苏教版 (2019)2.1 圆的方程课时作业

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考点一：圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.
考点二：点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
考点三：圆的一般方程
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
【题型归纳】
题型一：求圆的标准方程
1．（2023秋·甘肃临夏·高二校考期末）圆心坐标为，并经过点，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】假设圆的标准方程，代入点坐标即可得到结果.
【详解】由题意可设圆的标准方程为：，
，圆的标准方程为：.
故选：D.
2．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，则圆关于点对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】圆关于点对称只是圆心的位置发生了变化，因此只需求圆心关于点对称后的坐标即可解决.
【详解】圆的圆心为，半径为，
关于对称的点为，
圆对称后只是圆心位置改变，圆的半径不会变化，仍为，
因此所求的圆的方程为.
故选：D
3．（2023·全国·高二专题练习）已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为（ ）
A．(x－2)2＋(y－3)2＝5B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5
【答案】B
【分析】设圆心，由得出圆心和半径，进而得出方程.
【详解】设圆心，因为，所以，
解得，则半径为，圆心.
即圆C的标准方程为.
故选：B
题型二、圆的一般方程
4．（2023·全国·高二专题练习）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程.
【详解】设圆的方程为，
由题意知,圆过点，和，
所以，解得，
所以所求圆的方程为.
故选：A
5．（2022秋·天津和平·高二统考期末）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用圆的一般方程列出方程组求解即可.
【详解】设所求圆方程为,
因为，，三点都在圆上，
所以，解得，
即所求圆方程为：.
故选：C.
6．（2021秋·山西太原·高二校考期中）过点，且经过圆与圆的交点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，设所求圆的方程为，再待定系数求解即可．
【详解】解：由圆系方程的性质可设所求圆的方程为，
因为所求圆过点，
所以，解得：
所以所求圆的方程为：
故选：A
题型三：二元二次方程表示曲线与圆问题（参数）
7．（2022秋·吉林白城·高二统考期末）若方程表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】方程配方后得，根据圆的半径大于0求解.
【详解】由方程可得，
所以当时表示圆，解得.
故选：D.
8．（2022秋·福建·高二校联考期中）设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由方程表示圆可构造不等式求得的范围，根据推出关系可得结论.
【详解】若方程表示圆，则，解得：；
∵，，，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
9．（2022秋·广西贵港·高二校考阶段练习）若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合求得的取值范围.
【详解】依题意，
即，
解得或，
所以的取值范围是.
故选：C
题型四： 圆的对称问题
10．（2022秋·全国·高二专题练习）已知圆关于直线为大于0的常数对称，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】由题意，直线过圆心，进而有，又，从而利用均值不等式即可求解的最大值.
【详解】解：因为圆的圆心为，且圆关于直线为大于0的常数对称，
所以直线过圆心，
所以，又，
所以即当取最大值为，
故选：A.
11．（2022·高二课时练习）圆关于直线：对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案．
【详解】圆的圆心坐标为，半径为2，
设关于直线：的对称点为，
则，解得．
所以，则圆关于直线对称的圆的方程为．
故选：C．
【点睛】本题考查圆的标准方程，考查了点关于直线的对称点的求法，属于基础题．
12．（2022秋·湖北荆门·高二荆门市东宝中学校考期中）已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对称性，求得，求得圆的圆心坐标，再根据直线l为线段C1C2的垂直平分线，求得直线的斜率，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，圆的方程，可化为，
根据对称性，可得：，解得：或（舍去，此时半径的平方小于0，不符合题意），
此时C1(0，0)，C2(－1，2)，直线C1C2的斜率为：，
由圆C1和圆C2关于直线l对称可知：直线l为线段C1C2的垂直平分线，
所以，解得，直线l又经过线段C1C2的中点(，1)，
所以直线l的方程为：，化简得：，
故选A
题型五： 定点到圆上的最值问题
13．（2023·全国·高二专题练习）点在圆上，点，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】可判断在圆外，则，计算即可．
【详解】圆的圆心，半径为，
由于在圆外，
．
故选：D.
14．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试）已知直线：mx－y－3m＋1＝0与直线：x＋my－3m－1＝0相交于点P，点Q是圆C：上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意分析可得点的轨迹是圆心为，半径为的圆，结合圆的性质运算求解.
【详解】圆C：的圆心，半径，
因为，
所以直线与直线互相垂直，
由，得，所以直线过定点，
由得，所以直线过定点，
因为中点为，且，
所以点的轨迹方程为，其圆心为，半径为，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
且，
故的最小值为.
故选：C.
15．（2023秋·山东东营·高二统考期末）已知点P为圆C：上一点,，，则的最大值为（ ）
A．5B．7C．10D．14
【答案】D
【分析】设，表示出，继而得，将问题转化为圆上的动点到的距离的最大值问题，可得答案.
【详解】设，则，
∵，，∴，，
则，
故，
而的几何意义为圆上的动点到的距离，其最大值为，
∴的最大值为，
故选：
题型六：圆的方程综合性问题
16．（2023秋·高二课时练习）根据下列条件，分别求相应圆的方程．
(1)圆心为，半径；
(2)圆心为，过点；
(3)与轴相交于、两点，且半径等于．
【答案】(1)
(2)
(3)或；
【分析】（1）将圆心坐标和半径代入圆的标准方程即可得出答案；
（2）求出圆的半径，再代入标准方程即可求得结果；
（3）易知圆心在线段的垂直平分线上，求出圆心坐标代入标准方程即可.
【详解】（1）将圆心和半径代入圆的标准方程可得圆的方程为；
（2）易知圆的半径为，
所以圆方程为；
（3）易知圆心在线段的垂直平分线上，
不妨设圆心坐标为，由半径为可得，解得；
当圆心为时，圆方程为；
当圆心为时，圆方程为；
因此所求圆的方程为或；
17．（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上.
(1)求圆心为的圆的一般方程；
(2)已知，为圆上的点，求的最大值和最小值.
【答案】(1)；
(2)最大值为，最小值为.
【分析】由和的坐标，求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为求出线段垂直平分线的斜率，再由和的坐标，利用线段中点坐标公式求出线段的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率，得出线段垂直平分线的方程，与直线联立组成方程组，求出方程组的解集得到圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程，再化为一般方程即可;
（2）先确定点在圆外，求得可求的最大值和最小值．
【详解】（1）∵，，∴,
∴弦的垂直平分线的斜率为，
又弦的中点坐标为，∴弦的垂直平分线的方程为，即，
与直线：联立，解得：，
圆心坐标为，∴圆的半径，
则圆的方程为.
∴圆的一般方程为；

（2）由（1）知圆的方程为，
所以,∴在圆外，
的最大值为，最小值为.
18．（2023秋·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）已知圆C经过点且圆心C在直线上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用待定系数法运算求解；
（2）根据题意利用相关点法运算求解.
【详解】（1）设圆C的标准方程为，可知其圆心为，
由题意可得，解得，
所以圆C的标准方程为.
（2）设，
由及M为线段EF的中点得，解得，即，
又因为点E在圆C：上，则，
化简得：，
故所求的轨迹方程为．

【双基达标】
单选题
19．（2023秋·高二）圆的圆心坐标及半径分别为（ ）
A．，5B．，
C．，D．，5
【答案】B
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，由此求得圆心和半径.
【详解】依题意，圆转化为标准方程得，
所以圆心为，半径为.
故选：B
20．（2023秋·高二课时练习）方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆，则的值分别为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求得圆的标准方程，再转化为一般方程，从而求得.
【详解】以为圆心，为半径的圆的标准方程为，
即，所以.
故选：D
21．（2023秋·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）圆关于点对称的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程.
【详解】由题意可得圆的标准方程为，
所以圆心为，半径为，
因为点关于点的对称点为，
所以所求对称圆的标准方程为，
故选：D
22．（2023·全国·高二专题练习）圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）．
A．3B．5C．D．
【答案】B
【分析】求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案
【详解】圆的圆心为，半径，则
圆心到直线的距离为
，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为，
故选：B
23．（2023·全国·高二专题练习）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．12
【答案】D
【分析】根据基本不等式，结合圆的标准方程进行求解即可.
【详解】因为直线经过圆的圆心，
故，
所以，
当且仅当 ，即时，等号成立.
故选：D
24．（2023春·新疆阿克苏·高二校考期末）求下列各圆的方程.
(1)圆心为点，且过点；
(2)过，，三点．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出半径，利用圆的标准方程写出即可.
（2）设出圆的一般方程，将三点代入解出即可.
【详解】（1）由题意知半径，
所以圆的方程为：.
（2）设圆的一般方程为：.
将，，代入得：
，
所以圆的方程为：.
25．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，设圆的圆心C在直线：上，且，都是圆上的点，求圆的标准方程.
【答案】
【分析】用待定系数法设圆的方程为，根据题中的关系，求出，，即可.
【详解】设所求圆的方程为，
由题意得
解得，，，
因此所求圆的方程为.
【高分突破】
一、单选题
26．（2023秋·高二）已知点，圆，过点的直线与圆交于，两点，则的最大值为（ ）
A．B．12C．D．
【答案】B
【分析】利用中点坐标求出AB的中点的轨迹方程为圆心、半径为1的圆，得的最大值，结合即可求解.
【详解】由题意知，，圆M的半径为4，设AB的中点，
则，即，
又，所以，
即点D的轨迹方程为，圆心，半径为1，
所以的最大值为，
因为，
所以的最大值为12.
故选：B.
27．（2023·江苏·高二专题练习）已知点在过点且与直线垂直的直线上，则圆：上的点到点的轨迹的距离的最大值为（ ）
A．1B．2C．5D．
【答案】C
【分析】先求得的关系式，即求得点的轨迹，然后结合圆与直线的位置关系求得正确答案.
【详解】过点且与直线垂直的直线为：，
已知点在该直线上，所以，即，
所以点的轨迹方程为，又圆：，
所以圆心，半径，
所以圆上的点到点的轨迹的距离的最大值为：
.
故选：C
28．（2023·全国·高二专题练习）已知直线l恰好经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由直线垂直得到直线l的斜率，结合圆心坐标，利用点斜式写成直线方程，化为一般式，得到答案.
【详解】由直线l与直线m垂直，设直线l，m的斜率分别为，，则，
即，
解得．
易得圆C的圆心为，故直线l的方程为，
整理可得直线l的方程为．
故选：C．
29．（2023·全国·高二专题练习）已知圆和直线.若圆与圆关于直线l对称，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据对称性求得圆的圆心和半径，进而求得圆的方程.
【详解】圆的圆心为，半径为，
关于直线的对称点是，
所以圆的圆心是，半径是，
所以圆的方程为.
故选：B
30．（2023·全国·高二专题练习）若点是圆的弦的中点，则弦所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出圆心坐标，由题意可得，从而可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程.
【详解】因为圆心，，所以圆心，
因为是圆的弦的中点，
所以，
所以，则直线的方程为，即，
故选：C.
二、多选题
31．（2023·全国·高二课堂例题）已知方程，下列叙述正确的是（ ）
A．方程表示的是圆
B．方程表示的圆的圆心在x轴上
C．方程表示的圆的圆心在y轴上
D．当时，方程表示以为圆心，半径为1的圆
【答案】BD
【分析】根据圆的一般方程的条件，对各个选项进行逐一判断．
【详解】对于选项A：因为，，，
由方程表示圆的条件得，即，解得，
所以只有当时才表示圆，故A错误；
对于选项B、C：因为，，
若方程表示圆，圆心坐标为，圆心在x轴上，故B正确，C错误；
对于选项D：当时，半径，故D正确；
故选：BD.
32．（2023·全国·高二专题练习）已知曲线（ ）
A．若，则C是圆
B．若，，则C是圆
C．若，，则C是直线
D．若，，则C是直线
【答案】BC
【分析】根据圆的一般方程对选项一一判断即可.
【详解】对于A，当时，，
若，则C是圆；
若，则C是点；
若，则C不存在.故A错误.
对于B，当时，，且，
则C是圆，故B正确.
对于C，当时，，且，则C是直线，故C正确.
对于D，当，时，，
若，则表示一元二次方程，
若，则表示抛物线，故D错误.
故选：BC
33．（2022秋·全国·高二期末）已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，表示圆心为的圆B．当时，表示圆心为的圆
C．当时，表示的圆的半径为D．当时，表示的圆与轴相切
【答案】BCD
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，方程，可化为，
可圆的圆心坐标为，
A中，当时，此时半径为，所以A错误；
B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确；
C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确；
D中，当时，可得，方程表示的圆半径为，
又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确．
故选：BCD.
34．（2023·全国·高二专题练习）设有一组圆，下列命题正确的是（ ）
A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为4
【答案】AB
【分析】对于AD：由题意可知：圆，的圆心，半径，进而分析判断；对于CD：分别将点，代入方程，通过解的个数分析判断.
【详解】由题意可知：圆的圆心，半径.
对于选项A：不论k如何变化，圆心始终在直线上，故A正确；
对于选项B：令，整理得，
因为，可知方程无解，
所以所有圆均不经过点，故B正确；
对于选项C：令，整理得，
因为，可知方程有两个不同的解，
所以经过点的圆有且只有两个，故C错误；
对于选项D：因为半径，所以所有圆的面积均为，故D错误；
故答案为：AB.
35．（2023秋·高二单元测试）设是圆心为的圆：上的动点，是圆的切线，且，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为
B．
C．点到距离的最小值为6
D．点到距离的最大值为12
【答案】ABD
【分析】根据圆的标准方程可知圆的圆心和半径，根据圆与切线的几何性质即可求出点P的轨迹方程，即可得到点P与圆的位置关系，判断选项B、C、D.
【详解】由题知，圆的圆心为，半径为，又，
，点的轨迹方程为，
故点到的距离的最大值为，
最小值为．
故选：ABD
三、填空题
36．（2023秋·福建厦门·高二厦门一中校考开学考试）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ．
【答案】
【分析】直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程.
【详解】圆经过点和，，AB中点为，
所以线段AB的垂直平分线的方程是．
联立方程组，解得．
所以，圆心坐标为，半径，
所以，此圆的标准方程是．
故答案为：
37．（2023秋·浙江台州·高二台州市书生中学校考开学考试）已知，，，则过A，B，C三点圆的一般方程 ．
【答案】
【分析】设圆的一般方程为，解方程组即得解.
【详解】设圆的一般方程为，
由题意得，
解得，，．
圆的一般方程是．
故答案为：．
38．（2023·全国·高二专题练习）点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为 .
【答案】
【分析】易知直线过定点，再由在动直线上的投影为点M，得到，进而得到的轨迹是以为直径的圆求解.
【详解】解：因为直线过定点，且，
所以的轨迹是以为直径的圆，且圆心为，半径，
所以，
故答案为：.
39．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知为圆上的动点，则的最大值为 .
【答案】72
【分析】设，则，，然后化简可求得其最大值.
【详解】由，得，则圆心，半径，
所以，
设，由在圆上，可得，
又，
则，
，∴当时，取到最大值.
故答案为：72.
40．（2023春·上海浦东新·高二校考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设点，利用已知条件求出点的轨迹方程，利用平面向量数量积的运算性质可得出，求出的最小值，即可得出的最小值.
【详解】设点，由可得，整理可得，
化为标准方程可得，
因为为的中点，

所以，
，
记圆心为，当点为线段与圆的交点时，
取最小值，此时，，
所以，.
故答案为：.
四、解答题
41．（2023秋·高二课时练习）已知圆．求在下列情况下，实数、、应分别满足什么条件．
(1)圆过原点；
(2)圆心在轴上；
(3)圆与轴相切；
(4)圆与，两坐标轴均相切．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意，将代入圆的方程即可判断；
（2）根据题意，由条件可得即可满足；
（3）根据题意，由圆心到轴的距离等于半径即可判断；
（4）根据题意，由圆心到轴的距离等于半径即可判断.
【详解】（1）若圆过原点，将代入圆的方程可得，故满足条件为.位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM|＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外
|CM|>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内
|CM|(x0－a)2＋(y0－b)2条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
D2＋E2－4F>0
表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，以eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆