湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下面四个图形中，与是对顶角的图形的个数是（ ）

A. 0B. 1C. 2D. 3
答案：B
解析：解：根据对顶角的定义可知：只有第三个图中的两个角是对顶角，其它都不是．
故选：B．
本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，掌握对顶角的定义是解题的关键．
2. 下列命题是真命题的是( )
A. 相等的角是对顶角B. 互相垂直的直线一定相交
C. 内错角相等D. 邻补角相等
答案：B
解析：A、相等的角不一定是对顶角，该命题是假命题；
B、互相垂直的直线一定相交，该命题是真命题；
C、内错角不一定相等，该命题是假命题；
D、邻补角互补，该命题是假命题；
故选：B．
本题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3. 下列各数﹣0.101001，，，，，0，中，无理数的个数有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：C
解析：解：=4，
∴无理数有：，，共3个，
故选C．
本题主要考查了无理数，掌握无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数，能快速准确的找出无理数．
4. 点A（x，y）的坐标满足xy＞0，x+y＜0，那么点A在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：C
解析：解：∵xy＞0，
∴xy为同号即为同正或同负，
∵x＋y＜0，
∴x＜0，y＜0，
∴点A（x，y）在第三象限，
故选：C．
此题考查点的坐标，坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求字母的取值范围．解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符．
5. 用含盐与含盐的盐水配含盐的盐水千克，设需含盐的盐水千克，含盐盐水千克，则所列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解：∵含盐的盐水x千克中含盐，含盐的盐水y千克中含盐，含盐的盐水300千克中含盐，
∴，
故所列方程组为：
故选：A．
此题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
6. 如图，把沿EF翻折，叠合后的图形如图，若，，则的度数是（ ）
A. 15°B. 20°C. 25°D. 35°
答案：C
解析：解：如图，∵△ABC沿EF翻折，
∴∠BEF=，∠CFE=，
∴180°-∠AEF=∠1+∠AEF，180°-∠AFE=∠2+∠AFE，
∵∠1=95°，
∴∠AEF=（180°-95°）=42.5°，
∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，
∴∠AFE=180°-60°-42.5°=77.5°，
∴，
∴∠2=25°．
故选C．
本题考查了折叠的性质：翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．同时考查了三角形的内角和定理的应用．
7. 如图，平分，，于点E，，，则的长度为（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解析：解：过C作交延长线与F，

∵平分，，，
∴，，
在和中，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，则，
故选：D．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
8. 如图，在中，，平分，于E，有下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的是（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：D
解析：解：∵，平分，，
∴，故①正确；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故②正确；
平分，故④正确；
∵，，
∴，故③正确；
综上所述，结论正确是①②③④共4个．
故选：D．
本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
9. 如图，已知，，如果添加一个条件使，则添加的条件不可以是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：∵，
∴，即，
当时，由可证，故A不符合要求；
当时，由可证，故B不符合要求；
当时，由可证，故C不符合要求；
当，无法使，故D符合要求．
故选：D．
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（2，0），在平面内有一点C（不与点B重合），使得△AOC与△AOB全等，这样点C有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：C
解析：如图所示，满足条件的点有三个，分别为C1(-2，0)，C2(-2，4)，C3(2，4)
故选：C
本题考查了坐标与图形、三角形全等的判定，全等三角形的判定及图形坐标特征是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，8小题，共24分）
11. 对于方程，用含x的代数式表示y为____________．
答案：y=8-
解析：试题分析：由＋去分母得x+6y=8，移项得y=8-
12. 已知样本：8，6，10，13，10，8，7，10，11，12，10，8，9，11，9，12，10，12，11，9．在列频数分布表时，如果取组距为2，那么应分成__________组， 这一组的频率是______．
答案： ①. 4 ②. ##0.4
解析：解：根据题意，得
最大的是13，最小的是6，即极差是7，则组数是（组），
观察数据，可得这一小组的频数为8个，样本的容量为20，则其频率为．
故答案为：4；0.4．
本题考查的是频数分布表，掌握组距、分组数的确定方法：组距=（最大值-最小值）÷组数，以及频率的计算方法是解题的关键．
13. 已知不等式组的解集为，则的值是______．
答案：
解析：解：，
由①可得：，
由②可得：，
∵不等式组解集为，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．
14. 某中学七年级学生外出进行社会实践活动，如果每辆车坐45人，那么有15个学生没车坐；如果每辆车坐60人，那么可以空出一辆车．则共有___辆车，___个学生．
答案： ①. 5 ②. 240
解析：解：设车有x辆，则根据两次学生人数不变，得:
45x+15＝60（x﹣1），
解得x＝5，
即有辆车，
把x＝5代入60（x﹣1）＝240，
即有240个学生，
故答案为：①5，②240.
本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．
15. 若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是______．
答案：m≤2
解析：解：因为不等式组的解集是x＞2，根据同大取较大原则可知：m＜2，
当m=2时，不等式组的解集也是x＞2，
所以m≤2．
故答案为：m≤2．
本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
16. 已知关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围是______．
答案：
解析：解：方程，
移项得：，
∴
根据题意得：，
解得：，
所以m的取值范围是．
点评：本题考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式，解题的关键是把字母m看作一个常数来解，本题是常见的题型要求掌握．
17. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是_____．
答案：10
解析：解：设边数为n，由题意得，
，
解得．
所以这个多边形的边数是10．
故答案为：10．
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，，根据这个规律，可得点的坐标是__________.

答案：
解析：解：观察图形可知， 点……的横坐标依次是1、2、3、4、……、n，
纵坐标依次是2、0、、0、2、0、、……，四个一循环，
故点坐标是．
故答案为．
本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解题的关键是根据图形中点的坐标得出规律．
三、解答题（7小题，共66分）
19. 计算：+|﹣2|．
答案：﹣﹣1．
解析：解：原式＝4﹣4﹣3+2﹣
＝﹣﹣1．
此题主要考查了实数的混合运算，正确化简各数是解题的关键．
20. （1）解方程组：
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
答案：（1）；（2）−1≤x＜3，在数轴上表示解集见解析．
解析：解：（1）①×2＋②×3，得：13x＝26，
解得x＝2，
将x＝2代入②，得：6＋2y＝12，
解得y＝3，
∴方程组的解为；
（2）解不等式①，得：x≥−1，
解不等式②，得：x＜3，
则不等式组的解集为−1≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21. 如图，直线、相交于O，平分，于点O，，求、的度数．

答案：，
解析：解：∵于点O，，
∴，
∵与是对顶角，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
此题主要考查了余角，补角及角平分线的定义，角的和差运算，对顶角的性质，熟练的利用角的和差运算进行计算是解本题的关键．
22. 已知：，，
（1）在坐标系中描出各点，画出．

（2）求的面积；
（3）设点P在坐标轴上，且与的面积相等，求点P的坐标．
答案：（1）见解析 （2）4
（3）或或或
小问1解析：
解：如图所示：

小问2解析：
解：过点C向、轴作垂线，垂足为
∴四边形的面积，的面积，的面积，的面积
∴的面积=四边形的面积−的面积−的面积−的面积
小问3解析：
解：①当点在x轴上时，的面积，即
解得：
所以点P的坐标为或；
②当点在y轴上时，的面积，即，
解得：．
所以点P的坐标为或．
所以点P的坐标为或或或
本题考查坐标与图形．用点的坐标正确表示出图形面积是解题关键．
23. 如图，四边形中，，，，，与相交于点 F．

（1）求证：；
（2）判断线段与的位置关系，并说明理由．
答案：（1）见解析 （2），理由见解析
小问1解析：
证明：在和中，
，
∴；
小问2解析：
解：垂直；
由（1）可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法有，以及全等三角形对应边相等，对应角相等．
24. 定义：关于 x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数 a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．
（1）方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为_______；
（2）已知关于 x，y 的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解恰好是关于x， y的二元一次方程的一个解， 求代数式的值；
（3）已知整数m，n，t满足条件，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”求 m的值．
答案：（1）或
（2）2024 （3）
小问1解析：
解：当的交换系数方程为时，
联立，
解得：；
当的交换系数方程为时，
联立，
解得：；
故答案为：或；
小问2解析：
解：当的“交换系数方程”为时，
联立，解得：，
∵，
∴，
∴，
当的“交换系数方程”为时，
联立，解得：，
∵，
∴，
∴，
综上：与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解为，
把代入方程得：，
∴．
小问3解析：
解：∵是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，
∴或，
①当时，
整理得：，解得：，
∵，
∴，
∵m，n，t均为整数，
∴，
解得：，
∴；
②当时，
整理得：，
解得：，不符合题意，
综上：．
本题主要考查了求解含参数的二元一次方程组，解题的关键是掌握解二元一次方程组的核心思想“消元”，有加减消元法和代入消元法．
25. 问题初探
和是两个都含有角的大小不同的直角三角板

（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明：
类比探究
（2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．
拓展延伸
如图（3），在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积．
答案：（1）见解析；（2），；（3）
解析：（1）∵和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，

∴，，，
∴，
∴；
（2），，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
延长与交于点，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）过作交延长线于，过作交于，

∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵A到直线的距离为7，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判断方法，解本题的关键是判断出，是一道难度不大的中考常考题．