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2021-2022学年湖南省长沙市开福区周南实验中学九年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年湖南省长沙市开福区周南实验中学九年级（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省长沙市开福区周南实验中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中是负整数的是（ ）
A．﹣2 B．5 C． D．﹣
2．（3分）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中632400000000用科学记数法表示为（ ）
A．6.324×1011 B．6.324×1010
C．632.4×109 D．0.6324×1012
3．（3分）下列图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a（a+1）＝a2+a
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．2a+3b＝5ab
5．（3分）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝35°，则∠2等于（ ）
A．45° B．55° C．35° D．65°
6．（3分）一次函数y＝5x﹣4的图象不经过（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
7．（3分）某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247，253，247，255，263．这五次成绩的平均数和中位数分别是（ ）
A．253，253 B．255，253 C．253，247 D．255，247
8．（3分）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
9．（3分）今有若干人乘车，每3人共乘一车且坐满，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A．﹣9 B．+2＝ C．﹣2＝ D．+9
10．（3分）如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0
B．图象的对称轴为直线x＝﹣1
C．点B的坐标为（1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：a2﹣1＝ ．
12．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为 ．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5cm，则AD的长为 cm．
14．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，AB＝6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则EF的长为 ．
15．（3分）若抛物线y＝﹣x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是 ．
16．（3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）+2x（2﹣x），其中x＝﹣．
19．（6分）如图，已知△ABC，∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若∠B＝40°，求∠CAD的度数．
20．（8分）为了解学生假期的课外阅读情况，某校随机抽查了八年级学生阅读课外书的册数并作了统计，绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书的数据，根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图中丢失的数据和扇形统计图；
（2）阅读课外书册数的众数为 册．
（3）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外书阅读7册书的学生人数？
21．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF．
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．
22．（9分）某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？
（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，求该公司有哪几种不同的购买方案？
23．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．
（1）求证：∠B＝∠ACB；
（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．
24．（10分）四川是闻名天下的“熊猫之乡”，每年到大熊猫基地游玩的游客络绎不绝，大学生小张加入创业项目，项目帮助她在基地附近租店卖创意熊猫纪念品．已知某款熊猫纪念物成本为30元/件，当售价为45元/件时，每天销售250件，售价每上涨1元，销量下降10件．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若每天该熊猫纪念物的销售量不低于240件的情况下，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？
（3）小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后这款纪念品每天剩余利润不低于3600元，试确定该熊猫纪念物销售单价的范围．
25．（10分）如图1，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，若AB＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
2021-2022学年湖南省长沙市开福区周南实验中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中是负整数的是（ ）
A．﹣2 B．5 C． D．﹣
【解答】解：A、﹣2为负整数，故选项正确；
B、5为正整数，故选项错误；
C、为正分数，故选项错误；
D、﹣为负分数，故选项错误．
故选：A．
2．（3分）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中632400000000用科学记数法表示为（ ）
A．6.324×1011 B．6.324×1010
C．632.4×109 D．0.6324×1012
【解答】解：632 400 000 000＝6.324×1011，
故选：A．
3．（3分）下列图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a（a+1）＝a2+a
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．2a+3b＝5ab
【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a（a+1）＝a2+a，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、2a与3b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
5．（3分）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝35°，则∠2等于（ ）
A．45° B．55° C．35° D．65°
【解答】解：如图，∵∠1＝35°，
∴∠3＝180°﹣35°﹣90°＝55°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝55°．
故选：B．
6．（3分）一次函数y＝5x﹣4的图象不经过（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【解答】解：∵一次函数y＝5x﹣4中，5＞0，﹣4＜0，
∴图象经过一、三、四象限，即不经过第二象限．
故选：C．
7．（3分）某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247，253，247，255，263．这五次成绩的平均数和中位数分别是（ ）
A．253，253 B．255，253 C．253，247 D．255，247
【解答】解：＝（247+253+247+255+263）÷5＝253，
这5个数从小到大，处在中间位置的一个数是253，因此中位数是253；
故选：A．
8．（3分）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【解答】解：∵OM＝ON，
∴∠M＝∠N＝50°，
∴∠MON＝180°﹣2×50°＝80°．
故选：C．
9．（3分）今有若干人乘车，每3人共乘一车且坐满，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A．﹣9 B．+2＝ C．﹣2＝ D．+9
【解答】解：依题意，得：+2＝．
故选：B．
10．（3分）如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0
B．图象的对称轴为直线x＝﹣1
C．点B的坐标为（1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【解答】解：观察图象可知a＜0，由抛物线的解析式可知对称轴x＝﹣1，
∵A（﹣3，0），A，B关于x＝﹣1对称，
∴B（1，0），
故A，B，C正确，
∵当﹣1＜x＜0时，y随x的增大而减小，
∴选项D错误．
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：a2﹣1＝ （a+1）（a﹣1） ．
【解答】解：a2﹣1＝a2﹣12＝（a+1）（a﹣1）．
12．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为 ．
【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝×6＝3，
设⊙O的半径为xcm，
则OC＝xcm，OE＝OB﹣BE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，
∴x2＝32+（x﹣2）2，
解得：x＝，
∴⊙O的半径为，
故答案为：．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5cm，则AD的长为 10 cm．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO＝DO，
∵点E是AB的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴AD＝2OE，
∵OE＝5cm，
∴AD＝10cm．
故答案为：10．
14．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，AB＝6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则EF的长为 3 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝90°，DC＝AB＝6；
由勾股定理得：AC2＝AD2+DC2，
∴AC＝10；
由题意得：
∠AFE＝∠B＝90°，
AF＝AB＝6；EF＝EB（设为λ），
∴CF＝10﹣6＝4，CE＝8﹣λ；
由勾股定理得：
（8﹣λ）2＝λ2+42，解得：λ＝3，
∴EF＝3．
故答案为：3
15．（3分）若抛物线y＝﹣x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是 m＜﹣9 ．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣6x+m与x轴没有交点，
∴当y＝0时，0＝﹣x2﹣6x+m，
∴△＝（﹣6）2﹣4×（﹣1）×m＜0，
解得，m＜﹣9
故答案为：m＜﹣9．
16．（3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为 12 ．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，
∴由根与系数的关系得：α+β＝2，αβ＝﹣4，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝22﹣2×（﹣4）＝12，
故答案为：12．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝﹣1﹣2+4
＝．
18．（6分）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）+2x（2﹣x），其中x＝﹣．
【解答】解：原式＝x2﹣6x+9+x2﹣9+4x﹣2x2
＝﹣2x，
当x＝﹣时，
原式＝﹣2×（﹣）
＝1．
19．（6分）如图，已知△ABC，∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若∠B＝40°，求∠CAD的度数．
【解答】解：（1）如图，点D为所作；
（2）△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝50°，
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝40°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝10°．
20．（8分）为了解学生假期的课外阅读情况，某校随机抽查了八年级学生阅读课外书的册数并作了统计，绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书的数据，根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图中丢失的数据和扇形统计图；
（2）阅读课外书册数的众数为 5 册．
（3）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外书阅读7册书的学生人数？
【解答】解：（1）抽查的总人数：12÷30%＝40，
阅读课外书5册的人数：40﹣8﹣12﹣6＝14（人），
阅读课外书5册的人数所占百分比：×100%＝35%，
阅读课外书7册的人数所占百分比：×100%＝15%，
阅读课外书4册的人数所占百分比：×100%＝20%，
如图所示：
（2）阅读课外书册数的众数为5册，
故答案为：5；
（3）1200×15%＝180（人），
答：该校1200名学生中课外书阅读7册书的学生人数为180人．
21．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF．
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠BCD＝90°．
∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝180°﹣90°＝90°．
∴∠D＝∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF．
∴∠1＝∠F．
∴AE∥BF．
∵AE＝BF，
∴四边形ABFE是平行四边形．
（2）解：∵∠D＝90°，
∴∠DAE+∠1＝90°．
∵∠BEF＝∠DAE，
∴∠BEF+∠1＝90°．
∵∠BEF+∠1+∠AEB＝180°，
∴∠AEB＝90°．
在Rt△ABE中，AE＝3，BE＝4，
AB＝．
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴EF＝AB＝5．
22．（9分）某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？
（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，求该公司有哪几种不同的购买方案？
【解答】解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20﹣x）件，
根据题意得40x+30（20﹣x）＝650，
解得x＝5，
则20﹣x＝15，
答：甲种奖品购买了5件，乙种奖品购买了15件；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20﹣x）件，
根据题意得，解得≤x≤8，
∵x为整数，
∴x＝7或x＝8，
当x＝7时，20﹣x＝13；当x＝8时，20﹣x＝12；
答：该公司有2种不同的购买方案：甲种奖品购买了7件，乙种奖品购买了13件或甲种奖品购买了8件，乙种奖品购买了12件．
23．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．
（1）求证：∠B＝∠ACB；
（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．
【解答】解：（1）证明：∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的中垂线，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB；
（2）在Rt△ADB中，BD＝＝＝3，
∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，
∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝4，
∴C△ABE＝AB+BE+AE＝5+11+4＝16+4，
S△ABE＝＝＝22．
24．（10分）四川是闻名天下的“熊猫之乡”，每年到大熊猫基地游玩的游客络绎不绝，大学生小张加入创业项目，项目帮助她在基地附近租店卖创意熊猫纪念品．已知某款熊猫纪念物成本为30元/件，当售价为45元/件时，每天销售250件，售价每上涨1元，销量下降10件．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若每天该熊猫纪念物的销售量不低于240件的情况下，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？
（3）小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后这款纪念品每天剩余利润不低于3600元，试确定该熊猫纪念物销售单价的范围．
【解答】解：（1）根据题意，得
y＝250﹣10（x﹣45）＝﹣10x+700．
答：每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣10x+700．
（2）销售量不低于240件，得﹣10x+700≥240
解得x≤46，
∴30＜x≤46．
设销售单价为x元时，每天获取的利润是w元，根据题意，得
w＝（x﹣30）（﹣10x+700）
＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000
∵﹣10＜0，
所以x＜50时，w随x的增大而增大，
所以当x＝46时，w有最大值，
w的最大值为﹣10（46﹣50）2+4000＝3840．
答：销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
（3）根据题意，得
w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600
即﹣10（x﹣50）2＝﹣250
解得x1＝55，x2＝45，
根据图象得，当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
25．（10分）如图1，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，若AB＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）x2﹣（a+1）x+a＝0，
则x1+x2＝a+1，x1x2＝a，
则AB2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（a﹣1）2＝16，
解得：a＝5或﹣3，
抛物线与y轴负半轴交于点C，故a＝5舍去，则a＝﹣3，
则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3…①；
（2）由y＝x2+2x﹣3得：点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3），
设点E（m，m2+2m﹣3），OA＝OC，故直线AC的倾斜角为45°，EF∥AC，
直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
则设直线EF的表达式为：y＝﹣x+b，将点E的坐标代入上式并解得：
直线EF的表达式为：y＝﹣x+（m2+3m﹣3）…②，
联立①②并解得：x＝m或﹣3﹣m，
故点F（﹣3﹣m，m2+4m），点M、N的坐标分别为：（m，﹣m﹣3）、（﹣3﹣m，m），
则EF＝（xF﹣xE）＝（﹣2m﹣3）＝MN，
四边形EMNF的周长S＝ME+MN+EF+FN＝﹣2m2﹣（6+4）m﹣6，
∵﹣2＜0，故S有最大值，此时m＝﹣，
故点E的横坐标为：﹣；
（3）①当点Q在第三象限时，
当OC平分四边形面积时，
则|xQ|＝xB＝1，故点Q（﹣1，﹣4）；
当BQ平分四边形面积时，
则S△OBQ＝×1×|yQ|，S四边形QCBO＝1×3+×3×|xQ|，
则2（×1×|yQ|）＝1×3+×3×|xQ|，
解得：xQ＝﹣，故点Q（﹣，﹣）；
②当点Q在第四象限时，
同理可得：点Q（，）；
综上，点Q的坐标为：（﹣1，﹣4）或（﹣，﹣）或（，）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/10/17 20:31:04；用户：初中；邮箱：16680502460；学号：29313762
2021-2022学年湖南省长沙市开福区周南实验中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中是负整数的是（ ）
A．﹣2 B．5 C． D．﹣
2．（3分）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中632400000000用科学记数法表示为（ ）
A．6.324×1011 B．6.324×1010
C．632.4×109 D．0.6324×1012
3．（3分）下列图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a（a+1）＝a2+a
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．2a+3b＝5ab
5．（3分）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝35°，则∠2等于（ ）
A．45° B．55° C．35° D．65°
6．（3分）一次函数y＝5x﹣4的图象不经过（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
7．（3分）某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247，253，247，255，263．这五次成绩的平均数和中位数分别是（ ）
A．253，253 B．255，253 C．253，247 D．255，247
8．（3分）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
9．（3分）今有若干人乘车，每3人共乘一车且坐满，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A．﹣9 B．+2＝ C．﹣2＝ D．+9
10．（3分）如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0
B．图象的对称轴为直线x＝﹣1
C．点B的坐标为（1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：a2﹣1＝ ．
12．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为 ．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5cm，则AD的长为 cm．
14．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，AB＝6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则EF的长为 ．
15．（3分）若抛物线y＝﹣x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是 ．
16．（3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）+2x（2﹣x），其中x＝﹣．
19．（6分）如图，已知△ABC，∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若∠B＝40°，求∠CAD的度数．
20．（8分）为了解学生假期的课外阅读情况，某校随机抽查了八年级学生阅读课外书的册数并作了统计，绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书的数据，根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图中丢失的数据和扇形统计图；
（2）阅读课外书册数的众数为 册．
（3）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外书阅读7册书的学生人数？
21．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF．
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．
22．（9分）某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？
（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，求该公司有哪几种不同的购买方案？
23．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．
（1）求证：∠B＝∠ACB；
（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．
24．（10分）四川是闻名天下的“熊猫之乡”，每年到大熊猫基地游玩的游客络绎不绝，大学生小张加入创业项目，项目帮助她在基地附近租店卖创意熊猫纪念品．已知某款熊猫纪念物成本为30元/件，当售价为45元/件时，每天销售250件，售价每上涨1元，销量下降10件．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若每天该熊猫纪念物的销售量不低于240件的情况下，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？
（3）小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后这款纪念品每天剩余利润不低于3600元，试确定该熊猫纪念物销售单价的范围．
25．（10分）如图1，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，若AB＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
2021-2022学年湖南省长沙市开福区周南实验中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中是负整数的是（ ）
A．﹣2 B．5 C． D．﹣
【解答】解：A、﹣2为负整数，故选项正确；
B、5为正整数，故选项错误；
C、为正分数，故选项错误；
D、﹣为负分数，故选项错误．
故选：A．
2．（3分）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中632400000000用科学记数法表示为（ ）
A．6.324×1011 B．6.324×1010
C．632.4×109 D．0.6324×1012
【解答】解：632 400 000 000＝6.324×1011，
故选：A．
3．（3分）下列图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a（a+1）＝a2+a
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．2a+3b＝5ab
【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a（a+1）＝a2+a，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、2a与3b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
5．（3分）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝35°，则∠2等于（ ）
A．45° B．55° C．35° D．65°
【解答】解：如图，∵∠1＝35°，
∴∠3＝180°﹣35°﹣90°＝55°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝55°．
故选：B．
6．（3分）一次函数y＝5x﹣4的图象不经过（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【解答】解：∵一次函数y＝5x﹣4中，5＞0，﹣4＜0，
∴图象经过一、三、四象限，即不经过第二象限．
故选：C．
7．（3分）某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247，253，247，255，263．这五次成绩的平均数和中位数分别是（ ）
A．253，253 B．255，253 C．253，247 D．255，247
【解答】解：＝（247+253+247+255+263）÷5＝253，
这5个数从小到大，处在中间位置的一个数是253，因此中位数是253；
故选：A．
8．（3分）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【解答】解：∵OM＝ON，
∴∠M＝∠N＝50°，
∴∠MON＝180°﹣2×50°＝80°．
故选：C．
9．（3分）今有若干人乘车，每3人共乘一车且坐满，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A．﹣9 B．+2＝ C．﹣2＝ D．+9
【解答】解：依题意，得：+2＝．
故选：B．
10．（3分）如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0
B．图象的对称轴为直线x＝﹣1
C．点B的坐标为（1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【解答】解：观察图象可知a＜0，由抛物线的解析式可知对称轴x＝﹣1，
∵A（﹣3，0），A，B关于x＝﹣1对称，
∴B（1，0），
故A，B，C正确，
∵当﹣1＜x＜0时，y随x的增大而减小，
∴选项D错误．
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：a2﹣1＝ （a+1）（a﹣1） ．
【解答】解：a2﹣1＝a2﹣12＝（a+1）（a﹣1）．
12．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为 ．
【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝×6＝3，
设⊙O的半径为xcm，
则OC＝xcm，OE＝OB﹣BE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，
∴x2＝32+（x﹣2）2，
解得：x＝，
∴⊙O的半径为，
故答案为：．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5cm，则AD的长为 10 cm．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO＝DO，
∵点E是AB的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴AD＝2OE，
∵OE＝5cm，
∴AD＝10cm．
故答案为：10．
14．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，AB＝6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则EF的长为 3 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝90°，DC＝AB＝6；
由勾股定理得：AC2＝AD2+DC2，
∴AC＝10；
由题意得：
∠AFE＝∠B＝90°，
AF＝AB＝6；EF＝EB（设为λ），
∴CF＝10﹣6＝4，CE＝8﹣λ；
由勾股定理得：
（8﹣λ）2＝λ2+42，解得：λ＝3，
∴EF＝3．
故答案为：3
15．（3分）若抛物线y＝﹣x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是 m＜﹣9 ．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣6x+m与x轴没有交点，
∴当y＝0时，0＝﹣x2﹣6x+m，
∴△＝（﹣6）2﹣4×（﹣1）×m＜0，
解得，m＜﹣9
故答案为：m＜﹣9．
16．（3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为 12 ．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，
∴由根与系数的关系得：α+β＝2，αβ＝﹣4，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝22﹣2×（﹣4）＝12，
故答案为：12．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝﹣1﹣2+4
＝．
18．（6分）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）+2x（2﹣x），其中x＝﹣．
【解答】解：原式＝x2﹣6x+9+x2﹣9+4x﹣2x2
＝﹣2x，
当x＝﹣时，
原式＝﹣2×（﹣）
＝1．
19．（6分）如图，已知△ABC，∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若∠B＝40°，求∠CAD的度数．
【解答】解：（1）如图，点D为所作；
（2）△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝50°，
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝40°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝10°．
20．（8分）为了解学生假期的课外阅读情况，某校随机抽查了八年级学生阅读课外书的册数并作了统计，绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书的数据，根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图中丢失的数据和扇形统计图；
（2）阅读课外书册数的众数为 5 册．
（3）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外书阅读7册书的学生人数？
【解答】解：（1）抽查的总人数：12÷30%＝40，
阅读课外书5册的人数：40﹣8﹣12﹣6＝14（人），
阅读课外书5册的人数所占百分比：×100%＝35%，
阅读课外书7册的人数所占百分比：×100%＝15%，
阅读课外书4册的人数所占百分比：×100%＝20%，
如图所示：
（2）阅读课外书册数的众数为5册，
故答案为：5；
（3）1200×15%＝180（人），
答：该校1200名学生中课外书阅读7册书的学生人数为180人．
21．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF．
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠BCD＝90°．
∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝180°﹣90°＝90°．
∴∠D＝∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF．
∴∠1＝∠F．
∴AE∥BF．
∵AE＝BF，
∴四边形ABFE是平行四边形．
（2）解：∵∠D＝90°，
∴∠DAE+∠1＝90°．
∵∠BEF＝∠DAE，
∴∠BEF+∠1＝90°．
∵∠BEF+∠1+∠AEB＝180°，
∴∠AEB＝90°．
在Rt△ABE中，AE＝3，BE＝4，
AB＝．
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴EF＝AB＝5．
22．（9分）某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？
（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，求该公司有哪几种不同的购买方案？
【解答】解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20﹣x）件，
根据题意得40x+30（20﹣x）＝650，
解得x＝5，
则20﹣x＝15，
答：甲种奖品购买了5件，乙种奖品购买了15件；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20﹣x）件，
根据题意得，解得≤x≤8，
∵x为整数，
∴x＝7或x＝8，
当x＝7时，20﹣x＝13；当x＝8时，20﹣x＝12；
答：该公司有2种不同的购买方案：甲种奖品购买了7件，乙种奖品购买了13件或甲种奖品购买了8件，乙种奖品购买了12件．
23．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．
（1）求证：∠B＝∠ACB；
（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．
【解答】解：（1）证明：∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的中垂线，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB；
（2）在Rt△ADB中，BD＝＝＝3，
∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，
∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝4，
∴C△ABE＝AB+BE+AE＝5+11+4＝16+4，
S△ABE＝＝＝22．
24．（10分）四川是闻名天下的“熊猫之乡”，每年到大熊猫基地游玩的游客络绎不绝，大学生小张加入创业项目，项目帮助她在基地附近租店卖创意熊猫纪念品．已知某款熊猫纪念物成本为30元/件，当售价为45元/件时，每天销售250件，售价每上涨1元，销量下降10件．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若每天该熊猫纪念物的销售量不低于240件的情况下，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？
（3）小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后这款纪念品每天剩余利润不低于3600元，试确定该熊猫纪念物销售单价的范围．
【解答】解：（1）根据题意，得
y＝250﹣10（x﹣45）＝﹣10x+700．
答：每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣10x+700．
（2）销售量不低于240件，得﹣10x+700≥240
解得x≤46，
∴30＜x≤46．
设销售单价为x元时，每天获取的利润是w元，根据题意，得
w＝（x﹣30）（﹣10x+700）
＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000
∵﹣10＜0，
所以x＜50时，w随x的增大而增大，
所以当x＝46时，w有最大值，
w的最大值为﹣10（46﹣50）2+4000＝3840．
答：销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
（3）根据题意，得
w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600
即﹣10（x﹣50）2＝﹣250
解得x1＝55，x2＝45，
根据图象得，当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
25．（10分）如图1，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，若AB＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）x2﹣（a+1）x+a＝0，
则x1+x2＝a+1，x1x2＝a，
则AB2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（a﹣1）2＝16，
解得：a＝5或﹣3，
抛物线与y轴负半轴交于点C，故a＝5舍去，则a＝﹣3，
则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3…①；
（2）由y＝x2+2x﹣3得：点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3），
设点E（m，m2+2m﹣3），OA＝OC，故直线AC的倾斜角为45°，EF∥AC，
直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
则设直线EF的表达式为：y＝﹣x+b，将点E的坐标代入上式并解得：
直线EF的表达式为：y＝﹣x+（m2+3m﹣3）…②，
联立①②并解得：x＝m或﹣3﹣m，
故点F（﹣3﹣m，m2+4m），点M、N的坐标分别为：（m，﹣m﹣3）、（﹣3﹣m，m），
则EF＝（xF﹣xE）＝（﹣2m﹣3）＝MN，
四边形EMNF的周长S＝ME+MN+EF+FN＝﹣2m2﹣（6+4）m﹣6，
∵﹣2＜0，故S有最大值，此时m＝﹣，
故点E的横坐标为：﹣；
（3）①当点Q在第三象限时，
当OC平分四边形面积时，
则|xQ|＝xB＝1，故点Q（﹣1，﹣4）；
当BQ平分四边形面积时，
则S△OBQ＝×1×|yQ|，S四边形QCBO＝1×3+×3×|xQ|，
则2（×1×|yQ|）＝1×3+×3×|xQ|，
解得：xQ＝﹣，故点Q（﹣，﹣）；
②当点Q在第四象限时，
同理可得：点Q（，）；
综上，点Q的坐标为：（﹣1，﹣4）或（﹣，﹣）或（，）．
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