可得不等式组，解得，，，且，
所以无解，
综上可得，
所以的最大值为，最小值为．
方法一：我们可以设数轴上有一点所对应的数为，那么可以看做数轴上这一点到这个数所对应的点的距离，当时，显然时它们的距离最大，时候它们距离最小，进而求出最大值和最小值，求出最大值和最小值之后也就求出了的取值范围，根据“友好代数式”的定义直接判断即可．
   方法二：因为，所以，进而求出的范围为，然后再根据“友好代数式”的定义直接判断即可．
观察为可以看成一次函数我们直接带入和即可得到它的取值范围；显然可以看成对称轴为轴的二次函数，代入时代数式有最大值，代入时代数式有最小值；可以看成一个分段函数，分为和两段范围讨论这个代数式的最大值和最小值；最后根据“友好代数式”的定义直接判断即可．
因为，而中和时候，俩个绝对值中有一个为零，故把取值范围分为  ，，，分段来求而的取值范围，然后再根据“友好代数式”的定义，确定取值．
关键我们要讨论出的最大值和最小值，并且用含的代数式表示出来．
当，时，有，所以，所以时，的最大值为，或时的最小值为；所以可得不等式组．
当，时，有，所以，所以时，的最小值为，或时的最大值为；所以可得不等式组．
分别解两个不等式组即可得到答案．
本题考查了代数式取值范围，难度较大，比较考察学生的综合分析能力，同时也考查了一元一次不等式组的解集问题．
 

25.【答案】解：．
，，
，，
，；

证明：如图，在轴负半轴上取点，使，连接，，，
，，
≌，
，
，
又，，
，
又，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
，
；

证明：如图，过点作交延长线于点，连接，
点的坐标为，点的坐标为，
，
，，
又，
，，
轴，轴，，
，
≌，
，，
，，
，
，
又，
，
，
在与中，
，，，
≌，
． 

【解析】利用非负性即可求出，的值，可得出，的坐标；
如图，在轴负半轴上取点，使，连接，，，证≌，≌，为等腰直角三角形，即可推出，可得出结论；
过点作交延长线于点，连接，证明≌，≌，由全等三角形的性质即可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．