2023-2024学年湖南省长沙市开福区北雅中学八年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市开福区北雅中学八年级（上）入学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若与互为相反数，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  光在真空中的速度约为每秒万千米，用科学记数法表示千米秒．(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各数中属于无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，如果，那么，其依据可以简单说成(    )

A. 两直线平行，内错角相等
B. 内错角相等，两直线平行
C. 两直线平行，同位角相等
D. 同位角相等，两直线平行

5.  在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位后，得到的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  估计的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

8.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  若满足方程组的与互为相反数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  若不等式组无解，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若正多边形的一个外角为，则这个正多边形是______边形．

12.  如果的平方根是，则______．

13.  若是方程的解，则______．

14.  在平面直角坐标系中，已知线段轴，且，点的坐标是，则点的坐标为______ ．

15.  已知，不等式解集为______ ．

16.  如图，是线段上的一点，和都是等边三角形，交于，交于，交于，则；；；其中，正确的有______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：

18.  本小题分
解不等式组，并求出它的非负整数解．

19.  本小题分
下面是教材中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程已知：，求作：一个角，使它等于．
作法：如图，作射线；
以为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；
以为圆心，为半径作弧，交于；
以为圆心，为半径作弧，交弧于；
过点作射线，则就是所求作的角．
请完成下列问题：
该作图的依据是______ 填序号．




请证明．

20.  本小题分
新冠肺炎疫情发生以来，专家给出了很多预防建议为普及预防措施，某校组织了由七年级名学生参加的“防新冠”知识竞赛杨老师为了了解学生的答题情况，从中随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格、不及格个级别进行统计，并绘制成了如下条形统计图和扇形统计图部分信息未给出请根据图中提供的信息，解答下列问题：

求被抽取的部分学生的人数，并请补全条形统计图；
求出扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数；
请估计七年级名学生中达到良好和优秀的总人数．

21.  本小题分
如图，已知是上一点，是上的一点，、相交于点，，，．
的度数；
的度数．

22.  本小题分
为开展“校园读书活动”雅礼中学读书会讣划釆购数学文化和文学名著两类书籍共本，经了解，购买本数学文化和本文学名著共需元，本数学文化比本文学名著贵元．注：所采购的同类书籍价格都一样
求每本数学文化和文学名著的价格；
若校园读书会要求购买数学文化本数不少于文学名著，且总费用不超过元，请求出所有符合条件的购书方案．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，连接，将绕点逆时针方向旋转到．
求点的坐标；用字母，表示
如图，延长交轴于点，过点作交轴于点，求证：．

24.  本小题分
我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式．
若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，求的值；
若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，其中，是正整数，求，的值；
若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，试求关于的不等式的解集．

25.  本小题分
如图，，的平分线交于点，．

如图，若，的平分线交于点、交射线于点求的度数；
如图，线段上有一点，满足，若在直线上取一点，使，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：若与互为相反数，则．
故选：．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题的关键．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

2.【答案】 

【解析】解：每秒万千米，用科学记数法表示千米秒．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

3.【答案】 

【解析】【解答】
解：、是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意．
D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：．
【分析】
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．

4.【答案】 

【解析】解：，
同位角相等，两直线平行，
故选：．
由平行线的判定求解．
本题考查平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定方法．

5.【答案】 

【解析】解：将点向右平移个单位后，横坐标加，所以平移后点的坐标为，
故选：．
根据平面直角坐标系中点的坐标的平移特点解答即可．
本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握点的平移规律是解答本题的关键．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了三角形的三边关系，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
根据三角形的三边关系得出，求出的取值范围进行判断即可．
【解答】
解：由三角形的三边关系得：，
即，
即符合的只有．
故选C．

7.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查估算无理数的大小，属于基础题．
由于，由此即可近似确定的大小． 
【解答】
解：，
，
．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：在的解中，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：．
故选：．
首先解出不等式组，然后根据不等式组的解集进行判断．
本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．

9.【答案】 

【解析】解：解方程组得：，
因为与互为相反数，
所以，
所以，
解得：，
故选：．
先求出方程组的解，根据相反数的定义得出，即，再求出方程的解即可．
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识点，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
．
故选：．
根据大大小小无解集得到，即可得出答案．
本题考查了不等式的解集，不要忘记可以取等号是解题的关键．

11.【答案】九 

【解析】解：多边形的每个外角相等，且其和为，
据此可得，
解得．
故答案为：九．
利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为，比较简单．

12.【答案】 

【解析】解：的平方根是，
，
则．
故答案为：．
直接利用平方根的定义得出的值，再利用立方根的定义得出答案．
此题主要考查了立方根以及平方根，正确掌握相关定义是解题关键．

13.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：
，
解得：，
故答案为：．
把代入方程，可得关于的一元一次方程，解方程即可得答案．
本题考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解是使方程两边相等的未知数的值．

14.【答案】或 

【解析】解：在平面直角坐标系中，线段轴，
点，的纵坐标相同，
，
设，
，
，
解得：或，
或．
故答案为：或．
根据平行于轴的直线上的点纵坐标相同可设，由两点间的距离公式可得，以此求解即可．
本题主要考查坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上的点纵坐标相同是解题关键．

15.【答案】 

【解析】解：，
，
解不等式，得．
故答案为：．
先由，得出，由不等式的性质得出答案．
本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是注意不等号的方向是否改变．

16.【答案】 

【解析】解：和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
故正确；
是线段上的一点，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，即，
故正确，正确；
，
，
故错误，
故答案为：．
由等边三角形的性质得，，，则，即可证明≌，得，，可判断正确；再证明≌，得，，可判断正确，正确；因为，所以，可判断错误，于是得到问题的答案．
此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明≌是解题的关键．

17.【答案】解：

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：．
解不等式得：，
解不等式得：，
则该不等式组的解集为：．
故不等式组的非负整数解为：，，，． 

【解析】先分别解不等式，求出不等式组的解集，然后找出负整数解．
本题考查了解一元一次不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

19.【答案】 

【解析】解：由作法得，，
所以根据“”可判断≌，
所以．
故答案为：；

证明：由作法得已知：，，
在和中，
，
≌，
．
根据证明三角形全等可得结论；
利用证明三角形全等．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．

20.【答案】解：人，
即被抽取的部分学生有人；
优秀的学生有：人，
良好的学生有：人，
补全的条形统计图如图所示；

扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数为：，
即扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数是；
人，
即七年级名学生中达到良好和优秀的总人数是人． 

【解析】根据及格的人数和所占的百分比，可以求得被抽取的部分学生人数；根据条形统计图中的数据，可以计算出良好和优秀的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
用度乘以表示良好级别所占的比例即可得出答案；
根据样本估计总体，可以计算出七年级名学生中达到良好和优秀的总人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

21.【答案】解：，，
；

由得，
，
，
． 

【解析】根据三角形外角性质得出，再代入求出答案即可；
根据三角形内角和定理求出，求出，再根据对顶角相等求出答案即可．
本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质和对顶角相等等知识点，能熟记三角形内角和等于是解此题的关键．

22.【答案】解：设每本数学文化的价格为元，每本文学名著的价格为元，
依题意，得：，
解得：．
答：每本数学文化的价格为元，每本文学名著的价格为元．
设购买数学文化本，则购买文学名著本，
依题意，得：，
解得：．
为整数，
共有三种购书方案，方案：购进数学文化本，文学名著本；方案：购进数学文化本，文学名著本；方案：购进数学文化本，文学名著本． 

【解析】设每本数学文化的价格为元，每本文学名著的价格为元，根据“购买本数学文化和本文学名著共需元，本数学文化比本文学名著贵元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买数学文化本，则购买文学名著本，根据购买数学文化本数不少于文学名著且总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出关于的取值范围，结合为整数即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

23.【答案】解：如图，

作轴于，作轴于，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
证明：如图，

设，交于点，
，
，
，
，
，
，
即：，
，
≌，
． 

【解析】作轴于，作轴于，可证得≌，进一步得出结果；
可推出，，进而得出≌，从而得出结论．
本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．

24.【答案】解：解关于的不等式：，得，
解不等式：，得，
由题意得：，
解得：．
解不等式：得：，
不等式：得：，
，
，
，是正整数，
为或，
，或；．
解不等式：得：，
解不等式：得：，
，
，
，
，且，
，
的解为：． 

【解析】利用题干中的同解不等式的定义求解；
利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解；
利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式．
本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义时解题的关键．

25.【答案】解：平分，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
有两种情况，
当在的下方时，如图：

设，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
；
当在的上方时，如图：

设，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
； 

【解析】平分，，知，而，有，根据，得，又平分，得，即得；
分两种情况讨论，当在的下方时，设，根据平行线的性质及角平分线的定义得出，即可得出结论；当在的上方时，类比求解即可．
本题考查了平行线的性质及应用，角平分线定义，解题的关键是分类讨论思想的应用．