高中数学2.1 圆的方程第2课时练习

第2课时 圆的一般方程

分层作业

A层 基础达标练

1. 圆的方程为，则圆心坐标为(  )

A.  B. , C.  D. ,

2. 已知点，圆的一般方程为，则点与圆的位置关系是(  )

A. 点 在圆外 B. 点 在圆内且不是圆心

C. 点 在圆上 D. 点 是圆心

3. [2023泰州调研]如果是圆的方程，那么实数的取值范围是(  )

A.  B.  C.  D.

4. 若直线始终平分圆的周长，则的值为(  )

A. 4 B. 6 C.  D.

5. [2023海州月考]过三点，，的圆的方程是(  )

A.  B.

C.  D.

6. 经过点和，且圆心在轴上的圆的一般方程为.

7. 求经过两点，，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的一般方程.

8. （2023淮阴质检）已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径为，求：

（1） 圆的一般方程；

（2） 圆关于直线的对称圆方程.

B层 能力提升练

9. 已知圆的圆心在直线上，则该圆的面积为(  )

A.  B.  C.  D.

10. 当取不同的实数时，由方程可以得到不同的圆，则(  )

A. 这些圆的圆心都在直线 上

B. 这些圆的圆心都在直线 上

C. 这些圆的圆心都在直线 或 上

D. 这些圆的圆心不在同一条直线上

11. 若点是圆内一点，则过点的最长弦所在的直线方程是(  )

A.  B.  C.  D.

12. 已知圆关于直线对称，则有(  )

A.  B.  C.  D.

13. 若曲线上所有的点均在第二象限内，则的取值范围为(  )

A.  B.  C.  D.

14. 已知直线，圆，则与在同一平面直角坐标系中的图形可能是(  )

A.  B.  C.  D.

15. 已知圆过点,,，点,在圆上，则面积的最大值为.

16. 由曲线围成的图形的面积为.

17. 已知关于，的二元二次方程.

（1） 当在什么范围内取值时，方程表示圆？

（2） 当为何值时，方程表示的圆的半径最大？求出半径最大时圆的方程.

C层 拓展探究练

18. 如图，是边长为1的正三角形，点在所在的平面内，且（为常数），下列结论正确的是(  )

A. 当 时，满足条件的点 有且只有一个

B. 当 时，满足条件的点 有三个

C. 当 时，满足条件的点 有无数个

D. 当 为任意正实数时，满足条件的点 总是有限个

19. 已知二次函数的图象与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，求圆经过定点的坐标（其坐标与无关）.

第2课时 圆的一般方程

分层作业

A层 基础达标练

1. D

2. C

3. B

4. C

5. A

6.

7. 解 设所求圆的方程为，令,得，所以圆在轴上的截距之和为令,得，所以圆在轴上的截距之和为.由题意，得，

所以.①

又，在圆上，

所以，②

，③

由①②③解得，，

故所求圆的一般方程为.

8. （1） 解 圆的标准方程为，圆心为,，半径为，所以

解得或

又圆心在第二象限，所以

所以圆的一般方程为

（2） 由（1）知圆心为，设它关于直线的对称点为，

则解得所以对称圆方程为.

B层 能力提升练

9. A

10. A

11. C

12. B

13. C

14. A

[解析]由，得，所以圆心，半径为，由此可知圆过坐标原点，所以排除，；由选项，可知,，所以直线过第一、三、四象限，故选.

15.

[解析]设圆的方程为，将,,代入可得，

解得故圆的一般方程为，

即，

故的面积,所以面积的最大值为.

16.

[解析]曲线可化为，

当,时，方程化为，易知曲线关于轴、轴、原点均对称，由题意，作出图形如图中实线所示，则此曲线所围成的图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成，故所围成图形的面积是.

17. （1） 解若方程表示圆，

则,整理可得，解得.所以当在,内取值时，方程表示圆.

（2） 由可得，

设圆的半径为，则，所以当,时，，所以，此时圆的方程为，即.

综上，当时，方程表示的圆的半径最大，半径最大时圆的方程为.

C层 拓展探究练

18. C

[解析]如图，以边所在直线为轴，中点为原点，建立平面直角坐标系，则,，，，，.

设，可得，，.

因为，所以，

化简得，即，配方，得

当时，方程①的右边小于0，故不能表示任何图形；

当时，方程①的右边为0，表示点，，恰好是正三角形的重心；

当时，方程①的右边大于0，表示以，为圆心，半径为的圆，由此对照各个选项，可得只有项符合题意.故选.

19. 解 二次函数的图象与坐标轴有三个不同的交点，记为,,，易知，,满足，，，.设圆的方程为，则

，得，，所以，从而，代入③，得，所以圆的方程为，整理得，

由解得或

所以圆过定点和.