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高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册2.1 圆的方程第2课时教学设计
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这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册2.1 圆的方程第2课时教学设计，共10页。教案主要包含了圆的一般方程的理解，求圆的一般方程，圆的一般方程的实际应用等内容，欢迎下载使用。
导语 我们的祖先很早就发明了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1 400多年前、横跨在我国河北赵县的河上的赵州桥．赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座单孔坦拱式桥梁．赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格．虽然历经千年风霜及车压人行，但赵州桥至今仍可通行车辆，被公认为是世界上最古老的一座拱桥．由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？
一、圆的一般方程的理解
问题1 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？
提示 将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2)))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．
问题2 当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
提示 当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
知识梳理
1．圆的一般方程的概念
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圆的一般方程(general equatin f circle)．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F).
3．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明
注意点：
(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项．
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．
(1)求实数m的取值范围；
(2)写出圆心坐标和半径．
解 (1)由表示圆的充要条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝eq \r(1－5m).
反思感悟 圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
跟踪训练1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq \f(\r(2)|a|,2)
解析 方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，
可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(a,2)))2＝eq \f(a2,2)，
故圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，\f(a,2)))，半径为eq \f(\r(2)|a|,2).
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．
答案 9π
解析 圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(k,2)，－1))，
由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴－eq \f(k,2)＋1＋1＝0，得k＝4，
圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为eq \f(1,2)eq \r(42＋22＋16)＝3，
∴该圆的面积为9π.
二、求圆的一般方程
例2 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标．
解 设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
将A，B，C三点坐标代入上式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5E＋F＋25＝0，,D－2E＋F＋5＝0，,3D＋4E－F－25＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝6，,E＝－2，,F＝－15.))
∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0，
即(x＋3)2＋(y－1)2＝25，
∴△ABC的外接圆圆心为(－3,1)．
反思感悟 应用待定系数法求圆的方程
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
跟踪训练2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程．
解 设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2D＋2E＋F＋8＝0，,5D＋3E＋F＋34＝0，,3D－E＋F＋10＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12，))
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
三、圆的一般方程的实际应用
例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m．建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m)．
解 建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，由题意知，
P(0,4)，B(10,0)，A(－10,0)，
设圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为点A，B，P在圆上，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(42＋4E＋F＝0，,102＋10D＋F＝0，,－102－10D＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝0，,E＝21，,F＝－100，))
故圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋21y－100＝0，
将P2的横坐标x＝－2代入圆的方程得y≈3.86(m)．
故支柱A2P2的高度约为3.86 m.
反思感悟 解应用题的步骤
(1)建模．
(2)转化为数学问题求解．
(3)回归实际问题，给出结论．
跟踪训练3 赵州桥的跨度是37.4 m，圆拱高约为7.2 m．求这座圆拱桥的拱圆的方程．(精确到0.01)
解 建立如图所示的坐标系，
则A(－18.7,0)，B(18.7,0)，P(0,7.2)，
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－18.72－18.7D＋F＝0，,18.72＋18.7D＋F＝0，,7.22＋7.2E＋F＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝0，,E≈41.37，,F＝－349.69))
所以圆的方程为x2＋y2＋41.37y－349.69＝0.
1．知识清单：
(1)圆的一般方程的理解．
(2)求圆的一般方程．
(3)圆的一般方程的实际应用．
2．方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法．
3．常见误区：忽略圆的一般方程表示圆的条件．
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点 B．一个圆
C．一条直线 D．不存在
答案 A
解析 方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是( )
A．m＜eq \f(1,2) B．m≤eq \f(1,2)
C．m＜2 D．m≤2
答案 A
解析 由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜eq \f(1,2)，故选A.
3．若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k＝________.
答案 －2
解析 由条件可知，直线经过圆的圆心(k，－1)，∴2k－(－1)＋3＝0，解得k＝－2.
4．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________.
答案 4
解析 以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16.即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4.
课时对点练
1．(多选)若a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，1，\f(2,3)))，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为( )
A．－2 B．0 C．1 D.eq \f(2,3)
答案 ABD
解析 根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1，又a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，1，\f(2,3)))，则a的值可以为－2,0，eq \f(2,3).
2．已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为( )
A．3 B.eq \r(5) C．5 D．4
答案 D
解析 圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0，
即(x＋a)2＋y2＝a2－9，
它的圆心坐标为(－a,0)，可得a＝－5，
故它的半径为eq \r(a2－9)＝eq \r(25－9)＝4.
3．(多选)下列结论正确的是( )
A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程
B．圆的一般方程和标准方程可以互化
C．方程x2＋y2＋2x－6y＋10＝0表示圆
D．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0
答案 ABD
解析 AB显然正确；C中方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝0，所以表示点(－1,3)；D正确．
4．若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为( )
A．2 B．－1 C．－2 D．0
答案 D
解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，则圆心坐标为(1，－2)，
∵直线2x＋y＋m＝0过x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心．
∴2－2＋m＝0，解得m＝0.
5．圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
答案 C
解析 把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，
∴圆心C(2，－1)．
设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0－－1,x0－2)＝－1，,\f(y0－1,2)＝\f(x0＋2,2)＋1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－2，,y0＝3，))故C′(－2,3)，
∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.
6．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,4) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(π,5)
答案 C
解析 x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(k,2)))2＋(y＋1)2＝1－eq \f(3,4)k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为eq \f(3π,4).
7．方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝________.
答案 2
解析 根据题意，得方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＝1，,－\f(b,2)＝2，,\f(1,4)a2＋b2－4c＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－4，,c＝4.))
∴a＋b＋c＝2.
8．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq \r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq \f(4\r(5),5)，则圆C的一般方程为________________．
答案 x2＋y2－4x－5＝0
解析 设圆C的圆心坐标为(a,0)(a>0)，
由题意可得eq \f(|2a|,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)，
解得a＝2(a＝－2舍去)，
所以圆C的半径为eq \r(22＋－\r(5)2)＝3，
所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0.
9．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求这个圆的圆心坐标和半径；
(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．
解 (1)圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2.
由7t2－6t－1<0，得－eq \f(1,7)故t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7)，1)).
(2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t＋3,4t2－1)，半径为eq \r(1＋6t－7t2).
(3)r＝eq \r(－7t2＋6t＋1)
＝eq \r(－7\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,7)))2＋\f(16,7))≤eq \f(4\r(7),7).
所以r的最大值为eq \f(4\r(7),7)，此时t＝eq \f(3,7)，
故圆的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(24,7)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(13,49)))2＝eq \f(16,7).
10．已知圆的方程为x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.
(1)求此圆的圆心与半径．
(2)求证：无论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上且为半径相等的圆．
(1)解 x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，
所以圆心为(1－m,2m)，半径r＝3.
(2)证明 由(1)可知，圆的半径为定值3，
且圆心(a，b)满足方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1－m，,b＝2m，))
即2a＋b＝2.
所以无论m为何值，方程表示的是圆心在直线2x＋y－2＝0上，且半径都等于3的圆．
11．圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1))，圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N(2,0)，又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故有eq \f(1－0,\f(a,2)－2)×1＝－1，解得a＝2.
12．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( )
A.eq \r(5) B．5 C．2eq \r(5) D．10
答案 B
解析 圆M的圆心为(－2，－1)，由题意知点M在直线l上，所以－2a－b＋1＝0，所以b＝－2a＋1，
所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5.
13．已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________．
答案 －2
解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16＋4＋4D＋2E＋F＝0，,1＋9＋D＋3E＋F＝0，,25＋1＋5D＋E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20，))
所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，则y2＋4y－20＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝－4；
令y＝0，则x2－2x－20＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝2，
故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2.
14．设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是____________．
答案 3x－2y－3＝0
解析 圆的方程x2＋y2－2x－3＝0，化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1,0)，由kAB＝－eq \f(2,3)，得AB的垂直平分线的斜率为eq \f(3,2)，且过圆心，从而所求直线方程为y－0＝eq \f(3,2)(x－1)，即3x－2y－3＝0.
15．已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则SP＋SQ的最小值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析 由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1,5)，半径为1.如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，
连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时SP＋SQ的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，由于P与P′关于x轴对称，所以SP＝SP′，S′P＝S′P′，所以SP＋SQ＝SP′＋SQ＝P′Q故(SP＋SQ)min＝P′M－1＝eq \r(1－72＋5＋32)－1＝9.
16．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．
最小覆盖圆满足以下性质：
①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆．
②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．
已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4,0)，C(0,2)，D(－4,0)为曲线W上不同的四点．
(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程；
(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；
(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程．
解 (1)由题意，得t＝－2，
由于△ABC为锐角三角形，所以其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆．
设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－2E＋F＝0，,16＋4D＋F＝0，,4＋2E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－3，,E＝0，,F＝－4.))
所以△ABC的最小覆盖圆的方程为x2＋y2－3x－4＝0.
(2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆，
所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.
又因为OA＝OC＝2<4(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内．
所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.
(3)由题意，知曲线W为中心对称图形．
设P(x0，y0)，
则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(4,0)＝16.
所以OP2＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)(O为坐标原点)，且－2≤y0≤2.
故OP2＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝16－yeq \\al(4,0)＋yeq \\al(2,0)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y\\al(2,0)－\f(1,2)))2＋eq \f(65,4)，
所以当yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,2)时，OPmax＝eq \f(\r(65),2)，
所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝eq \f(65,4).方程
条件
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F＜0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
D2＋E2－4F＞0
表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，
以eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)为半径的圆
导语 我们的祖先很早就发明了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1 400多年前、横跨在我国河北赵县的河上的赵州桥．赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座单孔坦拱式桥梁．赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格．虽然历经千年风霜及车压人行，但赵州桥至今仍可通行车辆，被公认为是世界上最古老的一座拱桥．由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？
一、圆的一般方程的理解
问题1 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？
提示 将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2)))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．
问题2 当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
提示 当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
知识梳理
1．圆的一般方程的概念
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圆的一般方程(general equatin f circle)．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F).
3．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明
注意点：
(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项．
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．
(1)求实数m的取值范围；
(2)写出圆心坐标和半径．
解 (1)由表示圆的充要条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m
反思感悟 圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
跟踪训练1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq \f(\r(2)|a|,2)
解析 方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，
可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(a,2)))2＝eq \f(a2,2)，
故圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，\f(a,2)))，半径为eq \f(\r(2)|a|,2).
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．
答案 9π
解析 圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(k,2)，－1))，
由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴－eq \f(k,2)＋1＋1＝0，得k＝4，
圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为eq \f(1,2)eq \r(42＋22＋16)＝3，
∴该圆的面积为9π.
二、求圆的一般方程
例2 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标．
解 设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
将A，B，C三点坐标代入上式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5E＋F＋25＝0，,D－2E＋F＋5＝0，,3D＋4E－F－25＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝6，,E＝－2，,F＝－15.))
∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0，
即(x＋3)2＋(y－1)2＝25，
∴△ABC的外接圆圆心为(－3,1)．
反思感悟 应用待定系数法求圆的方程
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
跟踪训练2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程．
解 设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2D＋2E＋F＋8＝0，,5D＋3E＋F＋34＝0，,3D－E＋F＋10＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12，))
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
三、圆的一般方程的实际应用
例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m．建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m)．
解 建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，由题意知，
P(0,4)，B(10,0)，A(－10,0)，
设圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为点A，B，P在圆上，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(42＋4E＋F＝0，,102＋10D＋F＝0，,－102－10D＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝0，,E＝21，,F＝－100，))
故圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋21y－100＝0，
将P2的横坐标x＝－2代入圆的方程得y≈3.86(m)．
故支柱A2P2的高度约为3.86 m.
反思感悟 解应用题的步骤
(1)建模．
(2)转化为数学问题求解．
(3)回归实际问题，给出结论．
跟踪训练3 赵州桥的跨度是37.4 m，圆拱高约为7.2 m．求这座圆拱桥的拱圆的方程．(精确到0.01)
解 建立如图所示的坐标系，
则A(－18.7,0)，B(18.7,0)，P(0,7.2)，
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－18.72－18.7D＋F＝0，,18.72＋18.7D＋F＝0，,7.22＋7.2E＋F＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝0，,E≈41.37，,F＝－349.69))
所以圆的方程为x2＋y2＋41.37y－349.69＝0.
1．知识清单：
(1)圆的一般方程的理解．
(2)求圆的一般方程．
(3)圆的一般方程的实际应用．
2．方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法．
3．常见误区：忽略圆的一般方程表示圆的条件．
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点 B．一个圆
C．一条直线 D．不存在
答案 A
解析 方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是( )
A．m＜eq \f(1,2) B．m≤eq \f(1,2)
C．m＜2 D．m≤2
答案 A
解析 由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜eq \f(1,2)，故选A.
3．若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k＝________.
答案 －2
解析 由条件可知，直线经过圆的圆心(k，－1)，∴2k－(－1)＋3＝0，解得k＝－2.
4．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________.
答案 4
解析 以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16.即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4.
课时对点练
1．(多选)若a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，1，\f(2,3)))，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为( )
A．－2 B．0 C．1 D.eq \f(2,3)
答案 ABD
解析 根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1，又a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，1，\f(2,3)))，则a的值可以为－2,0，eq \f(2,3).
2．已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为( )
A．3 B.eq \r(5) C．5 D．4
答案 D
解析 圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0，
即(x＋a)2＋y2＝a2－9，
它的圆心坐标为(－a,0)，可得a＝－5，
故它的半径为eq \r(a2－9)＝eq \r(25－9)＝4.
3．(多选)下列结论正确的是( )
A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程
B．圆的一般方程和标准方程可以互化
C．方程x2＋y2＋2x－6y＋10＝0表示圆
D．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0
答案 ABD
解析 AB显然正确；C中方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝0，所以表示点(－1,3)；D正确．
4．若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为( )
A．2 B．－1 C．－2 D．0
答案 D
解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，则圆心坐标为(1，－2)，
∵直线2x＋y＋m＝0过x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心．
∴2－2＋m＝0，解得m＝0.
5．圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
答案 C
解析 把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，
∴圆心C(2，－1)．
设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0－－1,x0－2)＝－1，,\f(y0－1,2)＝\f(x0＋2,2)＋1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－2，,y0＝3，))故C′(－2,3)，
∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.
6．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,4) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(π,5)
答案 C
解析 x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(k,2)))2＋(y＋1)2＝1－eq \f(3,4)k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为eq \f(3π,4).
7．方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝________.
答案 2
解析 根据题意，得方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＝1，,－\f(b,2)＝2，,\f(1,4)a2＋b2－4c＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－4，,c＝4.))
∴a＋b＋c＝2.
8．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq \r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq \f(4\r(5),5)，则圆C的一般方程为________________．
答案 x2＋y2－4x－5＝0
解析 设圆C的圆心坐标为(a,0)(a>0)，
由题意可得eq \f(|2a|,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)，
解得a＝2(a＝－2舍去)，
所以圆C的半径为eq \r(22＋－\r(5)2)＝3，
所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0.
9．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求这个圆的圆心坐标和半径；
(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．
解 (1)圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2.
由7t2－6t－1<0，得－eq \f(1,7)
(2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t＋3,4t2－1)，半径为eq \r(1＋6t－7t2).
(3)r＝eq \r(－7t2＋6t＋1)
＝eq \r(－7\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,7)))2＋\f(16,7))≤eq \f(4\r(7),7).
所以r的最大值为eq \f(4\r(7),7)，此时t＝eq \f(3,7)，
故圆的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(24,7)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(13,49)))2＝eq \f(16,7).
10．已知圆的方程为x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.
(1)求此圆的圆心与半径．
(2)求证：无论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上且为半径相等的圆．
(1)解 x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，
所以圆心为(1－m,2m)，半径r＝3.
(2)证明 由(1)可知，圆的半径为定值3，
且圆心(a，b)满足方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1－m，,b＝2m，))
即2a＋b＝2.
所以无论m为何值，方程表示的是圆心在直线2x＋y－2＝0上，且半径都等于3的圆．
11．圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1))，圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N(2,0)，又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故有eq \f(1－0,\f(a,2)－2)×1＝－1，解得a＝2.
12．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( )
A.eq \r(5) B．5 C．2eq \r(5) D．10
答案 B
解析 圆M的圆心为(－2，－1)，由题意知点M在直线l上，所以－2a－b＋1＝0，所以b＝－2a＋1，
所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5.
13．已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________．
答案 －2
解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16＋4＋4D＋2E＋F＝0，,1＋9＋D＋3E＋F＝0，,25＋1＋5D＋E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20，))
所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，则y2＋4y－20＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝－4；
令y＝0，则x2－2x－20＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝2，
故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2.
14．设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是____________．
答案 3x－2y－3＝0
解析 圆的方程x2＋y2－2x－3＝0，化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1,0)，由kAB＝－eq \f(2,3)，得AB的垂直平分线的斜率为eq \f(3,2)，且过圆心，从而所求直线方程为y－0＝eq \f(3,2)(x－1)，即3x－2y－3＝0.
15．已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则SP＋SQ的最小值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析 由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1,5)，半径为1.如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，
连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时SP＋SQ的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，由于P与P′关于x轴对称，所以SP＝SP′，S′P＝S′P′，所以SP＋SQ＝SP′＋SQ＝P′Q
16．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．
最小覆盖圆满足以下性质：
①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆．
②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．
已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4,0)，C(0,2)，D(－4,0)为曲线W上不同的四点．
(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程；
(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；
(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程．
解 (1)由题意，得t＝－2，
由于△ABC为锐角三角形，所以其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆．
设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－2E＋F＝0，,16＋4D＋F＝0，,4＋2E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－3，,E＝0，,F＝－4.))
所以△ABC的最小覆盖圆的方程为x2＋y2－3x－4＝0.
(2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆，
所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.
又因为OA＝OC＝2<4(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内．
所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.
(3)由题意，知曲线W为中心对称图形．
设P(x0，y0)，
则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(4,0)＝16.
所以OP2＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)(O为坐标原点)，且－2≤y0≤2.
故OP2＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝16－yeq \\al(4,0)＋yeq \\al(2,0)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y\\al(2,0)－\f(1,2)))2＋eq \f(65,4)，
所以当yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,2)时，OPmax＝eq \f(\r(65),2)，
所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝eq \f(65,4).方程
条件
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F＜0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
D2＋E2－4F＞0
表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，
以eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)为半径的圆
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